结构力学 位移法基本概念

4EI/L
1
EI
记：EI/L= i
称为杆件的线刚度
3EI/L
基本思路 那么， 1 时的弯矩图就可作出, 称为 M图 取结点B为研究对象， 得：r = 7i 由前所述， R= - RP， 消除约束力矩就是使 4i r 3i 1 B
M图
RP r B 0
由此式解出转角 B ，把 M图 放大 B 倍， B
1.位移的种类
1）角位移 2）线位移 3）杆端相对侧移
BH
CH
B
C
B
A
图示结构在荷载作用下，结点B、C都要产生水平位移，同时 ，结点B还要产生转角。 在位移法中，以杆件为基本研究对象，位移变量取在杆端。 1） 角位移：θ B ，C端虽然有转角，但不作为位移法变量。 角位移通常是刚结点的转角。 2）线位移：Δ BH ，Δ CH 是指结点发生的绝对位移，包括刚 结点和铰结点。 3）杆端相对侧移：Δ AB 是指A、B两截面发生的相对侧移， 由于A截面的线位移为零，所以，Δ AB就是Δ BH 。
基本概念
实际的结构绝大多数是超静定结构，在进行结构分析时， 有两种基本方法：
力法是以多余未知力为基本未知量，把超静定结构变为静定结
构，应用位移协调条件求出多余未知力，然后求内力和位移； 位移法则是以结构结点的角位移和线位移作为基本未知量，附 加约束把结构变为各超静定杆，用平衡条件先求出结点的角位 移和线位移，再求出结构的内力。 两种方法的求解顺序相反，各有优缺点。 共同的缺点是，都要求解联立方程。
[举例] 例题4 A B C
基本概念
D
E
F
解：AB杆为静定杆，受载后可等效右图所示结构。 由于不考虑轴向变形，弯曲杆件受弯后也不改变长度，故，仅 有C结点的转角为位移法变量。结点C所连接的三杆杆端在C结 点的角度关系不变。位移法变量θ
C
。
B截面有转角，但不作为位移法变量；
D、E、F处截面的转角是零。
基本概念
一、内力符号规则与内力图 1.弯矩 定义：以杆端受顺时针方向的弯矩为正，如图。
+
A B
+
+
A

B
A端截面下侧受拉，上侧受压 B端截面上侧受拉，下侧受压
A端截面下侧受拉，上侧受压
B端截面下侧受拉，上侧受压
基本概念

A

A
B
+
A端截面右侧受拉，左侧受压 B端截面右侧受拉，左侧受压
B A端截面右侧受拉，左侧受压 B端截面左侧受拉，右侧受压
2i 3i
就得到了MR图。从而实现了MP图与
MR图的叠加。
r
4i
基本思路 代入RP与 r
qL 7i B 8
qL2 / 8
2
0
qL2 qL3 B 56i 56EI
qL2/8
5）弯矩图的作法： M M P M B 4i r
qL2/14
与ΔH 。
[举例] 例题3 D
EI1
DH
EH
FH
E
GH
F
EI
A
EI
EI1
G
EI
B C
解：对刚度是无穷大杆件，受力时不产生弯曲变形。故，刚架 将在承载后产生侧移。 由于不考虑轴向变形及无穷大杆件的弯曲变形，受弯杆件又不 改变长度，所以，DE、FG杆仅产生水平侧移，D、E、F、G四 个刚结点没有转角产生。 故，本结构没有角位移变量，线位移变量有：Δ DH=Δ EH=Δ 2 ，Δ FH=Δ GH=Δ 1 ，即两个线位移变量。 AD杆的相对侧移为Δ 2 ，EF杆的相对侧移为Δ 2-Δ 1 ，BF杆 的相对侧移为Δ 1 ，CG杆的相对侧移为Δ 1 。
依叠加原理，若令：R= - RP，则消去附加刚臂的作用
可看作是下列两个图形的叠加。
R= - RP的含义是：在B结点反作用RP
qL2 / 8
R
+ M P图 MR图（暂时未知）
基本思路 问题：MR图怎么作？ 在B结点施加力矩R，刚结点B 就有转动，显然，该转角与R的 大小成正比。 那么，比例系数是多少？ R
四、等截面直杆的物理方程
位移法中，通过附加刚臂，附加支杆（链杆）使结构中 所有的结点没有转动和位移，而把结构修改成对弯矩而 言的各自独立的超静定杆。这些超静定杆在荷载、支座
移动作用下的弯矩图可用力法求得。
详见书中列表
如何画变形图
P
A
B
C
P
D
转角θD）
基本思路
三、位移法的基本思路---------先修改，后复原。
B C
B
A 1．位移法变量：θ 2．修改的方法
B
基本思路 1)在B结点附加刚臂，设想刚臂的作用只是阻止结点B的转动， 各杆的弯矩不能互相传递。
2)求杆端弯矩。由于各杆的弯矩不能互相传 递。所以AB杆与BC杆的弯矩可独自求解 RP
A
*杆端侧移的方向垂直于杆轴线。
B
A *忽略轴向变形与剪切变形。
B
其实，以上假设与力法中是相同的。
②基本结构与基本未知量的确定思路 通过增加约束的办法把结构先变为各独立受力的超静定杆， 然后，想办法消去增加的约束。
这样，就要让结构“不动” ------即结点“不动” 即可。
课本中，把超静定杆在荷载、杆端位移等因素作用下的内力
C
、θ
D
、Δ 1 、Δ BH 。
[举例]
例题10 F B C
A
BV

CV
D G
E
D
E
解：由图可见，只有AB杆及CD杆有杆端相对侧移 -Δ BV 及
Δ CV 。E端为弹簧铰，所以，刚结点有D和E。但是，由于CD
杆的刚度无限大，Δ CV与D结点的转角相关。 因此，结构有三个位移法变量：θE 、ΔBV 、ΔCV （或D结点
[举例] 例题2 B
BH
C
CH
B
A 解：图示结构在荷载作用下，结点B、C都要产生水平位移，同 时，结点B还要产生转角。 由假设，BC杆在弯曲变形后不改变长度，所以ΔBH=ΔCH=ΔH是一 个独立线位移。另外，θB 是一个独立的角位移。A是固定端， 则A点无位移，所以，AB杆的相对侧移为ΔH ，C截面有转角， 但不作为位移法变量。故，该结构具有二个位移法变量-- θB
用公式表示就是： r B R
显然，使得转角为1，所施加的 力矩为 r ，r 称为刚度系数。 问题转化为：求 r
R是已知的，所以，若能确定 r ，那么，结点 B的转角 B也就确定了。
基本思路 用力法已经事先求得各类 支撑情况下的杆端转角时 所产生的内力，例如：
1
B 1
r
EI
2EI/L
2.位移的正、负号规则 1）角位移：以顺时针转动为正，计算时，总是先假 定刚结点有顺时针方向转动。 2）杆端相对侧移：截面发生顺时针方向的相对侧移 为正，反之，为负。例图中的Δ AB就是正的相对侧移。 A B
AB AB
B A A
A B
AB
AB
B
3. 位移法基本结构与未知量的确定 ①基本假设------弹性小变形 * 受弯杆件受弯后，不改变杆件的长度。 A B
②由结点E的侧移方向垂直BE杆轴线，所以，Δ D =Δ E =Δ F
=Δ H 与θ 有关，不是独立的变量。 ③至于弹簧支座，对变形没有影响，只与结构的受力有关。 所以，位移法变量为两个：θ
F
与Δ H （或θ ）
[举例] C
例题9 D
CH
DH
C
D
A
B
BH
解：θ C与θ D是两个独立角位移，Δ CH=Δ DH=Δ 1为C、D结点的 侧移，另结点B也有水平位移Δ BH ，也是独立的位移变量。 所以，结构有四个位移法变量：θ
基本概念
2.剪力 与以前的定义相同，即微元体（或杆端）截面顺时针方向 的剪力为正，如图。 + + +

+
+
+

基本概念
3.轴力 与以前相同，杆件受拉为正，受压为负。 4.内力图的画法规则 弯矩画在杆件受拉纤维一侧，标明大小，不用标明正、负号；
剪力图、轴力图画在任意一侧，标明大小、正、负号。
二、位移法位移的种类与位移正、负号的规定
结 构
确定位移法变量
附加刚臂约束
等价 各杆弯矩不相互传递 MP图
解 位 移 法 方 程
“修改”
叠 加 后 约 束 消 除
作各杆在各自荷载 作用下的弯矩图
“复原”
确定约束力RP
在结点处反作用约束力 RP
作M 图
作在θ =1下的弯矩图, -RP= rθ
举例
q
L
RP
L
L
RP=qL2/8 –qL2/3= -5qL2/24
B
qL2 8
q3) 附加刚臂的约束力矩 取B结点为研究对象，得：
RP= - qL2/8 （逆时针）
B RP
MBC= - qL2/8
这里，依弯矩的符号规则写 出的MBC ，附加刚臂的约束
MBA=0
力总是假定顺时针方向。
基本思路
4）复原的方法-----消去约束力矩
qL2/3 qL2/8
RP M P图
R= - RP
3i 4i
r i
M 图
R= rθ
r=8i
5qL r RP 0 192i M M P M
2
qL2/3
qL2/8
RP M P图
M M P M
59qL2/192 13qL2/64 5qL2/48 37qL2/192 5qL2/96
第八章 位移法
本章结构体系 位移法
原理 基 本 概 念 基 本 思 路
内力与位移计算
技巧 对 称 性 的 利 用
典 型 方 程
荷 载 作 用 下 的 位 移 法
温 度 作 用 下 的 位 移 法
支 座 移 动 下 的 位 移 法
本章解决的问题
超静定结构问题的基本计算方法
[重点]：位移法的典型方程、符号规则、弯矩图的画法 [难点]：符号规则、内力图、刚度系数的计算、含无限刚性杆、 弹簧支承结构的位移法。
[举例] 例题7 C D
C
D
CD
C
B
D
A
解：①两个刚结点，就有两个角位移变量θ
C
、θ
D
②由假设，结点侧移与杆轴线垂直，所以C点的侧移垂直AC， D点的侧移垂直BD，再由杆件的长度不变，画出变形图。 ③AC杆杆端相对侧移为Δ CH ，BD杆杆端相对侧移为Δ D ，CD
杆杆端相对侧移为Δ CD
[举例] 例题1 A B
AH
BH
A
B
C
D
解：刚架在荷载作用下，通常会产生侧移与A、B结点的转角。 由假设，AB杆在弯曲变形后不改变长度，所以ΔAH=ΔBH=ΔH是 一个独立线位移。另外，θA 与θB 是两个独立的角位移。C、 D点无移动，所以，AC杆及BD杆有相对杆端侧移ΔH ；C处是固 定端，所以C截面无转角，D截面有转角，但不作为位移法变量。 故，该结构具有三个位移法变量。
列出备用
基本概念
③位移法基本位知量的确定方法 10 结构中每个刚结结点为一个独立角位移，共有na个刚结点。 20 附加链杆（或支杆）使结构没有结点线位移产生（包括刚结 点与铰结点）。设，附加的独立的附加链杆（或支杆）数为nb 则，位移法变量的数目为na + nb ，也就是位移法基本未知量的 数目。
3i B 1
MP 图 2i
qL2/28
M图
基本思路
小结：
1. 附加刚臂 2. 作荷载作用下的弯矩图MP，求出约束力矩 3. 作刚结点单位转角时的弯矩图 M ，求出刚度系数 r 4. 依 r B RP 0 解出 B 5. 依 M M P M B 作出弯矩图。
基本思路
④ 3个位移法变量为；θ
C
、θ
D
，Δ CH 。
Δ D 、Δ CD与Δ CH 有关，不是独立的位移法变量。
[举例] 例题8 E D
F
D
E
F
EI
EI EI
C

F
EI
A
EI1
B
解：①这是具有无限刚性杆的结构，BD杆没有变形，只有刚体 侧移，设弦转角为θ 。则由于结点E刚结点的特性，三杆端在E 点保持相同的转角，从而，结点E的转角也为θ
[举例] 例题5 D
H E F
I
1
G C
E
2
G
A
B
解：结构共有8根杆件。 ①A、C、H、I为支座，其截面转角为零，B支座有转角，但不 作为位移法变量。C支座有水平位移，但CG作为位移法的基本杆 件，这个位移也不作为位移法变量。 ②刚结点两个，E和G，相应两个角位移θE和θG ③由于不考虑轴向变形，D、E、G有共同的水平位移Δ 1 ，都没 有竖向位移。结点F有竖向位移Δ 2 。 ④位移法变量有四个，θE 、θG 、Δ1 、Δ2 。 ⑤AD、BE杆有侧移Δ 1 ，HE、IG有侧移 -Δ 1 ，EF杆有侧移Δ 2 ，FG杆有侧移 –Δ 2 。
[举例]
例题6 B C
A
B

A
D 解：三根杆件，A支座为弹簧铰，有约束能力，也可产生转角， 但不可发生水平及竖向位移。C支座有约束能力，但可产生竖向 位移。 所以，位移法变量有：A、B处的转角θ A及θ B ，C处的竖向 位移Δ ，共三个位移法变量。 BC杆有侧移Δ ，D处无转角，C截面的转角不作为位移法变量