几何组成分析(结构力学)

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单铰可减少体系两个自由度相当于两个约束。 3、虚铰（瞬铰）
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1
能形成虚铰 联结两刚片的两根不共线的链杆相当于一个单铰即瞬铰。 2 的是链杆 4 3 瞬铰 O ( 2，3 ) 单铰 A 定轴转动 绕瞬心转动！
3、一固定支座或一单刚结点(simple rigid joint，联结两个刚片的
（3） 两刚片之间用全交于一虚铰的三链杆相连（延长线交于 一点），几何瞬变。
（4） 两刚片之间用三根平行但不等长的链杆相连，瞬变体系。 （5） 两刚片之间用三根平行且等长的链杆相连，可变体系。 （6） 三刚片用位于同一直线上的三个单铰（实铰或虚铰）两 两相连，瞬变体系。 （内力、反力无穷大或不能确定）
多余约束的说明：
①不能减少体系自由度的约束 ②相对性 ③静定+超静定
④ 作用：
调整内力分布； 提高安全度
注：只有必要约束对 体系的自由度有影响， 而多余约束则对体系 的自由度没有影响。
【例】
去掉一个多余约束。
去掉一个多余约束。
去掉一个必要约束。
#多余约束的个数是一定的，位置是不一定。
四、虚铰（瞬铰）virtual hinge
三、约束（或联系）(constraint)
指阻止或限制体系运动的装置。凡减少一个自由度的装置，称为一 个联系(或约束)。s
y
B
y x
A
y

B
A
2
1
n=2
x
o
x
o
1、一活动铰支座或一链杆(connection link:两端铰接的杆件或刚片) ：S=1
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2、单铰： 联结 两个 刚片的铰。 加单铰前体系有六个自由度。 加单铰后体系有四个自由度。
Geometric construction analysis
基本要求： 领会几何不变体系、几何可变体系、 瞬变体系和刚片、约束、自由度 等概念。 掌握体系的计算自由度的概念及计算 无多余约束的几何不变体系的几 何组成规则，及常见体系的几何 组成分析。 了解结构的几何特性与静力特性的关 系。
分 体无 多 系 余 析 的约 束 组 的 举 成几 何 规 不 例 则变
三、二元体规则
在一个体系上增加一个二元体或 拆除一个二元体，不会改变原有 体系的几何构造性质
四、规则说明
例如三铰拱
大地、AC、BC为刚片;A、B、C为单铰 无多余几何不变
三刚片规则说明
1、当三铰共线时：瞬变体系
2、两两相联的铰：可以是由两根链杆构 成的实铰或虚铰
推论：三刚片用六根链杆两两相联，若三 个瞬铰的转动中心不在同一直线上，则组 成几何不变体系，且无多余约束。 3、特殊情况：无穷远处的虚铰
体系几何可变
W< 0
体系几何不变
W≤0 只是几何不变体系的必要条件，还不是充分条件
§ 2-2几何不变无多余约束的平面杆件 体系的几何组成规律
一、三刚片规则
三刚片用不在同一直线上的三个单铰两两铰 联，则组成几何不变体系，且无多余约束。
二、二刚片规则
两刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相 联，则组成几何不变体系，且无多余约束
三、约束（或联系）(constraint) 四、虚铰（瞬铰）virtual hinge
五、计算自由度
一、几何不变体系、几何可变体系
结构
机构
几何不变体系 ( geometrically stable system )
几何可变体系 ( geometrically unstable system )
在任意荷载作用下，几何形状 在一般荷载作用下，几何形状及位 及位置均保持不变的体系。 置将发生改变的体系。（不考虑材 （不考虑材料的变形） 料的变形） 常变体系（frequentation unstable system）：原为几何可变体系，经微小位 移后仍能继续发生刚体运动的几何可变体系
两根链杆的约束作用可以等效为一个固定铰支座或一个单铰 两根链杆延长线的交点称为虚铰。
实铰
两根链杆延长 线组成的虚铰
两根链杆相交 组成的虚铰
无穷远处的虚 铰
5 体系的计算自由度(computational degree of freedom)
1、一个平面体系，通常由若干刚片彼此铰结并用支座与基础相联 W(计算自由度)=(各部件的自由度总数)-( 联系总数)
β
A
P N P A N
A
β
只有几何不变 体系才能作为建筑 结构使用！！
发生微量位移 P N
Δ是微量
N
1、几何体系划分：
几何不变体系
工程结构必须为 几何不变体系 没有静力学解答，不能 用于结构 从不能平衡到平衡的过程中， 会产生巨大的内力或支座反力， 使结构破坏，绝对不能应用于 工程中
几何常变体系
几何可变体系
2、当不满足规则中条件时：
常变体系
瞬 变 体 系
瞬变体系
瞬 变 体 系 常变体系
2. 一个点与一个刚片间的联结
一个刚片与一个结点用 两根链杆直连，且三个 铰不在一直线上，则组 成几何不变体系，且无 多余约束。
二元体规则 二元体---不在一直线上的两根链杆 连结一个新结点的装置。
去掉二元体
增加二元体
1、刚片 几何形状、尺寸（物体内各部分的相对位置）不随时间变化（不考 虑材料应变）如：一根梁、一根链杆、大地、体系中已经确定为几 何不变的部分
形状可任意替换
2、自由度 用来确定物体或体系在平面中的位置时所需要的独立坐标的数目:n
y
B
x A
一点：n=2

y o
x
独立变化的几何参数为：x、y、。n=3
？
计算自由度 = 体系真实 的自由度
W=2 ×6-12=0
W=3 ×9-(2×12+3)=0
缺少联系 几何可变
W=2 ×6-11=1 W=3 ×8-(2×10+3)=1
W>0, W=0,
缺少足够联系，体系几何可变。 具备成为几何不变体系所要求的最少联系数目。
小
结
W<0， 体系具有多余联系。
W> 0
W = 3m-(3g+2h+b)
W = 3m-(2h+b)
m (member) ---刚片数（不包括地基） h (hinge) ---单铰数(只包括刚片与刚片之间相互连接所 用的铰，不包括刚片与支承链杆相连用的铰) b (rod) ---支座链杆数
例1：计算图示体系的自由度
AC CDB CE EF CF DF DG FG
R
(rod)
--支座链杆数
例2：计算图示体系的自由度 1 2
按刚片计算
9根杆,9个刚片
3 1
3
有几个单铰？
2
3根支座链杆
W=3 ×9-(2×12+3)=0
另一种解法
按铰结计算
6个结点
9根单链杆
3根支座链杆
W=2 ×6-（9+3）=0
讨论
2
有 几 个 单 铰 ？
2
体系W 等于多少？
可变吗？
3 1 3
1 W=0,体系 是否一定 几何不变呢？
W=3 ×9-(2×12+3)=0
除去约束后，体系的自由度将增 加，这类约束称为必要约束。 因为除去图中任意 一根杆，体系都将有 一个自由度，所以图 中所有的杆都是必要 的约束。
除去约束后，体系的自由度并不 改变，这类约束称为多余约束。 图中上部四根杆和三 根支座杆都是必要的约 束。 下部正方形中任意一 根杆，除去都不增加自 由度，都可看作多余的 约束。
组成无多余约束的几何不变体系。 链杆相联，组成无多余约束的几何不变体系。 相联组成无多余约束的几何不变体系 。
五、不满足规则
（1） 三个规则说明了组成无多余联系的几何不变体系所需的最 少联系。 再增加联系，增加的联系为多余联系，成为超静定结构。 如若刚片之间的联系少于三个规则所要求的数目，肯定几何可变 。 （2） 两刚片之间用全交于一实铰的三链杆相连，几何可变。
（2）两铰在无穷远处
三刚片用三铰相联结中的两个虚铰在无限远处，
当形成两个虚铰的两对平行链杆互不平行，则为几何不变体系； 当两对平行链杆互相平行，为几何瞬变体系； 当四杆平行且等长，为几何常变体系
（3）三铰在无穷远处
三刚片用三铰相联结中的三个虚铰均在无限远处时，
用任意方向的三对平行链杆两两相联，均为瞬变体系 若三对平行链杆各自等长，则为几何常变体系（每对链杆都是从每一刚片 的同侧方向联出的情况）。
几何瞬变体系
2、引出本章几个主要目的：
1、判定：杆件体系能否作为结构 2、拼接：组成结构的规则，杆件如何组合才能成为结构 3、最优：最合理的组成方式 4、确定相应的计算方法：静定或超静定、多跨结构：基 本+附属，确定计算顺序
二、刚片(rigid plate)和自由度(degree of freedom)
体几 系 个 的 计基 算本 自 概 由 度念
§2-1几何组成分析中相关几个概念
一、几何不变体系、几何可变体系
( geometrically stable system、 geometrically unstable system)
二、刚片(rigid body)和自由度(degree of
freedom)
推论 3
二元体规则：在一个体系上增加或拆除二元体，不改变原体 系的几何构造性质。
加二元体组成结构 减二元体简化分析
如何减二元体？
有二元 有 体吗？
是什么 体系？
O是虚 O不是 铰吗？
O
无多不变 II
试分析图示体系的几何组成。 是什么 体系？ 有二元 体吗？
没有
有虚 铰吗？
有
无多余几何不变
四、规则说明
（1）一铰在无穷远处
（2）两铰在无穷远处 （3）三铰在无穷远处
（1）一铰在无穷远处
三个刚片用两个实铰或在有限远处的虚铰与一个无限远处虚铰相联结，
若形成虚铰的一对平行链杆与另两铰连线不平行，则形成几何不变体系； 若形成虚铰的一对平行链杆与另两铰连线平行了，则为几何瞬变体系 若形成虚铰的一对平行链杆等长且与另两铰连线平行，则为几何常变体系
刚结点) ：S=3
y
x 1 Ⅰ
A
Ⅲ 3 2
Ⅱ
复铰 等于多少个 单铰？
y
D
o
x
4、1个复铰 = (n-1)个单铰
S=2(n-1)
5、复刚结点(联结两个以上 刚片的刚性结点)：联结n个 刚片的复刚结点可看成n-1个 单刚结点。 S=3(n-1)
6、约束的分类 必要约束：为保持体系几何不变必须具有的约束必要约束。 多余约束：如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不 因而减少，则此约束称为多余约束。
例3： 计算 图示 体系 的自 由度
W=0,但 布置不当 几何可变。 上部有多 余约束， 下部缺少 约束。
W=3 ×9-(2×12+3)=0
W=2 ×6-12=0
例4：计算图示 体系的自由度
W<0,体系 是否一定 几何不变呢？
上部 具有多 余联系
W=3 ×10-(2×14+3)=-1<0
W=2 ×6-13=-1<0
瞬变体系（instantaneous unstable system） ： 原为几何可变体系，经微小位移即转化为 几何不变体系，称为，它是可变体系的特 殊情况。
几何可变体系
（1）几何常变体系(constantly changeable system) 发生有限位移 （2）几何瞬变体系(instantaneously changeable system) 发生微小位移 P ∑Y=0，N=0.5P/sinβ→∞ 由于瞬变体系能产生 很大的内力，故几何常变 体系和几何瞬变体系不能 作为建筑结构使用.
（a）
（b）
3、三个规则说明了组成无多余联系的几何不变体系所需的最少联系。
（e）
如在这些必要联系的基础上再增加联系，增加的联系为多余联系，成为 超静定结构。 （c）
如若刚片之间的联系少于三个规则所要求的数目，肯定几何可变。
（d）
规则 一
连接对象 必要约束数 三刚片 六个
对约束的布置要求
三铰(单或虚)不共线 二 链杆不过铰 两刚片 三个 三 三链杆不平行也不交于一点 两链杆不共线 两个 一点一刚片 四 规则一：三刚片以不在一条直线上的三铰相联， 规则四：一点与一刚片用两根不共线的链杆相联， 规则三：两刚片以不互相平行，也不相交于一点的三根 规则二：两刚片以一铰及不通过该铰的一根链杆
若三对平行链杆各自等长，则为几何瞬变体系（平行链杆中有从刚片的异侧 方向联出的情况）。
举例：
（Ⅰ,Ⅱ） Ⅰ Ⅰ (Ⅰ,Ⅲ)
Ⅱ
Ⅱ (Ⅰ,Ⅲ)
Ⅲ
Ⅲ
三刚片以三个无穷远处虚铰相连 组成瞬变体系
（Ⅱ，Ⅲ）
（Ⅰ,Ⅱ）
（Ⅱ，Ⅲ）
如图示，三刚片以共线三铰相连几何瞬变体系
二刚片规则说明
1、推论
两刚片用三根不全平行也不交于一点的链杆相联，则 组成几何不变体系，且无多余约束。
1 3 1
G
3
2
有几个单铰？
有 几 个 刚 片
？
W=3×8-(2 ×10+4)=0
W = 3m-(3g+2h+b)
1 3 1
G
3
2
有几个单铰？
W=3×9-(3 × 1+2 ×10+4)=0
2 铰结链杆体系---完全由两端铰 结的杆件所组成的体系 铰结链杆体系 的计算自由度：
W=2j-（b+r)
j （joint） --结点数 b (beam) --链杆数