电子电工技术_电路定理及分析方法

所选回路中不包含恒流源支路，这时，电路中有几
条支路含有恒流源，则可少列几个KVL方程。
(2) 若所选回路中包含恒流源支路，则因恒流源
两端的电压未知，所以，有一个恒流源就出现一个
未知电压，因此，在此种情况下不可少列KVL方程
I
+1
U
US
1. 电压源模型
R
一个实际电源可以用图(a)
+ US
U
所示的电压源模型表示。端子
_
_
1'
RI
US RI
1-1′处的电压 U与输出电流 (外I
电路在图中没有画出)的关系为：
（a)电压源模型
(b)电压源伏安特性 曲线
U US RI
电压源的伏安特性曲线如图（b）所示。
R
2. 电流源模型
一个实际电源又可以用图(c) 所示的电流源模型表示。
A I2 R2
I
B
C
I3
R4 I4
回路Ⅰ 回路Ⅱ
R1
2I6 8I4 10 I2 40
I1
4I3 8I4 8I5 20
II
R3
R5
+ I II
_ US3
I5
回路Ⅲ 10 I1 10 I2 4I3 20
D
联立上述 6 个方程即为求解电路所必需的独立方程组。 联立求解此方程组即可求解各支路电流。
c
4
3 e 4
2
3
4 4 4
4 2
2 b
b
（a)
(b)
a
1 (c,d,e)
4
3
2
2 b
(c)
解：从图（a）可以看出cd 、de是两条短路线，所以c、d、e 可视为同一点，如图(b)所示，将图(b)中能看出串并联关系的 电阻用其等效电阻代替 ，如图(c)，所以：
a、b间等效电阻为
Rab
(2 1) 3 2 1 3
相串联。
解：
Rab=R1+ R6+(R2//R3)+(R4//R5)
电阻混联电路的等效电阻计算，关键在于正确找 出电路的连接点，然后分别把两两结点之间的电阻进 行串、并联简化计算，最后将简化的等效电阻相串即 可求出。
例2-1 求图(a)所示电路a、b两端点间的等效电阻。
a
2
a
2 (c,d,e)
2 d
2. 电感的并联
i +
i +
u
L1
L2
Ln
u
L
_
_
L 称为 n 个并联电感的等效电感，其值为：
1 1 1 L 1 n 1
L L1 L2
Ln L i1 i
第二节 实际电源的模型及其等效变换
实际电源既做不到电压源端电压不变,也做不到电流源的输
出电流不变，这是因为电源内部都存在电阻。
一、实际电源模型
选取两个网孔，并假定两个网孔的绕行方向为顺时针（已 在图中标出），根据KVL列出两个网孔的回路电压方程。
网孔Ⅰ
I1R1 - I3R3 = U S1 -U S 3
网孔Ⅱ I 3R3 I 2R2 U s3 U s2
代入数据得
15I1 - I3 15-9
1.5I2 + I3 9-4.5
I1 + I3 - I2 0
前面取正号，不一致时取负号。
n个电流源并联可用一个电流源等效代替。
1
1
IS1 IS2
ISn
IS
2
2
n
等效电流源电流： I s I s1 I s2 I sn I sk k 1
如果 ISk 的参考方向与 IS 的参考方向一致时，式中ISk 的 前面取正号，不一致时取负号。
问题与讨论 +
(k 1,2,...,n)
两个电阻的串联：
+ R1
U
R2 _
+ U1
_ +
U2 _
R R1 R2
分压公式：
U1
U
2
R1 R1 R2
R2 R1 R2
U U
当负载的额定电压低于电源电压时，可用串联电阻的方 法进行分压。另外，通过电阻的串联，可以限制和调节电 路中电流的大小。
2. 电阻的并联
⑷ 求解联立方程组，得到各支路电流。
例2-5 图2-16所示电路中，US3 20V , R1 R2 10，US6 40V ,
R3 4，R4 R5 8，R6 2，试用支路电流法列写出求解 电路所必需的独立方程组。
解：本题电路有 n=4个结点（结
I6
R6
+ US6 _
点a、b、c、d），b=6 条支 路，故有6个未知量。 由KCL列 n-1= 3个结点电流 方程，设流出结点的电流取 正号。
在电路分析时，常会遇到电压源串联和电流源并联的情况。 n个电压源串联可用一个电压源等效代替，如下图所示。
+ _+ _
US1
US2
1
+_ USn 2
+
_
US
1
2
等效电压源电压：
n
U s U s1 U s2 U sn U sk
k 1
如果
U
的参考方向与U
Sk
S
的参考方向一致时，式中U
Sk
的
到图(c)。
由此可得
I 7 0.25A 7 21
例2-3 用电压源电流源等效变换的方法求下图电路中的电
流i。
2
6A + _ 6V
2A 2 2
I 7
2A
2 3A 2 6A 2
I 7
2A
2
I
9A
1
7
1
2
+ _ 9V
+ 4V _ I
7
解：简化过程如图所示， I 9 4 0.5A 1 2 7
idt
1
t
idt
1
t
idt
C1 0
C2 0
Cn 0
( 1
1
1)
t
idt
C1 C2
Cn 0
1
t
idt
C0
C 称为 n 个串联电容的等效电容，其值为：
1 1 1 L 1 n 1
C C1 C2
Cn
C i1 i
2. 电容的并联
+i
i1
i2
u
C1
+ _
C2
+ _
in Cn
+ _
假设电路有b条支路，n个结点，则有b个未知量需要求解。 应用基尔霍夫电流定律，只能列出n-1个独立方程，其余的b(n-1)=b-n+1个独立方程可根据基尔霍夫电压定律列出。通常 情况下选择电路中的网孔列方程，且网孔的个数恰好是b-n+1 个。
例2-4 电路如图所示，已知 U S1 15V , R1 15， U S 2 4.5V , R2 1.5，U S3 9V , R3 1，用支路电流法计算各支路电流。
I
10V 2A 2
I=?
－
哪个答 案对？
I 10 5 A 2
?
? I 10 2 7 A 2
? I 10 4 3 A 2
例: 求下列各电路的等效电源
2 +
3 5V–
+a
U 2 5A
(a)
解:
2 + 5V –
(a)
a + U 5A b
+a 3 U
b
(b)
+a 3 U
(b) b
+a
可以看出，支路较多时，用支路电流法求解电路 的工作量较大。
例3：试求各支路电流。
a
c
+ 42V–
1 I2 2 6 7A 3
12 I1
支路中含有恒流源。
I3 支路数b =4，但恒流 源支路的电流已知， 则未知电流只有3个，
注意： b
d
能否只列3个方程？可以。
(1) 当支路中含有恒流源时，若在列KVL方程时，
I +
I1
U
R1 R2
I2
In
Rn
Βιβλιοθήκη Baidu
_
I +
U
R
_
1
R
11
1
R1 R2 Rn
n1
R k 1 k
n
Gk
k 1
式中G 称为电导，是电阻的倒数。在国际单位制中，电导
的单位是西[门子]（S）。
每个电阻上的电流:I k
U Rk
GkU
Gk G
I
(k 1,2,...,n)
两个电阻的并联：
I
+
I1
1.5
二、电容元件的串联与并联
1. 电容的串联
i C1 C2
+
+
_ u1
+
_ u2
u
_
Cn
+
_ un
+i C
u
_
每个电容两端的电压与电流的关系为(设每个电容的初
始储能为零)：
uk
1
Ck
tidt
0
(k 1,2,...,n)
C n
根据KVL，总电压：
u u1 u2 un
1
t
第二章 电路定理及分析方法
第一节 电阻、电感、电容元件的串联与并联 第二节 实际电源的模型及其等效变换 第三节 支路电流法与结点电压法 第四节 叠加定理 第五节 戴维宁定理和诺顿定理 第六节 受控电源与非线性电阻
• 本章要求：
• 1.了解实际电源的两种模型及其等效变换。 • 2.掌握支路电流法、节点电压法、叠加定理和戴 • 维宁定理等关于电路的基本分析方法和定理。 • 3.了解非线性电阻元件的伏安特性及静态电阻、
I
1
U
+
IS R
IS
R' U
U
R
_ 1'
(c) 电流源模型
IS I
(d) 电流源伏安特性曲线
电流源模型由理想电流源
I
和电阻
s
R的并联组合，端
子1-1′处的电压 U与（输出）电流 (I外电路在图中没有画
出)的关系为：
I
IS
U R
电流源的伏安特性曲线如图（d）所示。
U
二、 电压源和电流源等效变换
如果电压源和电流源等效，则此电压源和此电流源在端子
联立
15I1 - I3 15-9 解得： 1.5I2 + I3 9-4.5
I1 0.5A,I2 I3 1.5A
2A,
支路电流法分析电路的步骤：
⑴ 分析电路结构：有几条支路、几个网孔，选定并 标出各支路电流的参考方向。
⑵ 任选 n-1 个结点，根据KCL列独立节点电流方程。 ⑶ 选定 b-n+1 个独立的回路（通常可取网孔），指 定网孔或回路电压的绕行方向，根据KVL列写独立 回路的电压方程。
+ i+
u C_
_
_
根据KCL：
du du
du
i i1 i2 in C1 C2 Cn
dt dt
dt
du du (C1 C2 Cn) C
dt dt
C 称为 n 个并联电容的等效电容，其值为：
n
C C1 C2 Cn Ci i 1
三、电感元件的串联与并联
1. 电感的串联
动态电阻的概念，以及简单非线性电阻电路 的图解分析法。
第一节 电阻、电感、电容元件的串、并联
一、电阻元件的串联与并联
1. 电阻的串联
I
R1
R2
+ + _+ _
U
U1
U2
_
Rn +_
Un
I
+
+
UR
_
_
n
串联后的总电阻：R R1 R2 Rn
Rk
k 1
每个电阻两端的电压：U k
RkI
Rk U R
A I2 R2
R1
II
I1
I
B
C
I3
R4 I4
R3
R5
+ I II
_ US3
I5
节点A 节点B 节点C
I1 I2 I6 0 I2 I3 I4 0 I4 I5 I6 0
D
图2-16
假设3个独立回路（取网孔） 的绕行方向为顺时针（已在图中
I6
R6
+ US6 _
标出），由KVL可列3个回路电 压方程。
解：本题电路有 n 2 节点 ，b 3 条支路，有3个未知量。
假设各支路电流的参考方向如图所示。根据KCL,列节点
电流方程。
结点A： I1 + I3 - I2 0
结点B： -I1 - I3 + I2 = 0
I1
+
US1 _
R1
A I2 R2
I3 R3
I
+
II
US3 _
+
US2 _
B
观察以上列出的两个 方程，发现两个方程实际上是相同的， 因此只能任取其中一个方程作为独立方程。因为有3个未知量， 还需要列出两个独立方程才能求解电路。
U U0
0
II
=
2.电源的开?路电
压为12V,短路电
流为30A,则电源
的US=?RS=？
1. 电源外特性与横轴相 交处的电流=？
3. 理想电源和实 际电源有何别？理 想电源之间能否等 效互换？实际电源 模型的互换如何？
第三节 支路电流法与结点电压法
一、支路电流法
支路电流法是各种电路分析方法中最基础的方法，它以支 路电流为未知量，应用基尔霍夫电流定律（KCL）和基尔霍夫 电压定律（KVL），分别对结点和回路列出所需要的方程组求 解，从中解出各支路电流。
i L1
+
+ u1 _
u
L2 + u2 _
Ln + un _
_
+i
L
u _
根据KVL，总电压：
di di
di
u u1 u1 un L1 dt L2 dt Ln dt
(L1
L2
Ln )
di dt
L
di dt
L 称为 n 个串联电感的等效电感，其值为：
n
L L1 L2 Ln Li i 1
I2
U R1 R2
_
并联后的总电阻:
11 1 R R1 R2
所以：
R R1R2 R1 R2
R1
a
电阻的混联计算举例 分析：
R2
R3 由a、b端向里看， R2和R3，R4和R5
均连接在相同的两点之间，因此是
R6
R4
b
R5
并联关系，把这4个电阻两两并联 后，电路中除了a、b两点不再有结
点，所以它们的等效电阻与R1和R6
1-1′处的 U和 I的关系将完全相同。
I +1
R
+
U
IS
US
_
_
1'
则 U US RI
I 1
+
R' U
所以令 R R US IS R
_ 1'
U 和 I IS R
相同。
电压源和电流源等效变换时注意US 和 IS 的参考方向，IS的
参考方向由 US的负极指向正极。
注意：两种电源模型之间的这种等效变换仅保证端子1-1′外 部电路的电压、电流和功率相同（即只是对外部等效），对 内部并无等效可言。
2 +
+ 2V-
5V-
U b
(c)
+a + 5V U –
b (c)
例2-2 试用电压源、电流源等效变换的方法求图中的电
流 I。
5A
I 3
21
+ 3 _15V
_
I
7
21
+ _7V
I 21
2A
4
8V + 4
解： 将5A、3Ω的电流源以及2A、4Ω的电流源变换成电压
源，得到图（b）,15V和8V的电压源串联，合并后得