单元6+平面图形的几何性质要点

一、课题粱的正应力及其强度条件

二、课型：课堂讲解

三、授课日期________星期_____节次__ _____

四、知识点：1.平面几何图形的重心和形心概念；一般物体、均质物体和均质薄板的重心坐标的计算。

2.静矩的概念和计算。（包括简单图形和组合平面图形）。

3.惯性矩、惯性积、惯性半径的概念，平行移轴公式。

4.形心主惯性轴和主惯性矩的概念。梁纯弯曲时的正应力分布规律及正应力计算公式；梁的正应力强度条件及强度计算；矩形截面与工字形截面梁剪应力的计算公式、常用截面梁的最大剪应力公式；梁的剪切强度条件；梁的合理截面形状、提高梁抗弯强度的措施。

5、梁变形的概念；挠曲线近似微分方程；抗弯刚度；叠加法求梁的变形；梁的刚度条件；提高梁刚度的措施。

6、一点处的应力状态、单元体、平面应力状态、主应力、主平面，最大切应力；梁的主应力迹线；强度理论简介。掌握正应力分布规律及横截面上任一点的正应力计算公式；理解正应力强度条件，熟练对梁进行正应力强度计算；了解剪应力的分布规律及剪应力强度条件；掌握梁的变形及刚度条件。

7、掌握用叠加法求梁的变形、理解梁的挠度与转角的概念；了解梁的挠曲线近似微分方程、了解刚度条件及刚度计算；了解提高梁抗弯刚度的措施。了解梁的主应力迹线；了解强度理论。

五、教学要求：1.理解重心和形心的概念，掌握坐标计算。

2.能够熟练运用公式计算简单图形和组合图形的静矩、惯性矩。

3.识记简单图形对形心轴的惯性矩。

4.灵活运用平行移轴公式。

5、掌握正应力分布规律及横截面上任一点的正应力计算公式；理解正应力强度条件，熟练对梁进行正应力强度计算；了解剪应力的分布规律及剪应力强度条件；掌握梁的变形及刚度条件。

6、掌握用叠加法求梁的变形、理解梁的挠度与转角的概念；了解梁的挠曲线近似微分方程、了解刚度条件及刚度计算；了解提高梁抗弯刚度的措施。

7、理解应力状态、单元体的概念；掌握平面应力状态分析的解析法；

掌握主应力、主平面、最大剪应力的概念及其计算；了解梁的主应力迹线；了解强度理论。

六、教学过程

课题1 重心和形心

1.1 重心的概念

地球上的任何物体都受到地球引力的作用，这个力称为物体的重力。可将物体看作是由许多微小部分组成，每一微小部分都受到地球引力的作用，这些引力汇交于地球中心。但是，由于一般物体的尺寸远比地球的半径小得多，因此，这些引力近似地看成是空间平行力系。这些平行力系的合力就是物体的重力

1.2 一般物体重心的坐标公式

1．一般物体重心的坐标公式

如图6—1所示，为确定物体重心的位置，将它分割成n个微小块，各微小块重力分别为G1、G2、·…··G n，其作点的坐标分别为(x1、y1、z1)、(x2、y2、z2)…(x n、y n、z n)，各微小块所受重力的合力W即为整个物体所受的重力G=∑G i，其作用点的坐标为C(x c、y c、z c)。对y轴应用合力矩定理，有：

图6-1

将物体连同坐标转900而使坐标面oxz成为水平面，再对z轴应用合力矩定理，可得：

因此，一般物体的重心坐标的公式为：

（6-1）

2．均质物体重心的坐标公式

对均质物体用γ表示单位体积的重力，体积为V，则物体的重力G=Vγ，微小体积为V i，微小体积重力G i=V i·γ，代入式(4—1)得均质物体的重心坐标公式为：

（6-2）由上式可知，均质物体的重心与重力无关。所以，均质物体的重心就是其几何中心，称为形心。对均质物体来说重心和形心是重合的。

3．均质薄板的重心(形心)坐标公式

对于均质等厚的薄平板，如图6-2所示取对称面为坐标面oyz，用δ表示其厚度，A表示微体积的面积，将微体积V i=δ·Ai及V=δ·A代人式(6-2)，得重心(形心)坐标公式为:

∑A i y i∑A i z i

y c=———— zc=———(4-3)

A A

图6-2

4．平面图形的形心计算

形心就是物体的几何中心。因此，当平面图形具有对称轴或对称中心时，则形心一定在对称轴或对称中心上。如图6-3所示。若平面图形是一个组合平面图形，则可先将其分割为若干个简单图形,然后可按式（6-3)求得其形心的坐标，这时公式中的A i为所分割的简单图形的面积，而z i,y i为其相应的形心坐标，这种方法称为分割法。另外，有些组合图形,可以看成是从某个简单图形中挖去一个或几个简单图形而成，如果将挖去的面积用负面积表示，则仍可应用分割法求其形心坐标，这种方法又称为负面积法。

图6-3

【6-1】试求图6-4所示T形截面的形心坐标。

图6-4

【解】将平面图形分割为两个矩形，如图4-4所示，每个矩形的面积及形心坐标为：

由式(6-3)可求得T形截面的形心坐标为：

【例6-2】试求图6—5所示阴影部分平面图形的形心坐标。

【解】将平面图形分割为两个圆，如图6-5所示，每个圆的面积及形心坐标为

图6-5

由式(6-3)可求得阴影部分平面图形的形心坐标为：

课题2 静矩

2.12.1 定义

任意平面图形上所有微面积dA，与其坐标y(或z)乘积的总和，称为该平面图形对z轴(或y轴)的静矩，用S z(或S y)表示，即：

(6-4)

由上式可知，静矩为代数量，它可为正，可为负，也可为零。

2.22.2 简单图形的静矩

简单图形的面积A与其形心坐标y c(或z c)的乘积，称为简单图形对z轴或y轴的静矩，即：

S z=A·y c

S y=A·z c (6-5)

当坐标轴通过截面图形的形心时，其静矩为零;反之，截面图形对某轴的静矩为零，则该轴一定通过截面图形的形心。

2.3 组合平面图形静矩的计算

S z=∑A i·y ci

S y=∑A I·z ci (6-6)

式中 A i-----各简单图形的面积；

y ci、z ci-----各简单图形的形心坐标。

课题3 惯性矩、惯性积、惯性半径