重庆大学线性代数答案[1]

习题一解答

1、 填空 （3）设有行列式含因子的项为

答：或

（5）设，的根为

解：根据课本第23页例8得到 的根为

（6）设是方程的三个根，则行列式=

解：根据条件，比较系数得到， ；再根据条件，，；

原行列式=

（7）设 ，则= 解：相当于中第一列四个元素分别乘以第四列的代数余子式，其值为0.

（8）设，则=

解 将按第四列展开得到=，第四列的元素全变成1，此时第四列与第二列对应成比例，所以=，，则

2

31118

7

1

23456

4021103152----=D 453112a a a 144038625)1(54453123123-=⋅⋅⋅⋅-=-a a a a a 0

18605)1(53453124124=⋅⋅⋅⋅=-a a a a a 3

28814

4

1

2211111

)(x x

x x f --=

0)(=x f )2)(2)(1)(22)(12)(12()(+-------=x x x x f 0)(=x f 2,2,1-321,,x x x 0

3

=++q px x 1

3

2

213

321x x x x x x x x x )

)()((3213

x x x x x x q px x

---=++0321=++x x x q

x x x -=321q

px x --=13

1

q px x --=23

2

q

px x --=33

3

-++3

33

23

1x x x =3213x x x 0

33)(321=+-++-q q x x x p )

(32142

1

4

3

14324321iJ a D ∆==

44342414432A A A A +++44342414432A A A A +++)(iJ a ∆)

(iJ a c

d

b

a

a c

b d a d b

c

d c b a D ∆==

44342414A A A A +++D 44342414cA aA aA dA +++c d b a a

c

b

d

a d

b

c

d c b a 44

342414A A A A +++a b

b b b b b b b b b nn

n n n n =

2

1

2222111211

证 因为任何一个行列式根据性质5可以变成三角行列式，假设第一个行列式变成：

==

行列式的变换和行列式的变换完全相同，同样假设行列式变成

==

或将的第列连续经过次对换（依次和其前面的列对换）而成为第1列，第列连续经过次对换而成为第2列，如此下去，

1112121222121111211112121222212221

2

1

2

000000000m m m m mm m n m n n n nm

n n nn

a a a a a a a a a D a

b

c c c b b b c c c b b b c c c b b b =

=

；

1112121222122111211112121222212221

2

1

2

000000000(1)m m m m mm mn

n m n m n n nn

n n nm

a a a a a a a a a D ab

b b b

c c c b b b c c c b b b c c c =

=-

11

121212221

2

m m m m m m

a a a a a a a a a a =

12121

2000m

m

m

a a a a a a '''

12m a a a 12D D ，a 1

D 12121211121111212122221222121

2

000000000000m m m m n m n n

n

nm

n n nn

a a a a a a c c c

b b b

c c c b b b c c c b b b ''''''''''''

23a a

第1次按第1行展开(变成第1行)

第2次按第1行展开(变成第1行)第m 次按第1行展开

12m

a a a 11121212221

2

n n n n nn

b b b b b b ab

b b b =

2D ab

mn

)

1(-2D (1)n +n (2)n +n

第列连续经过次对换而成为第列，共经过次列对换而变成，所以=。

7、计算下列行列式：

（1）， （2）其中

（3）

（4）（5）

解（1）第2行、第3行…、第和第行全加到第1行后，第1行提出得

=

=.

（2）

=

=

()n m +n m 2D mn 1D 2D ab mn

)1(-x

a

a

a

a x a a

a a x a

a a a x D n

=)(ij n a D ∆=⎩⎨

⎧≠==j

i j i i a ij 2

j

i a j i D ij n

-=-∆=即),(1

1

2

2

2211200000

0000000000000000d c d c d c b a b a b a D n n n n n

=

=

n D b a ab

b

a b a ab b a ab b a +++++10000

0010001000

)1(-n n (1)x n a +-n

D [(1)]x n a +-1111a x a a a a x a a

a

a

x

1a 第行乘以(-)加到其他每一行

[(1)]

x n a +-111100

00000

x a x a x a

---

]

)1([)

(1

a n x a x n -+--n

D n

2

222322

2222

2221=第2行乘以(-1)加到其他每一行2

0100

22220001--n

11(-1)A )!

22--n （