高数同济版大一下学期期末复习复习课件.ppt

第一步：计算 Fx , Fy , Fz , 第二步：计算曲面的法向量 n (Fx ( x0, y0, z0 ),Fy ( x0, y0, z0 ),Fz ( x0, y0, z0 ))
第三步：分别写出切平面和法线的方程
Fx ( x0, y0, z0 )(Leabharlann Baidux x0 ) Fy ( x0, y0, z0 )( y y0 )
3
(x2 y2) 2
3
x2 | y |2
(3) lim
x y 4
2
x0
y0
.精品课件.
12
lim x sinay lim x sinay ( xy 1 1)
x0 xy 1 1 x0
xy
y0
y0
a lim sinay ( xy 1 1) a lim sinay 2
x0
ay
（5）数项级数收敛性判别，绝对收敛与条件收敛 幂级数的收敛域、求级数求和函数。
.精品课件.
1
（一）直线与平面的位置关系，空间曲线的切线， 空间曲面的切平面
（1）设 : Ax By Cz D 0,
L : x x0 y y0 z z0
则
m n
p
L// s n Am Bn Cp 0
解： z( x,0) arctan x ,
求
z , x (0,0)
2z x2 (0,0)
z d z( x,0)
x (0,0) dx
x0
d arctan x dx
x0
1 1 x2
x0
1
2z x 2
(0,0)
d2 dx2
z( x,0)
x0
d2 dx2
arctan x
x0
( 1
1 x
2
)
x0
2x (1 x2 )2
0
1
cos
3 2
lim sin 1 0 6 6
.精品课件.
14
求极限
lim x y x0 2 x y 4
y0
解：
lim x y x0 2 x y 4
y0
lim
x y(2 x y 4)
x0 (2 x y 4)(2 x y 4)
y0
lim x y(2 x y 4) lim (2 x y 4)
y0
因 x4 y2 2x2 | y |,
3
3
1
x2 | y |2 x2 | y |2 0 .精x品4课件.y2 2 x2 | y |
| y |2 2
0 16
（二）多元函数的定义域、极限和连续；方向导数 ，复合函数求导（高阶），隐函数的求导和全微分、 条件极值
（1）多元函数的定义域、在某点的极限、连续
.精品课件.
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要点II：空间曲线的切线与法平面
（1）设空间曲线 的方程 x (t), y (t), z (t)
第一步：确定点 M( x0, y0, z0 )对应的参数 t0,
第二步：计算 T ((t0 ), (t0 ), (t0 ) )
第三步：利用对称式和点法式分别写出切线和法
平面的方程 x x0 y y0 z z0
(t0 ) (t0 ) (t0 )
(t0 )( x x0 ) (t0 )( y y0 ) (t0 )(z z0 ) 0
.精品课件.
5
（2）设空间曲线 的方程
y ( x), z ( x), a x b,
T (1,( x0 ), ( x0 ) )
.精品课件.
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3、典型例题
,
求
dz.
x0
0
.精品课件.
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典型例题
例3：设 z ln(1 x2 y), 求
2z xy
解：
z x
1
2x x2
y2
(1,1)
z(1, y) 2 x 2 y
2z xy
(1,1)
d dy
(z(1, x
y))
y1
( 2 ) 2 y y1
(1
2 y)2
y1
2 9
.精品课件.
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要点：III：多元函数的连续性 二元函数的连续性
Fz ( x0, y0, z0 )(z z0 ) 0
x x0 y y0 z z0
Fx ( x0 , y0 , z0 )
Fy ( x , y .精0品课件0., z0 )
Fz ( x0 , y0 , z0 ) 3
（2）设曲面方程为 z f ( x, y), 第一步：取 F ( x, y, z) z f ( x, y) 第二步：计算曲面的法向量
4、利用夹逼准则与两个重要极限
.精品课件.
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例：函数z x y的定义域为（ B ）
A 、x 0, y 0 B、x y, y 0
C、x y, y 0 D、x 0, y 0
例：求下列函数的极限：
xsin ay (1) lim
x0 xy 1 1
y0
(2) lim x0 y0
x2 y2 sin x2 y2
n ( fx ( x0, y0 ), f y ( x0, y0,), 1) 第三步：利用点法式和对称式分别写出切平面和法 线的方程
fx ( x0, y0 )(x x0 ) f y ( x0, y0 )( y y0 ) (z z0 ) 0
x x0 y y0 z z0 f x ( x0, y0 ) f y ( x0, y0 ) 1
m2
垂直，求m与
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（二）多元函数的定义域、极限和连续；方向导数 ，复合函数求导（高阶），隐函数的求导和全微分、 条件极值
（1）多元函数在某点的定义域、极限和连续 要点：I：求二元函数在某点的极限 1、利用函数在一点连续的定义和极限的四则运算法则 2、利用有界函数与无穷小乘积的性质
3、利用变量对换化为一元函数极限
例 1： 求过点(3, 2, 5)且与两平面 x 4z 3
和2 x y 5z 1的交线平行的直线方程.
解 设所求直线的方向向量为 s {m, n, p},
根据题意知
s n1 ,
s n2 ,
取
s n1 n2 {4,3,1},
所求直线的方程
x3 y2 z5.
4
3
1
.精品课件.
在(0,0)的连续性． 0,
x2 y2 0
解 取 y kx, 当 x 0时, ( x, y) ( x,k x) (0,0)
lim
x0
x
2
xy
y2
y0
lim
x0
x2
kx 2 k2x2
ykx
1
k k
2
其值随k的不同而变化， 极限不存在．
故函数在(0,0)处不连续．
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（2）方向导数、复合函数求导（高阶）、 隐函数的求导、多元函数的微分
要点：I、方向导数 II ：二元抽象函数的二阶偏导数的计算；
III ：隐函数的偏导数的计算；
IV ：多元函数全微分的计算；
例1：设 z 1 f ( xy) y( x y) , 求 2z .
x
xy
答案： 2z y f ( xy) ( x y) y( x y)
xy
.精品课件.
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例1：设
7
例2：设直线 L 和平面 的方程分别为
x 3y 2z 1 0
L
:
2 x
y
10z
3
, 0
则必有（ C ）
: 4x 2 y z 2 0,
( A) L//, (B) L在在上, (C) L ,
(D) L与斜交.
解： i j k s1 3 2
28 i 14 j 7k 7(4 i 2 j k )
设 z f ( x, y), P0 ( x0 , y0 ) D,且为聚点.
若 lim x x0
f (x, y)
f ( x0 , y0 ),
y y0
则称 f ( x, y)在点P0( x0 , y0 )处连续.
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例：(1)
函数f
(x,
y)
xy , x2 y2 0
x2 y2
n (Fx , Fy , Fz ) M (2x0 y0,2 y0 x0,2z0 )
2z0 0
(2x0 y0 ) (2 y0 x0) 0
x02 y02 z02 x0 y0 3 0
n1 (3, 3, 0), n2 (3, 3, 0),
M1(1, 1, 0), M2(1, 1, 0),
2 1 10
n (4, 2, 1), n // s , L ,
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例3：求曲面 x2 y2 z2 xy 3 0 上同时垂直于平面 z 0 与平面 x y 1 0 的切平面方程。
解：取 F x2 y2 z2 xy 3,
设切点为 M( x0, y0, z0 ),
L在 上 Am Bn Cp 0, ( x0, y0, z0 )
L
s // n
ABC
mn p
sin
| Am Bn Cp | ,
A2 B2 C.精2品 课件m. 2 n2 p2
0 ,
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（2）曲面在某点处的切平面、空间曲线在某点处的切线
要点：I：曲面在某点处的切平面
（1）设曲面方程为 F( x, y, z) 0
例3： z f ( x 2 y 2) , 求 设
2z x y
.精品课件.
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例3：设 z f ( x 2 y 2) , 求 2 z
x y
解：
x
z
u
u x2 y2
y
z d f u x du x
f
' u
(u)
u x
2x
f
' u
(u)
2z x y
y
[
2
x
f
' u
(u)
]
2x [ y
要点：II：用定义求二元函数在某点的偏导数
f ( x x, y) f ( x, y)
fx(x, y) lim
x0
x
f x ( x0,
y0 )
d dx
f
(x,
y0 )
,
x x0
d2
f yy ( x0, y0 ) dy2
f ( x0, y) ,
y y0
d
f xy ( x0 , y0 ) dy f x ( x0 , y) y.精品y课0件.
17
典型例题
例1：设
f ( x, y) sin x2 ( y 1)arcsin
y, x
f 求 x (2,1)
解： f ( x,1) sin x2,
f cos x2 2x, x
f 4cos4. x (2,1)
.精品课件.
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典型例题
例2：设 z arctan x y , 1 xy
z 1 f ( xy) y( x y) , 求
x
2z . xy
例:(1)函数 u 2xy2 z3 xyz在点 P0(0, 1, 2) 处沿哪个方向
的方向导数最大？并求方向导数的最大值.
(2)求函数 u xyz 在点 A(5, 1, 2) 处沿到点 B(9, 4, 14)
的方向 AB 上的方向导数
1 : 3( x 1) 3( y 1) 0, x y 2 0,
2 : 3( x 1) 3( y 1).精品0课,件. x y 2 0,
9
例:(1)已知曲线 x t, y t 2 , z t3在点P处的切线平行于
平面 x 2 y z 2 ，求P点的坐标
(2)设直线 x 1 y 2 (z 1)与 平面 3x 6y 3z 25 0
x0
xy
x0
y0
y0
lim (2
0
.精4品)课件. (2
0 4) 4
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（二）多元函数的定义域、极限和连续；方向导数 ，复合函数求导（高阶），隐函数的求导和全微分、 条件极值
（1）多元函数的定义域、极限、连续
要点：I：求二元函数在某点的极限
3
x2 | y |2
lim
x0
x4
y2
0
[A ]
0,
x2 y2 0
A、处处连续
B、处处有极限，但不连 续
C、仅在（0，0）连续
D、除（0，0）外处处连续
(2) 讨论函数
f
(
x,
y)
x
2
xy
y2
,
x2 y2 0
0,
x2 y2 0
在(0,0)的连续性．
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例： 讨论函数
f
(
x,
y)
x
2
xy
y2
,
x2 y2 0
y0 ay
y0
2a
.精品课件.
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求极限
lim
x0
x2 y2 sin x2 y2
3
y0
(x2 y2) 2
解：令: x2 y2 , 当( x, y) (0,0)时, 0,
lim x0 y0
x2 y2 sin x2 y2
3
(x2 y2) 2
lim
0
sin 3
lim
f
' u
(u)
]
f
' u
(
u)
x
u
.精品课件.
y
u x2 y2
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（2）方向导数、复合函数求导（高阶）、 隐函数的求导、多元函数的微分
要点：I、方向导数 II ：二元抽象函数的二阶偏导数的计算；
III ：隐函数的偏导数的计算；
IV ：多元函数全微分的计算；
例4：设
z
(x2
y2
arctan
)e
y x
期末考试复习重点
（1）直线与平面的位置关系,空间曲线的切线，空间曲面的 切平面 （2）函数的定义域、极限和连续（连续的定义）、方向导数、 复合函数求导（高阶）、隐函数的求导与全微分、条件极值
（3）二重积分的计算（直角坐标与极坐标）
（4）第一、二类曲线积分，积分与路径无关 第一、二类曲面积分格林公式、高斯公式。