人教版高中数学双曲线及其基本方程精品课件

学习要点点拨
1．对于双曲线定义的理解，要抓住双曲线上的点所要满 足的条件，即双曲线上点的几何性质，可以类比椭圆的定义来 理解．
还要注意到对“定值”的限定．即定值大于零且小于|F1F2|. 这样就能避免两种特殊情况，即：“当定值等于|F1F2|时，轨迹 是两条射线；当定值大于|F1F2|时，点不存在．”
2．类比椭圆标准方程的推导方法，建立适当坐标系，推 导出双曲线的标准方程，但要注意在椭圆标准方程推导中，是 令 b2＝a2－c2，而在双曲线标准方程的推导过程中，是令 b2＝ c2－a2.
3．用待定系数法求双曲线方程 (1)利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下 ①确定焦点位置：根据条件判定双曲线的焦点在 x 轴上还 是在 y 轴上，还是两坐标轴都有可能．
解法二：设双曲线方程为16x－2 k－4＋y2 k＝1， 将点(3 2，2)代入得 k＝4， ∴所求双曲线方程为1x22 －y82＝1.
[点评] 求双曲线标准方程的步骤： (1)定位置：根据双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种 都有可能； (2)设方程：根据焦点位置，设方程为ax22－by22＝1 或ay22－bx22＝ 1(a>0，b>0)，焦点不定时，亦可设为 mx2＋ny2＝1(m·n<0)； (3)寻关系：根据已知条件列出关于 a、b(或 m、n)的方程 组； (4)得方程：解方程组，将 a、b、c(或 m、n)的值代入所设 方程即为所求．
[点评] 在焦点三角形中，正弦定理、余弦定理、双曲线 的定义等是经常使用的知识点．另外，还经常结合|PF1|－|PF2| ＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1|·|PF2|的联系，请同学们 多加注意．
设 P 为双曲线1x62 －y92＝1 上一点，F1、F2 该双曲线的两个 焦点，若∠F1PF2＝60°，求△PF1F2 的面积．
已知双曲线上一点与两焦点构成的三角形问题，往往利用 正弦定理、余弦定理以及双曲线的定义列出关系式．
5．在椭圆的标准方程中，判断焦点在哪个轴上是看 x2、 y2 项分母的大小，而在双曲线标准方程中，判断焦点在哪个轴 上，是看 x2，y2 系数的符号．
课前自主预习
1．在平面内到两个定点 F1、F2 距离之差的绝对值等于定 值 2a(大于 0 且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做_双__曲__线_．这两个定点 叫做双曲线的_焦__点__，两焦点之间的距离叫做双曲线的_焦__距_．
(a>b>0)
(a>0，b>0，a 不一定大于 b)
课堂典例讲练
思路方法技巧
命题方向 待定系数法求双曲线的标准方程
[例 1] (1)已知双曲线的焦点在 y 轴上，并且双曲线过点(3， －4 2)和(94，5)，求双曲线的标准方程；
(2)求与双曲线1x62 －y42＝1 有公共焦点，且过点(3 2，2)的双 曲线方程．
∴|PF2|＝1 或|PF2|＝33. 又|PF2|≥c－a＝2，∴|PF2|＝33.
建模应用引路
命题方向 曲线类型的讨论 [例 3] 已知方程 kx2＋y2＝4，其中 k 为实数，对于不同
范围的 k 值分别指出方程所表示的曲线类型． [分析] 解答本题可依据所学的各种曲线的标准形式的
系数应满足的条件进行分类讨论．
A．||PF1|－|PF2||＝5 C．||PF1|－|PF2||＝7
B．||PF1|－|PF2||＝6 D．||PF1|－|PF2||＝0
[解析] A 中，∵|F1F2|＝6，∴||PF1|－|PF2||＝5<|F1F2|，故 运点 P 的轨迹是双曲线；
B 中，∵||PF1|－|PF2||＝6＝|F1F2|，∴动点 P 的轨迹是以 F1 或 F2 为端点的射线(含端点)；
在求过两定点的椭圆方程时，我们曾经将椭圆方程设为 mx2＋my2＝1(m>0，n>0)以简化运算，同理求经过两定点的双 曲线方程也可设为 mx2＋ny2＝1，但这里应有 m·n<0.
4．在椭圆的研究中我们已经体验了定义在解决有关曲线 上的点到焦点距离问题中的作用，同样在双曲线中也应注意定 义的应用．
2．在双曲线的定义中，条件 0<2a<|F1F2|不应忽视，若 2a ＝|F1F2|，则动点的轨迹是_两__条__射__线__；若 2a>|F1F2|，则动点的 轨迹是__不__存__在____．
3．双曲线定义中应注意关键词“__绝__对__值__”，若去掉定 义中“__绝__对__值__”三个字，动点轨迹只能是__双__曲__线__一__支____．
(1)若 2a＝|F1F1|，即||PF1|－|PF2||＝|F1F2|，根据平面几何知 识，当|PF1|－|PF2|＝|F1F2|时，动点轨迹是以 F2 为端点的一条 射线；当|PF2|－|PF1|＝|F1F2|时，动点轨迹是以 F1 为端点的一 条射线；
(2)若 2a>|F1F2|，即||PF1|－|PF2||>|F1F2|，则与“三角形两边 之差小于第三边”相矛盾，故动点轨迹不存在；
(3)特别的当 2a＝0 时，|PF1|＝|PF2|，根据线段垂直平分线 的性质，动点 P 的轨迹是线段 F1F2 的垂直平分线．
P 是双曲线6x42 －3y62 ＝1 上一点，F1、F2 是双曲线的两个焦 点，且|PF1|＝17，则|PF2|的值为________．
[答案] 33
[解析] 在双曲线6x42 －3y62 ＝1 中，a＝8，b＝6，故 c＝10. 由 P 是双曲线上一点得，||PF1|－|PF2||＝16.
②确定方程的形式：根据上述判断设方程为ax22－by22＝1 或ay22 －bx22＝1(a>0，b>0)．
③确立参数的关系式：根据已知条件列出关于 a、b、c 的 方程组．
④解方程组：解上述方程组，得到参数 a、b、c 的值，代 入所设方程即为所求．
(2)利用待定系数法求双曲线的标准方程时，应先判断焦点 所在位置，不能确定时应分类讨论．
曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2 的大小．
[解析] 由双曲线的对称性，可设点 P 在第一象限， 由双曲线的方程，知 a＝3，b＝4，∴c＝5. 由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a＝6. 上式两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋64 ＝100， 由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|P|PFF1|·2||P2－F2||F1F2|2 ＝21|P0F0－1|·|1P0F02|＝0. ∴∠F1PF2＝90°.
人教版高中数学双曲线及其基本方程精品课 件
第二章
2．2 双曲线
第二章
第 1 课时 双曲线及其标准方程
学习要点点拨 课前自主预习 课堂典例讲练
课堂巩固练习 课后强化作业
课程目标解读
1．了解双曲线的定义，会推导双曲线的标准方程． 2．会用待定系数法求双曲线的标准方程．
重点难点展示
本节重点：双曲线的定义及其标准方程． 本节难点：双曲线标准方程的推导．
求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)双曲线的一个焦点坐标是(0，－6)，经过点 A(－5，6)； (2)与椭圆1x62 ＋2y52 ＝1 共焦点，且过点(－2， 10)．
[解析] (1)解法一：由已知得，c＝6，且焦点在 y 轴上， 则另一焦点坐标是(0,6)．
因为点 A(－5,6)在双曲线上，所以点 A 与两焦点的距离的 差的绝对值是常数 2a，即
[分析] 可先设出双曲线的标准方程，再构造关于 a、b 的 方程组，求得 a、b，从而求得双曲线的标准方程．注意对平方 关系 c2＝a2＋b2 的运用．
[解析] (1)由已知可设所求双曲线方程为ay22－bx22＝1(a>0， b>0)，
3a22 －b92＝1 则
2a52 －1861b2＝1
，解得ab22＝＝196 .
圆；
(5)当 k>1 时，方程为x42＋y42＝1，表示焦点在 y 轴上的椭圆． k
[点评] 解决这类题的基本方法是分类讨论，在分类讨论 的过程中应做到不重不漏，选择适当的分界点．在讨论过程中 应说出该方程表示的是哪种曲线及其特征．
(2012～2013 学年度陕西宝鸡中学高二期末测试)讨论方程 5－x2m＋2－y2m＝1(m<3)所表示的曲线类型．
[解析] (1)当 k＝0 时，y＝±2，表示两条与 x 轴平行的直 线；
(2)当 k＝1 时，方程为 x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径 为 2 的圆；
(3)当 k<0 时，方程为y42－－x24k＝1，表示焦点在 y 轴上的双 曲线；
(4)当 0<k<1 时，方程为x42＋y42＝1，表示焦点在 x 轴上的椭 k
[解析] 由方程1x62 －y92＝1，得 a＝4，b＝3，故 c＝ 16＋9 ＝5，∴|F1F2|＝2c＝10.
又由双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝8，两边平方，得 |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝64. ① 在△PF1F2 中，由余弦定理，得 |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°，即 |PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝100. ② ①－②，得|PF1||PF2|＝36， ∴S△PF1F2＝12|PF1||PF2|sin60°＝12×36× 23＝9 3.
2a＝| －52＋6＋62－ －52＋6－62| ＝|13－5|＝8， 得 a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20. 因此，所求的双曲线标准方程是1y62 －2x02 ＝1.
解法二：由焦点坐标知 c＝6，∴a2＋b2＝36， ∴双曲线方程为ay22－36－x2 a2＝1. ∵双曲线过点 A(－5,6)， ∴3a62 －362－5 a2＝1，∴a2＝16，b2＝20. 双曲线方程为1y62 －2x02 ＝1.
4．焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为ax22－by22＝1(a>0， b>0)，焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为ay22－bx22＝1(a>0， b>0)．
5．在双曲线的标准方程中 a、b、c 的关系为_a_2_＋__b_2＝__c_2_.
6．对比是学习数学中常用的有效的学习方法，应用对比 的学习方法常能起到巩固旧知识，深化对新知识的理解的作 用，也能有效的解决知识的混淆．在学习双曲线知识时，要时 时留意与椭圆进行对比．
椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系.
椭圆
双曲线
定义|MF1|＋|MF2|＝2a
定义|MF1|－|MF2|＝±2a
因为 a>c>0，
因为 0<a<c，
所以令 a2－c2＝b2(b>0)
所以令 c2－a2＝b2(b>0)
ax2y22－bx22＝1
∴双曲线的标准方程为1y62 －x92＝1.
(2)解法一：设双曲线方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)，由题意 易求得 c＝2 5.
又双曲线过点(3 2，2)， ∴3 a222－b42＝1. 又∵a2＋b2＝(2 5)2， ∴a2＝12，b2＝8. 故所求双曲线的方程为1x22 －y82＝1.
C 中，∵||PF1|－|PF2||＝7>|F1F2|，∴动点 P 的轨迹不存在； D 中，∵||PF1|－|PF2||＝0，即|PF1|＝|PF2|，根据线段垂直 平分线的性质，动点 P 的轨迹是线段 F1F2 的垂直平分线，故选 A. [答案] A
[点评] 注意双曲线定义中的“小于|F1F2|”这一限制条 件，其依据是“三角形两边之差小于第三边”．实际上，
[解析] 当 2<m<3 时，5－m>0,2－m<0，此时方程5－x2m＋ 2－y2m＝1 表示焦点在 x 轴上的双曲线；当 m<2 时，5－m>2－ m>0，此时方程5－x2m＋2－y2m＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆.
探索延拓创新
命题方向 双曲线的焦点三角形问题 [例 4] 若 F1、F2 是双曲线x92－1y62 ＝1 的两个焦点，P 在双
(2)由1x62 ＋2y52 ＝1 知焦点为 F1(0，－3)，F2(0,3)． 设双曲线的方程为ay22－bx22＝1(a>0，b>0)，则有
1a02－b42＝1 ，∴a2＝5，b2＝4. a2＋b2＝9 ∴所求的双曲线的方程为y52－x42＝1.
命题方向 双曲线的定义
[例 2] 已知两定点 F1(－3,0)、F2(3,0)，在满足下列条件 的平面内动点 P 的轨迹中，是双曲线的是( )