一个不等式问题的多视角探究
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‘
Ｉ （ ￣ ａ ２ — ＋ ２ —— ｂ ｃ ） —— ＋ （ ６ ■ ＋ ２ ｃ ａ ——— ） ＋ （ ｃ —一 ＋ ２ ａ ｂ ） ’
．
１
１ ２
ａ ＋ ２ ｂ ｃ＋１ ２＋１ ２
：
＜ 一
３
３ ０ Ｖ ／ ３ ： ３ 瓶．
： ± 垒 ！ ± ： ± 三 ！ ± ！ ： ± １
３
这是 ２ ０ １ １ 年希腊奥林匹克数学竞赛的一道不等 式试题 ．它是一个涉及到无理 因式的多变量条件最 值 问题 ，此赛题结构形式简洁优美 ，题型常规 中有 特色 ，解法探寻耐人寻味 ．颇有研究价值 ．于此笔
即 当且 仅 当 ａ ＝ｂ＝ｃ ＝２时不等 式取 等号 ，
所 以 的最大 值 为 ３ ￣ ３ ／ １ ２．
由 琴生 不等 式， 得 ＝ ∑ｆ （ ａ ＋ ２ 兀 ， ）
Ｊ ＝ｌ ｉ ． ｋ ≠ｌ
从 以上 的解 法 中 ，不 能将 这 一竞赛 题 作 出推 广 ．
证明 当ｍ＝ ０ 或 ｍ＝ １ 时，命题 ２ 显然成立 ． 考察函数 ｆ （ ｘ ） ＝ Ｘ ｍ ＞ ０ ， ０ ＜ ｍ＜ １ ） ，
由于 ＿ 厂 （ ） ＝ｍ （ ｍ一 １ ） ｘ 一 ＜０，
因此 函数 ｆ （ ｘ ） 在（ ０ ， ＋ ∞ ） 上凸，
当且仅当 ＝Ｙ ＝ ｚ ＝ ｌ ２，不等式取等号 ．
：
３ 厂 （
） ： ３ ｆ （ １ ２ ） ： ３ ￣ ｉ ５，
当且仅 当ａ ＝ ｂ ＝ Ｃ ＝ ２ 时不等式取等号 ，
所 以 的最 大值 为 ３ １ ２．
者从不 同的视角入手给出这一问题 的一些解法并得 出原赛题 的两个推广 ，供读者在学 习和探究时参考 ． 视角 １均值不等式视角 考虑式子为三次根号 的结构特征 ，结合等号成
∑（ ＋ ２ １ － Ｉ ａ ｊ ａ ）
１（ ａ ２ ＋ ２ ｂ ｃ ＋ ２ ４ ） ， 得 ｃ １（ ａ ２ ＋ ２ ｂ ｃ ＋ ２ ４ ） ；
当且仅 当日 ＝ ｂ ＝ ｃ ＝ ２时不等式取等号 ，所以
的最 大值 为 ３ ｌ ２． 鉴 于所 求 式 子 是三 次 根 号 较复 杂 ，因 此考 虑换 元整 合 ，把 问题进 行转 换 ．
２ ０ １ ４ 年第 １ 、 ２ 期
福建 中学数学
９ ３
一
个不等式 问题 的多视 角探 究
平卫星 江苏省常熟市中学 （ ２ １ ５ ５ ０ ０ ）
Ｓ＝ｆ （ ａ 十２ ｂ ｃ ） ＋ｆ （ ｂ ＋ ２ ｃ ａ ） ＋ ｆ （ ｃ ＋２ ａ ｂ 、
＜３ ｒ
、
题 目 已知 ａ＞０，ｂ ＞０，ｃ ＞０，且 Ｃ ｌ ＋ｂ ＋ ｃ ＝６， 求 ＝ 日 ＋２ ｂ ｃ ＋ ６ ＋ ２ ｃ ａ ＋ ｃ ＋２ ａ ｂ的最 大值 ．
１ ＝１ ， ≠
同理得Ｙ ≥ ３ ｙ ￣ ３ １ ２ 一 ２ ４；ｚ ３ ｚ ￣ ３ １ ２ 一 ２ ４．
三式相力 Ⅱ 得 ＋ Ｙ ＋ ｚ ≥ ３ ￣ ３ １ ２ （ ＋ Ｙ ＋ ｚ ） 一 ７ ２ ，
＝ ｘ＋ ｙ＋ ｚ ３ １ ２，
当且仅当｛ ６ ＋ ２ ｃ ａ ＝ １ ２ ， 时，
Ｉ ｃ ＋ ２ ａ ｂ ：１ ２，
视角 ４权方和不等式视角 注意到条件与结论的关联 ，考虑权方和不等式
处理 ．
解法 ４利用权方和不等式 ，得
因此所 求 Ｓ的最大 值 为 ３ ．
３ ６ ： ＋ ＋ ｚ ３ ＝ 鲁 十 孚 ＋ ； ≥
即当且仅当 ａ ＝ ｂ ＝ Ｃ ＝２ 时不等式取等号 ， 所以 的最大值为 ３ ｆ ｉ ２．
视角 ５重要不等式视角 鉴于条件为三次，而所求式子为一次 ，故采用
９ ４
福建中学数学
２ ０ １ ４ 年第 １ 、 ２ 期
三元 均值 不 等式处 理 ．
解法 ５注意到等号成立的条件配上数字，
命题２已 知 ＞ ０ 且∑ａ ， ＝ Ａ ， ０ ≤ ｍ ｌ ， 则Ｓ ＝
Ｉ ：ｌ
２ｍ
利用三元均值不等式得 ＋ １ ２ 十 １ ２ ３ ｘ ￣ ３ １ ２ ， 即得 ≥ ３ ｘ ￣ １ ２ 一 ２ ４；
∑（ ＋ ２ １ － Ｉ ， ） 的 最大 值为 ．
２ 壶（ ｃ ２ ＋ ２ ａ ４ ） ・
由此得 ： ＋ ＋
求 Ｓ＝ ＋Ｙ ＋ｚ 的最 大wenku.baidu.com ．
（ （ ＋ ｃ ） ｚ ＋ ７ ２ ） ： ３ 狐，
ｆ ａ ＋ ２ ｂ ｃ ：１ ２，
这样 ，问题就相当明朗，采用上述方法均可把 问题得 以解决 ，留给读者 自己完成 ．笔者将从另外 视角再给出两种方法
立条 件 ，利 用三 元均值 不 等式 处理 ．
视角 ３幂平均不等式视角 根据 式子是三次根号 ，且考虑条件 ，易想到利 用幂平均不等式 ．
解法 ３ 由幂 平 均不 等式 ，得
＝ 口 ＋ ２ ｂ ｃ＋ ６ ＋２ ｃ ａ＋ ｃ ＋ ２ ａ ｂ
， ， ，
解法 １ 由均值不等式得
同 理 ， 得 ＋ ２ ｃ １（ ｂ ２ ＋ ２ ｃ ａ ＋ ２ ４ ） ；
令 ＝ ＋ ２ ｂ ｃ ， Ｙ ＝ ４ ３ ６ ＋ ２ ｃ ａ，ｚ ＝ ｃ ＋ ２ ａ ｂ ，
则 问题 转化为 ：
已知 Ｘ ＞０， Ｙ＞ ０， ｚ ＞０，且 Ｘ ＋ ＋ ｚ ：３ ６，
・ ． ．
＝ 等
Ｓ ３ ６ ｘ ９ ＝３ × １ ２，则 Ｓ≤３ １ ２，
当且仅当 Ｘ ＝Ｙ ＝ ｚ ＝ １ ２，不等式取等号 ．
解法 ２考察函数Ｉ （ ｘ ） ＝ （ ＞ ０ ） ， Ｉ ￣ ｌ － Ｔ ｒ ＂ ｆ （ ） ＝ 一 １ ＜ ０ ，
Ｉ （ ￣ ａ ２ — ＋ ２ —— ｂ ｃ ） —— ＋ （ ６ ■ ＋ ２ ｃ ａ ——— ） ＋ （ ｃ —一 ＋ ２ ａ ｂ ） ’
．
１
１ ２
ａ ＋ ２ ｂ ｃ＋１ ２＋１ ２
：
＜ 一
３
３ ０ Ｖ ／ ３ ： ３ 瓶．
： ± 垒 ！ ± ： ± 三 ！ ± ！ ： ± １
３
这是 ２ ０ １ １ 年希腊奥林匹克数学竞赛的一道不等 式试题 ．它是一个涉及到无理 因式的多变量条件最 值 问题 ，此赛题结构形式简洁优美 ，题型常规 中有 特色 ，解法探寻耐人寻味 ．颇有研究价值 ．于此笔
即 当且 仅 当 ａ ＝ｂ＝ｃ ＝２时不等 式取 等号 ，
所 以 的最大 值 为 ３ ￣ ３ ／ １ ２．
由 琴生 不等 式， 得 ＝ ∑ｆ （ ａ ＋ ２ 兀 ， ）
Ｊ ＝ｌ ｉ ． ｋ ≠ｌ
从 以上 的解 法 中 ，不 能将 这 一竞赛 题 作 出推 广 ．
证明 当ｍ＝ ０ 或 ｍ＝ １ 时，命题 ２ 显然成立 ． 考察函数 ｆ （ ｘ ） ＝ Ｘ ｍ ＞ ０ ， ０ ＜ ｍ＜ １ ） ，
由于 ＿ 厂 （ ） ＝ｍ （ ｍ一 １ ） ｘ 一 ＜０，
因此 函数 ｆ （ ｘ ） 在（ ０ ， ＋ ∞ ） 上凸，
当且仅当 ＝Ｙ ＝ ｚ ＝ ｌ ２，不等式取等号 ．
：
３ 厂 （
） ： ３ ｆ （ １ ２ ） ： ３ ￣ ｉ ５，
当且仅 当ａ ＝ ｂ ＝ Ｃ ＝ ２ 时不等式取等号 ，
所 以 的最 大值 为 ３ １ ２．
者从不 同的视角入手给出这一问题 的一些解法并得 出原赛题 的两个推广 ，供读者在学 习和探究时参考 ． 视角 １均值不等式视角 考虑式子为三次根号 的结构特征 ，结合等号成
∑（ ＋ ２ １ － Ｉ ａ ｊ ａ ）
１（ ａ ２ ＋ ２ ｂ ｃ ＋ ２ ４ ） ， 得 ｃ １（ ａ ２ ＋ ２ ｂ ｃ ＋ ２ ４ ） ；
当且仅 当日 ＝ ｂ ＝ ｃ ＝ ２时不等式取等号 ，所以
的最 大值 为 ３ ｌ ２． 鉴 于所 求 式 子 是三 次 根 号 较复 杂 ，因 此考 虑换 元整 合 ，把 问题进 行转 换 ．
２ ０ １ ４ 年第 １ 、 ２ 期
福建 中学数学
９ ３
一
个不等式 问题 的多视 角探 究
平卫星 江苏省常熟市中学 （ ２ １ ５ ５ ０ ０ ）
Ｓ＝ｆ （ ａ 十２ ｂ ｃ ） ＋ｆ （ ｂ ＋ ２ ｃ ａ ） ＋ ｆ （ ｃ ＋２ ａ ｂ 、
＜３ ｒ
、
题 目 已知 ａ＞０，ｂ ＞０，ｃ ＞０，且 Ｃ ｌ ＋ｂ ＋ ｃ ＝６， 求 ＝ 日 ＋２ ｂ ｃ ＋ ６ ＋ ２ ｃ ａ ＋ ｃ ＋２ ａ ｂ的最 大值 ．
１ ＝１ ， ≠
同理得Ｙ ≥ ３ ｙ ￣ ３ １ ２ 一 ２ ４；ｚ ３ ｚ ￣ ３ １ ２ 一 ２ ４．
三式相力 Ⅱ 得 ＋ Ｙ ＋ ｚ ≥ ３ ￣ ３ １ ２ （ ＋ Ｙ ＋ ｚ ） 一 ７ ２ ，
＝ ｘ＋ ｙ＋ ｚ ３ １ ２，
当且仅当｛ ６ ＋ ２ ｃ ａ ＝ １ ２ ， 时，
Ｉ ｃ ＋ ２ ａ ｂ ：１ ２，
视角 ４权方和不等式视角 注意到条件与结论的关联 ，考虑权方和不等式
处理 ．
解法 ４利用权方和不等式 ，得
因此所 求 Ｓ的最大 值 为 ３ ．
３ ６ ： ＋ ＋ ｚ ３ ＝ 鲁 十 孚 ＋ ； ≥
即当且仅当 ａ ＝ ｂ ＝ Ｃ ＝２ 时不等式取等号 ， 所以 的最大值为 ３ ｆ ｉ ２．
视角 ５重要不等式视角 鉴于条件为三次，而所求式子为一次 ，故采用
９ ４
福建中学数学
２ ０ １ ４ 年第 １ 、 ２ 期
三元 均值 不 等式处 理 ．
解法 ５注意到等号成立的条件配上数字，
命题２已 知 ＞ ０ 且∑ａ ， ＝ Ａ ， ０ ≤ ｍ ｌ ， 则Ｓ ＝
Ｉ ：ｌ
２ｍ
利用三元均值不等式得 ＋ １ ２ 十 １ ２ ３ ｘ ￣ ３ １ ２ ， 即得 ≥ ３ ｘ ￣ １ ２ 一 ２ ４；
∑（ ＋ ２ １ － Ｉ ， ） 的 最大 值为 ．
２ 壶（ ｃ ２ ＋ ２ ａ ４ ） ・
由此得 ： ＋ ＋
求 Ｓ＝ ＋Ｙ ＋ｚ 的最 大wenku.baidu.com ．
（ （ ＋ ｃ ） ｚ ＋ ７ ２ ） ： ３ 狐，
ｆ ａ ＋ ２ ｂ ｃ ：１ ２，
这样 ，问题就相当明朗，采用上述方法均可把 问题得 以解决 ，留给读者 自己完成 ．笔者将从另外 视角再给出两种方法
立条 件 ，利 用三 元均值 不 等式 处理 ．
视角 ３幂平均不等式视角 根据 式子是三次根号 ，且考虑条件 ，易想到利 用幂平均不等式 ．
解法 ３ 由幂 平 均不 等式 ，得
＝ 口 ＋ ２ ｂ ｃ＋ ６ ＋２ ｃ ａ＋ ｃ ＋ ２ ａ ｂ
， ， ，
解法 １ 由均值不等式得
同 理 ， 得 ＋ ２ ｃ １（ ｂ ２ ＋ ２ ｃ ａ ＋ ２ ４ ） ；
令 ＝ ＋ ２ ｂ ｃ ， Ｙ ＝ ４ ３ ６ ＋ ２ ｃ ａ，ｚ ＝ ｃ ＋ ２ ａ ｂ ，
则 问题 转化为 ：
已知 Ｘ ＞０， Ｙ＞ ０， ｚ ＞０，且 Ｘ ＋ ＋ ｚ ：３ ６，
・ ． ．
＝ 等
Ｓ ３ ６ ｘ ９ ＝３ × １ ２，则 Ｓ≤３ １ ２，
当且仅当 Ｘ ＝Ｙ ＝ ｚ ＝ １ ２，不等式取等号 ．
解法 ２考察函数Ｉ （ ｘ ） ＝ （ ＞ ０ ） ， Ｉ ￣ ｌ － Ｔ ｒ ＂ ｆ （ ） ＝ 一 １ ＜ ０ ，