重庆大学线性代数答案[1]

习题一解答
1、 填空 （3）设有行列式含因子的项为
答：或
（5）设，的根为
解：根据课本第23页例8得到 的根为
（6）设是方程的三个根，则行列式=
解：根据条件，比较系数得到， ；再根据条件，，；
原行列式=
（7）设 ，则= 解：相当于中第一列四个元素分别乘以第四列的代数余子式，其值为0.
（8）设，则=
解 将按第四列展开得到=，第四列的元素全变成1，此时第四列与第二列对应成比例，所以=，，则
2
31118
7
1
23456
4021103152----=D 453112a a a 144038625)1(54453123123-=⋅⋅⋅⋅-=-a a a a a 0
18605)1(53453124124=⋅⋅⋅⋅=-a a a a a 3
28814
4
1
2211111
)(x x
x x f --=
0)(=x f )2)(2)(1)(22)(12)(12()(+-------=x x x x f 0)(=x f 2,2,1-321,,x x x 0
3
=++q px x 1
3
2
213
321x x x x x x x x x )
)()((3213
x x x x x x q px x
---=++0321=++x x x q
x x x -=321q
px x --=13
1
q px x --=23
2
q
px x --=33
3
-++3
33
23
1x x x =3213x x x 0
33)(321=+-++-q q x x x p )
(32142
1
4
3
14324321iJ a D ∆==
44342414432A A A A +++44342414432A A A A +++)(iJ a ∆)
(iJ a c
d
b
a
a c
b d a d b
c
d c b a D ∆==
44342414A A A A +++D 44342414cA aA aA dA +++c d b a a
c
b
d
a d
b
c
d c b a 44
342414A A A A +++a b
b b b b b b b b b nn
n n n n =
2
1
2222111211
证 因为任何一个行列式根据性质5可以变成三角行列式，假设第一个行列式变成：
==
行列式的变换和行列式的变换完全相同，同样假设行列式变成
==
或将的第列连续经过次对换（依次和其前面的列对换）而成为第1列，第列连续经过次对换而成为第2列，如此下去，
1112121222121111211112121222212221
2
1
2
000000000m m m m mm m n m n n n nm
n n nn
a a a a a a a a a D a
b
c c c b b b c c c b b b c c c b b b =
=
；
1112121222122111211112121222212221
2
1
2
000000000(1)m m m m mm mn
n m n m n n nn
n n nm
a a a a a a a a a D ab
b b b
c c c b b b c c c b b b c c c =
=-
11
121212221
2
m m m m m m
a a a a a a a a a a =
12121
2000m
m
m
a a a a a a '''
12m a a a 12D D ，a 1
D 12121211121111212122221222121
2
000000000000m m m m n m n n
n
nm
n n nn
a a a a a a c c c
b b b
c c c b b b c c c b b b ''''''''''''
23a a
第1次按第1行展开(变成第1行)
第2次按第1行展开(变成第1行)第m 次按第1行展开
12m
a a a 11121212221
2
n n n n nn
b b b b b b ab
b b b =
2D ab
mn
)
1(-2D (1)n +n (2)n +n
第列连续经过次对换而成为第列，共经过次列对换而变成，所以=。

7、计算下列行列式：
（1）， （2）其中
（3）
（4）（5）
解（1）第2行、第3行…、第和第行全加到第1行后，第1行提出得
=
=.
（2）
=
=
()n m +n m 2D mn 1D 2D ab mn
)1(-x
a
a
a
a x a a
a a x a
a a a x D n
=)(ij n a D ∆=⎩⎨
⎧≠==j
i j i i a ij 2
j
i a j i D ij n
-=-∆=即),(1
1
2
2
2211200000
0000000000000000d c d c d c b a b a b a D n n n n n
=
=
n D b a ab
b
a b a ab b a ab b a +++++10000
0010001000
)1(-n n (1)x n a +-n
D [(1)]x n a +-1111a x a a a a x a a
a
a
x
1a 第行乘以(-)加到其他每一行
[(1)]
x n a +-111100
00000
x a x a x a
---
]
)1([)
(1
a n x a x n -+--n
D n
2
222322
2222
2221=第2行乘以(-1)加到其他每一行2
0100
22220001--n
11(-1)A )!
22--n （
(3)=
=
== （4）将按第一行展开
=
+
=
（5）+
，
其中
n D 0
1
4
3
2
1
105432
450123341012232101123210
----------------n n n n n n n n n n n n n n n n 1
1
1
1
1
1
111111
111111111111111111123210-----------------
n n 第1列加到其他每一列
2
2
2
2
1
002221000221000021000001123210
--n n n A n 1)1(-2
1
2)1)(1(-+--n n n n D 2n
D 21
22
2210
0000000000d d c d c b a b a a n n n n
1
21)
1(+-n b 0
0000000001
2222
c d c d c b a b a n n n n ∏=--+---=
=-=--n
i i i i i n n n n c b d a D c b d a D c b D d a 1
)1(21111)1(21
1211)1(211)
)()1( =n D b
a a
b b a b a ab b a ab a ++++1
000
0010001000
b
a a
b b a b a ab b a ab b ++++1
000
0010000000
=
于是==
= 习题二解答
8
题 设
，求
为正整数）
解
记
，则
，
20题 设
，，为正整数，证明
证 因为
，，所以
=
21题设，
，，求。

b
a a
b b a b a ab b a ab a ++++1
000000010001000
第1列乘以(-b)加到第2列;第2列乘以(-b)加到第3列;第(n-1)列乘以(-b)加到第n 列
a
a a a a 1
0000001000010000
n
a 1
-+=n n n bD a D )
(21
--++n n n
bD a
b a )
(32
21
---+++n n n n bD a
b ba
a n n n n n
b a b a b ba a +++++=---1221 A =20000200102001
2⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
(k
A k
2010,020
1E ⎡⎤⎡⎤Λ==⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
0A E Λ
⎡⎤=⎢
⎥Λ⎣⎦
22
20002A E
E
ΛΛ⎡⎤Λ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢
⎥⎢⎥ΛΛΛ
Λ⎣⎦⎣⎦⎣⎦
1
0k
k
k k A k -⎡⎤Λ=⎢⎥
Λ
Λ⎣⎦1
1
200002
002
02
00
2
2k
k
k k
k k k k --⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡=Λ21
0λλn
n x a x a a x f +++= 10)(n a n ,0≠⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡=Λ)(0
)
()(21λλf f f ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡=Λk k
k
21
0λλn
n a a E a f Λ++Λ+=Λ 10)(⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=Λn n n a a a f 21
2110000
010
01
)(λλλλ ⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡++++++n n n
n a a a a a a 2210111000
λλλλ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)(00
)
(21λλf f ⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡--=21
41P ⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡=Λ2001Λ
=-AP
P 110A
解 因为，=，
，所以 =
=
=
23、填空选择题：（1）为阶方阵，为其伴随阵，
，则
解
因
,
所以
,
（7）设均为阶方阵，可逆，则可逆，且
=
；；；
解法一：题目只说均为阶方阵，没有说可逆，于是全错.
解法二： 因可逆，设其逆矩阵为，则，于是.因为
==
=
所以可逆，且=
24、设，（为正整数），证明.
证
所以.
推论：设均为阶方阵，若，则， 26、设均为阶方阵，且，，证明 可逆，并求其逆.
证 由得，代入得到=，于
是
，，所以可逆，
27、若对任意的矩阵，均有=0，证明必为零矩阵.
证 =，因为对任意的矩阵，均有=0，
1-Λ=P P A 10A 110-ΛP P ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=-11421
P
10
A
21⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21
41
⎥⎦⎤⎢⎣⎡102001
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--114221⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡--1112
2121⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--11
42⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣
⎡----101011
1122212212A n *A 3
1=
A =
--*15)
41(1
A A E
E A A A 3
1*=
=1
3
1*-=
A
A n
n
A
A
A
A A )
1(3)1(54*15)
41(1
1
1
1
-=-=-=-----n AB E +BA E +1
)(-+BA E 11)(--+B A E A 11)(--+A B E B A AB E B E C 1)()(-+-A AB E B D )()(1
-+n )
(),(),(D B A AB E +P E P AB E =+)(P E ABP -=)(BA E +])([1
A A
B E B E -+-)(BA E +)
(BPA E -BABPA BA BPA E -+-E A P E B BA BPA E =--+-)(BA
E +1
)
(-+BA E A
AB E B E 1
)
(-+-0=k A k 121)(--++++=-k A A A E A E E
A A
A A A A
A A E A
A A E A E k
k k k =------++++=++++----1
321
212))(( 1
2
1
)(--++++=-k A A A E A E A n 0=k A 0≠-A E n A E R =-)(n 2B B =E B A +=A E B A +=E A B -=2B B =2)(E A E A -=-E A A +-22E
A A 232
-=-E A E A =-]2/)3[(A
2/)3(1
A E A
-=-1⨯n X A X A A ⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n
n a a a a a a a a a
2
1
22221112111⨯n X A
X
于是分别取=
、
、…
，代入=0得到，
，
，…
.所以
为零矩阵
28、设为阶方阵，证明的充分必要条件是. 证 若，则；反过来
设=
，若=0
则
，
，…，
，于
是 习题三解答
第97页2选择题（4）设线性相关，线性无关，则
（ ）
线性相关.线性无关. 能由线性表示.能由线性表示.
解 因为线性相关，所以线性相关，又因为线性无关；
于是能由线性表示.答：
（5）设向量能由向量组线性表示但不能由向量组（Ι）：
线性表示，记向量组（Ⅱ）
）.
不能由（Ι）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示， 不能由（Ι）线性表示，但能由（Ⅱ）线性表示，
能由（Ι）线性表示，也能由（Ⅱ）线性表示 能由（Ι）线性表示，但不能由（Ⅱ）线性表示. 解 因为向量能由向量组线性表示，所以存在
，使=++；因为不能由向量组线性表示，于是，
=
+
+
，
即能由（Ⅱ）线性表示.
X ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡001 ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡010 ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡100 A
X
012111=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡m a a
a 022212=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡m a a
a 021=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn n n a a
a A A n 0=A 0'=A A 0=A 0'=A A A ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n
n a a a a a a a a a
2
1
2222111211=
A A '⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n
n a a a a a a a a a
2
1
2222111211
2
12
212
11=+++n a a a 0
2
22
222
12=+++n a a a 0
2
2
22
1=+++nn
n n a a a 0=A 2
1,,ααβ
3
2,,ααβ
)(A 321,,ααα )(B 321,,ααα
)(C 1
α
32,,ααβ
)
(D β
2
1,αα
2
1,,ααβ 21,,ααβ 3
,α 32,,ααβ
1α
3
2,,ααβ
)(C β
m ααα
,,,211
21,,,-m ααα )(A m
α
)(B m α
)(C m
α )(D m
α β
m
ααα
,,,21R
m m ∈-λλλλ,,,,121 β 11αλ 22αλ m m m m αλαλ ++--11β 1
21,,,-m ααα
0≠m λm
α
11αλλ m -22αλλ m
-1
1---m m
m αλλ
β
λ
m
1
m α
假若能由（Ι）线性表示，则存在
，使=
+
+
代入=++得到能由（Ι）线性表示.矛盾，故选择
7、设向量能由向量组线性表示，且表示唯一，证明线性无关.
证 设++=， 即 =++ （1） 因为向量
能由向量组线性表示，即=
+
+
（2）
（1）+（2）得 =++
表示唯一得到 ，，，于是全为零，故
线性无关.
8、设向量组线性相关，线性无关，证明：
（1）能由线性表示；（2）不能由线性表示 证（1）因为线性无关，所以线性无关，而线
性相关，故能由线性表示，即存在使=+；
（2）假若能由线性表示，则存在，使=++； 将=+代入=++得到能由线性表示，于是
线性相关，与条件线性无关矛盾.故不能由
线性表示.
12、设维单位坐标向量组能由维向量组线性表示，证明向量组线性无关.
证 因为维向量组能由单位坐标向量组线性表示，根据条件向量组与向量组等价.向量组的秩为.故向量组的秩为，因此向量组线性无
关.
13、设是维向量组，证明它们线性无关的充分必要条件
是：任一维向量都能由它们线性表示.
证 设线性无关，为任一维向量. 向量组，
一定线性相关，
于是能由线性表示；
反过来 若任一维向量都能由线性表示，则维单位坐
标向量组能由维向量组线性表示，根据第12题向
m
α
R
k k k m ∈-121,,, m
α
1
1α
k 2
2α k 11--+m m k α
β
11αλ 2
2αλ
m
m m m αλαλ
++--11β
)(B βm ααα
,,,2
1m ααα
,,,2111αλ 22αλ m m αλ +0 0 11αλ 22αλ m m αλ
+β
n ααα,,,21 β
1
1α k 2
2α k m
m k α
+β)(11k +λ1α
)(22k +λ2α
)(m m k ++λ m
α
111k k +=λ222k k +=λm m m k k +=λ, m λλλ,,,21 n αααα,,,,321 21,αα 3,α 32,αα 4
,α 1α 32,αα 4α 21,αα 3,α
32,αα 4,α 32,αα 21,αα 3
,α 1α 32,αα R k k ∈32,1α 22α k 33α
k 4α 21,αα 3,α R ∈321,,λλλ4α 1
1αλ
22αλ 33αλ 1α 22α k 33α k 4α 11αλ 22αλ 33αλ 4α 2α 3,α
32,αα 4,α 32,αα 4,α 4
α 21,αα 3,α n n εεε ,,,2
1n n ααα ,,,21n
ααα ,,,21n n ααα
,,,21n εεε ,,,21n εεε ,,,21n ααα ,,,21n εεε ,,,21n n ααα ,,,21n n ααα ,,,21n ααα ,,,21n n n ααα ,,,21α n n ααα ,,,21α
α
n ααα ,,,21n n ααα ,,,21n n εεε ,,,21n n ααα ,,,21
量组线性无关. 14、设向量组（Ι）：的秩为
，向量组（Ⅱ）：的秩为，
向量组（Ⅲ）：，的秩为，证明.
证不妨设向量组（Ι）的最大线性无关组为
，向量组
（Ⅱ）的最大线性无关组为.向量组（Ι）能由其最大线性
无关组线性表示，向量组（Ⅱ）能由其最大线性无关组
线性表示，于是向量组（Ⅲ）能由向量组
，
线性表示.故
是，中个线性无关的向量，于是，同样可以证明，因此.故. 15、设是矩阵，是矩阵，证明：. 证 设
=
，
=
，则
=
根据第14题得到
16、设，都是矩阵，证明
证 设=，=，则+=
而且能由线性表示.根据第14题，得到
17、设是矩阵，是矩阵，证明：
证 设=
，=
，=
，于是
=
=
即能由线性表示，因此.同样可以
证明故.
习题四解答：
6（4） 求的通解
n ααα
,,,21s
ααα
,,,211
r t
βββ
,,,212r s ααα
,,,21t βββ ,,,213r 21321},max{r r r r r +≤≤1
,,,21r ααα
1
,,,21r ααα
1
,,,21r ααα
213r r r +≤1
,,,21r ααα
s
ααα
,,,21t
βββ
,,,211r 1
r 3
r ≤2r 3r ≤321},max{r r r ≤21321},max{r r r r r +≤≤A s m ⨯B t m ⨯)()()|(B R A R B A R +≤A
]
,,,[21s ααα B
]
,,,[21t βββ )
|(B A s
ααα ,,,[21]
,,,,21t βββ
)()()|(B R A R B A R +≤A B n m ⨯)()()(B R A R B A R +≤+A ],,,[21n ααα
B ],,,[21n βββ A B ],,,[2211n n βαβαβα +++n n βαβαβα +++,,,2
211n ααα ,,,21n βββ ,,,,21)()()(B R A R B A R +≤+A s m ⨯B n s ⨯)}(),(min{)(B R A R AB R ≤A ⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡ms m m s
s a a a a a a a a a
2
1
2222111211B ⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡s βββ 21AB ⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m
ααα
21⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m ααα 21⎥⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ms m m s s a a a a a a a a a
2
1
2222111211
⎥⎥
⎥
⎥
⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡s βββ
21⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣⎡+++++++++s ms m m s s s s a a a a a a a a a βββββββββ
221122221211212111m ααα ,,,21s βββ ,,,21)()(A R AB R ≤)()(B R AB R ≤)}(),(min{)(B R A R AB R ≤⎪⎩⎪
⎨⎧-=+-+=-+-=+-+2
5344323124321
43214321x x x x x x x x x x x x
解
~，
，方程组有无穷多个解，解空间的维数是2，同解方
程组为
，原方程组的通解为
7、当为何值时，非齐次线性方程组
有解？并求
其通解.
解 =
第一行除以2后加到第二行、第三行；
第一行除以.
~~. 当或时，，非齐次线性方程组有解.
当时，~~，原方程组同解
于
,
,通解
.
当时，~
~，原方程组同
解于
,,通解
.
=)|(B A ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡-----25
3
4
1
4312311112⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----00
000
7
/57
/97
/51
07/67/17/101
4
2)()|(<==A R B A R ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧
==-+-=++=4
4
334324317
9757571
71
76
x x x x x x x x x x 121212
34611777559,,777010601x x k k k k R x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--=++∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦λ⎪⎩⎪
⎨⎧=-+=+--=++-2321321321222
2λ
λx x x x x x x x x A ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----22
1
1
1212112λλ)2(-⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡------15.15.10
1
5
.15
.101
5.05.012
λλ⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-+----)1)(2(0
00
1
5
.15
.101
5.05.01
λλλ2-=λ1=λ32)()(<==A R A R 1
=λ
A ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---00
05.15.1015.05.01⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--00
01101101
⎩⎨
⎧=-=-0
1
3231x x x x ⎪⎩⎪
⎨⎧==
+=33
32311x x x x x x R
k k x ∈⎥⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=,111001 2-=λA ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----00
35.15.1015.05.01
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--00
21102101
⎩⎨
⎧=-=-2
23231x x x x ⎪⎩⎪
⎨⎧=+=+=33
323122x x x x x x R
k k x ∈⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=,111022
8、 当为何值时，非齐次线性方程组（1）有唯
一解；（2）无解；（3）有无穷多解？此时求其通解.
解 =
第二行减去第一行；第三行减去第一行的
倍.
~
~
.
当且时，，有唯一解.
当时，，无解.
当时，，有无穷多解.~
，原方
程组同解于
,,通解
.
9、当为何值时,非齐次线性方程组
（1）有唯一
解;（2）无解;（3）有无穷多解？此时求其通解.
解=
~
~.
当且时，，有唯一解. 当时，或者当
时，，无解.
当
时，，有无穷多解.
~，原方程组同解于
，
，通解
λ⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++23213213211
λ
λλλλx x x x x x x x x A
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡21
1
1111
1
λλ
λλ
λ
λ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡------λλλ
λ
λλλλ
2
2
110
1
11
01
11
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+--+---)1)(1()
1)(2(0
1
11
01
1
1
λλλλλλλλ
2-≠λ1≠λ3)()(==A R A R 2-=λ)()(A R A R <1=λ31)()(<==A R A R A ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡00
000011111
321=++x x x ⎪⎩⎪
⎨⎧==
--=33
223211x x x x x x x R
k k k k x ∈⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2121,,101011001 b a ,⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++4
423
321
321321bx x x x ax x x ax x A ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡411
4121311b
a a ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-21
1
1002101
b a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----a b a b 21)
1(00
2
1102
101
0≠a 1≠b 3)()(==A R A R 0
=a 1
,2
1=≠
b a )()(A R A R <1,2
1==b a 32)()(<==A R A R A
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡00
20102101
⎩⎨
⎧==+2
2
231x x x ⎪⎩⎪
⎨⎧==-=33
23122x x x x x
.
10、设向量组,,, 试问：当满
足什么条件时
（1）能由,,线性表示,且表示式唯一； （2）不能由,,线性表示, （3）
能由,,线性表示,且表示式不唯一，并求出一般表示式.
分析：非齐次线性方程组+=，即
（1）只有一个解能由,,线性表示,且表示式唯一；
（2）无解不能由,,线性表示,
（3）有无穷多解能由,,线性表示,且表示式不唯一，并求
出一般表示式.
解=
~
当时，，能由,,线性表示,且表示式唯一.
当且时，不能由,,线性表示.
当，时，，有无穷多解. ~
原方程组同解于
，
，一般表示式
=
+
.
11、 设是非齐次线性方程组的一个解，
是对应
的齐次线性方程组的一个基础解系.证明 （1），
线
R
k k x ∈⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=,101022 ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=102
1a α
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=5112
α
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=4113
α
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=c b
1β
c b a ,,β 1α 2α 3α β 1α 2α 3α β
1α 2α 3
α
11α
x 22α
x 33α
x +β
⎪⎩
⎪
⎨⎧=++=++=--c
x x x b x x x x x ax 321321321451021⇔β
1
α
2
α
3
α
⇔β 1α 2α 3α ⇔β 1α 2α 3α A ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--c b a 4
5
10
1121112
112
111054~0015222
2022
2b b
c c b
a
a a a
b ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
--⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥--++-⎣⎦⎣⎦
2
1042
1
04~0015~0
20(2)(4)2(1)
2
2
20
1
5c b c b
b c a a c b b a a ab b c --⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥
-++--+⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥++--⎣⎦⎣⎦
2-≠a 3)()(==A R A R β
1α
2α
3α
2-=a 1-≠b β 1α 2α 3α 2-=a 32)()(<==A R A R A 2
10400150
0c c
+⎡⎤
⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎩⎨
⎧--=+=+5
4
2321c x c x x ⎪⎩⎪
⎨⎧--==
--=55.025.03
21c x k x k c x β
1
)4(2
1
α
k c --2α k 3)5(α
+-c R
k ∈,*η
β
=x A r
n -ξξξ ,,210 =x A *
η
r n -ξξξ ,,,21
性无关；
（2）
，
线性无关.
证 （1）假设，线性相关，由条件线性无
关，则能由线性表示，即存在，使=，而
是
的解，则也是的解.
矛盾，故，
线性无关.
（2）设，即
+=，由，
线性无
关得，
，即全为零，所以
，线性无关.
12、设非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，是它的个线性无关的解.证明它的通解为，其中
证 是的个线性无关的解，则，，是的个线性无关的解，因此，，
为的一个基础解系，的通解为+
= =
其中，
13、 设四元非齐次线性方程组
的系数矩阵的秩为2，已知
是它的三个解向量，求该方程组的通解.
解 ，
的基础解系中只有2个线性无关的解向量，
而
，是的2个线性无关的解向量，于是
的通解为，方程组的通解
14、设三元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为1，已知它的三个
*
η
r n -+++ξηξηξη
*,,*,*21*η
r
n -ξξξ ,,21r
n -ξξξ ,,21*η r n -ξξξ ,,21r n k k k -,,,21 *η r
n r n k k k --+++ξξξ
2211r
n -ξξξ
,,,210 =x A *η
=x A *
η
r n -ξξξ ,,21*η
k 0
)*()*()*(2211 =++++++--r n r n k k k ξηξηξη*)(21η
r n k k k k -++++r n r n k k k --+++ξξξ 22110
*η
r
n -ξξξ ,,210
,,0,0,02121====++++--r n r n k k k k k k k r n k k k k -,,,,21 *
η
r n -+++ξηξηξη *,,*,*21β
=x A r 12
1,,,+-r n ηηη 1+-r n 112211+-+-++=r n r n k k k x ηηη
1121=+++-r n k k k 121,,,+-r n ηηη β =x A 1+-r n 12ηη -13ηη -11,ηη -+-r n 0
=x A r n -12ηη -13ηη -11,ηη -+-r n 0
=x A β =x A 1η =x )(122ηη -+k )(133ηη -+k )
(111ηη
-+++-+-r n r n k 11221132)1(+-+-+-++----r n r n r n k k k k k ηηη
112211+-+-++r n r n k k k ηηη
13211+-----=r n k k k k 1121=+++-r n k k k β
=x A ⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=3322,4321,1111321ηηη
β
=x A 2,2,4=-==r n r n 0
=x A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-=3210121ηηξ ⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-=2211132ηηξ
=x A 0
=x A 2211ξξ
k k +β
=x A 1η
=x 2
211ξξ k k ++
解向量，，满足+=
，+=
，+=
，求它的通
解
解 ，
，
的基础解系中只有两个解向量.因为
==，==是两个线性无关的解；
=
该三元非齐次线性方程组的通解
15、 设，是阶方阵，且，证明
证 （1）当时，，可逆，则，即，，此时.
（2）当时，的基础解系中只有个线性无关的解向量，即的解向量组的秩为.设，由得，为的个解向量，所以向量组的秩.故.
17、设，是三阶非零矩阵，且，求
解 由、知、，于是， ，或，此时，，
18、设是矩阵，证明
分析 若能够证明与同解，则 证 设成立，则一定成立.
若，则
，于是
，
即 故与同解，
1η 2η
3η 1η 2
η
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡3212
η
3η
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-1103η 1η
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡1013=n 1)(=A R 1η
3
η
--⎥⎥
⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡321⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-11
0⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡2311η
2
η
-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--110⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡0111η
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡5.15.11=x ⎥⎥
⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡5.15.112
1231k k +⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡011A B n 0
=AB
n B R A R ≤+)()(n
A R =)(0
≠A A
)(1
1
--=A
AB A
0=B 0
)(=B R n B R A R =+)()(n r A R <=)(0=AX r n -0=AX r n -[]n X X X B 21=0=AB n X X X ,,210=AX n =)(B R n X X X ,,21r n -≤n B R A R ≤+)()(⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=131
11
11b
b
a A B 0=AB 0≠B 0=AB 1)(≥B R 3)()(≤+B R A R 2)(≤A R 0)1(21
31
11
1
1=-==a b b
b a A 1=a 0=b 2)(=A R 1)(3)(=-≤A R B R 1
)(=B R A n m ⨯)()'(A R A A R =0
=X A 0' =X A A )()'(A R A A R =0
=X A 0' =X A A 0'
=X A A 0
''
=X A A X ===X A X A X A X A X
A
)'(],[2
''
=X A A X 0
=X A 0
=X A 0' =X A A )()'(A R A A R =。