现浇混凝土空心板的正交各向异性和等效各向同性板计算方法

现浇混凝土空心板的正交各向异性和
等效各向同性板计算方法
＊
尚仁杰　吴转琴　李佩勋
(中冶集团建筑研究总院,北京　100088)
摘　要:通过分析得到了现浇混凝土空心板正交各向异性主刚度存在着D 3=D 1D 2的关系;从正交各
向异性板挠曲面的偏微分方程出发,保持一个主方向尺寸不变x 1=x ,将另一主方向的尺寸做线性缩放y 1=
k -1
4y ,并保持弹性模量与第一主方向相同E =E 1,泊松比μ=
μ1μ2,将原来的正交各向异性板等效为一块
各向同性板,通过分析得到:各向同性板任意点的挠度就是原正交各向异性板对应点的挠度,各对应点内力存在简单的对应关系:M x =M x 1、M y =k
1
2
M y 1、M xy =k 1
4M x 1y 1。

最后,通过算例验证了该方法的正确性。

关键词:空心板;正交各向异性板;各向同性板;等效
ORTHOTROPIC CHA RACTERS OF A CAST -IN -SITU C ONCRETE HOLLOW PLATE
AND THE CA LCULATION METHOD OF AN EQUIVALENT ISOTROPIC PLATE
Shang Renjie Wu Zhuanq in Li Peixun
(Central Research Institute of Building and Construction of MCC Group ,Beijing 100088,China )
Abstract :The orthotropic character of D 3=D 1D 2of a cast -in -situ concrete hollow slab is deduced .Based on the
differential equation of the deformed surface of the orthotropic plate ,one principal direction size is kept invariably ,then another principal direction size is transformed linearly ,maintains elasticity coefficient is kept the same as that of the first principal direction E =E 1,Poisson ratio μ=
μ1μ2,thus the original orthogonal plate can be equivalent to an isotropic
plate .Results are obtained through analysis :the deflection of the equivalent isotropic plate is the same as that of the original orthotropic plate at the corresponding point ,whose internal forces have the simple relations M x =M x 1,M y =k 1
2M y 1and M xy =k 1
4M x 1y 1.
Keywords :hollow slab ;orthotropic plate ;isotropic plate ;equivalent
＊北京市科技计划项目(H020*********)资助。

第一作者:尚仁杰,男,1966年10月出生,博士,教授级高级工程师。

E -mail :shangrj2000@yahoo .com .cn
收稿日期:2008-01-18
现浇混凝土空心板是目前广泛应用的一种楼板
形式,由于其跨度大,可以通过空心减轻结构自重20%～40%而基本不影响板的强度和刚度,因此应用于大跨度楼板中体现了很强的技术优势,同时在桥面板中也开始得到应用。

圆孔空心板大多是单向布置内模,使得板表现出正交各向异性的力学特性。

如何确定现浇空心板的正交各向异性以及如何用简单实用的计算方法确定正交各向异性板的变形和内力,成了现浇混凝土空心板设计的关键问题。

现浇混凝土空心板正交各向异性的研究已经很多[1—3]
,但是,还没有一种适合于工程设计的、体现现浇混凝土空心板正交异性的实用内力和变形计算方法。

目前,对钢筋混凝土实心板的弹性分析是基于板开裂之前的状态,混凝土处于弹性受力阶段,此时钢筋应力很小,可以忽略钢筋对刚度的影响。

这
样,通过经典弹性力学理论,建立板的平衡微分方
程,或通过有限元的方法,可以得到实心板在正常使用状态下的弯矩及挠度分布规律。

由于弹性理论弯矩是混凝土板极限承载力的一个有效的下限解,因此,GB 50010-2002《混凝土结构设计规范》以及国外混凝土规范中关于双向板的设计方法均包含以板的弹性弯矩作为截面配筋依据的方法,挠度计算也采用了弹性板的公式,只是修改了刚度。

目前用于混凝土板设计的计算手册、计算软件都包含着板的弹性内力和挠度值。

对板的弹塑性阶段的受力性能
72 Industrial Construction Vol .
39,No .2,2009工业建筑　2009年第39卷第2期
的分析以及刚度的定量分析,是以弹性分析的结果为基础,进行一定的修正。

因此,板的弹性分析具有重要的意义。

对于四边简支矩形板,目前常用的经典计算方法是纳维提出的求解各向同性板的二重三角级数解法推广到正交各向异性板
[4]
,但是要通过级数求解
也是很复杂的,而对于不是简支的边界条件,或者形状不是矩形,求解将更为复杂;有研究者提出了虚拟梁法
[5]
,用等效的井子梁来模拟板的正交各向异性,
但是,要通过复杂的有限元方法才可以计算出结果,
并且井子梁网格要足够的密,还要用梁的抗扭刚度正确模拟板的抗扭刚度;有研究者提出了加权参数配点法求解积分方程来计算正交各向异性板变形
[6]
,但是计算仍然需要通过双三角级数求解,也有
研究者提出了状态空间法解正交各向异性板[7]。

本文分析总结了现浇混凝土空心板的正交各向
异性;并得到了现浇混凝土空心板抗扭主刚度与抗弯主刚度之间存在D 3=D 1D 2这一重要的关系式;从正交各向异性板挠曲面的偏微分方程出发,通过简单的变换得到一块各向同性板,通过分析得到:各向同性板任意点的挠度就是原正交各向异性板对应点的挠度,各点内力存在简单的对应关系M x =M x 1、M y =k 1
2M y 1、M xy =k 1
4M x 1y 1,通过一个算例,利用ADINA 有限元法对两种边界条件下正交各向异性板和等效的各向同性板的变形和内力进行了计算分析,并与《建筑结构静力计算手册》
[8]
查表结果进
行了对比,充分验证了等效各向同性板计算方法的正确性。

具有正交各向异性特性的现浇混凝土空心板挠度和内力都可以利用本方法用等效的各向同性板通过《建筑结构静力计算手册》查到或利用现有的混凝土板的设计软件计算,因此,本文的方法将为工程技术人员提供极大的方便。

1　现浇圆孔空心板的正交各向异性
如图1所示现浇混凝土圆孔板,板厚为H ,圆孔直径为D ,圆孔形心与板形心重合,圆孔间净距为B ,可以得到沿圆截面纵向s =D +B 宽度内的抗弯刚度为:
I x =
112(B +D )H 3-164
πD 4
(1)
不考虑圆截面的削弱,D +B 宽度内的抗弯刚度为:
I 0=112
(B +D )H
3
(
2)
沿圆截面纵向削弱后与未削弱截面的刚度比
1—圆截面轻质填充块图1　现浇混凝土圆孔板示意
Fig .1　The diagra m of a cast -in -situ concrete hollow pl ate
为:
I x I 0=1-3πD 4
16(B +D )H
3(3)
保持板厚不变,板纵向宏观弹性模量为:
E x =
I x
I 0
E 0(4)
式中:E 0为实心混凝土弹性模量,根据计算分析
[2-3]
,板横孔方向抗弯刚度与孔间净距关系不大,而与D H 之间存在着如表1所列的关系,中间值按插值计算。

表1　横孔方向刚度与顺孔方向抗弯刚度比k Table 1　The ratio of transverse hollow stiffness to
parallel hollow bending stiffness
D H 0.45
0.50
0.55
0.60
0.65
0.70
0.75
0.80k
0.9750.9630.9580.9380.9020.8680.824
0.76
顺孔方向宏观弹性模量取为E x =E 1,宏观泊松比为μx =μ1=μ,横孔方向宏观弹性模量取为E y =E 2,宏观泊松比为μy =μ2,根据正交异性板的理论有:
E y =E 2=kE y =kE 1(5)μ2=k μx =k μ1
(6)
对于现浇混凝土空心板,上下表面封闭,具有较好的抗扭刚度,其等效的剪切模量可以按下式计算
[2]
:
G xy =
E x E y
E x +E y +μx E y +μy E x
(7)
混凝土泊松比μ=0.2
现浇混凝土空心板一般D B <0.8,所以k >0.75,取k =0.75,得E y =0.75E x ,μ2=k μ1=0.75×0.2=0.15,代入式(7)得:G xy =0.36585E x ,得正交各向异性板的主刚度:
D 1=D x =
E x t 3
12(1-μ1μ2)=1.03093×
E x t
3
12D 2=D y =E y t 312(1-μ1μ2)=0.77320×E x t
3
12D k =G xy t 3
12=0.36585×
E x t 3
12
73
现浇混凝土空心板的正交各向异性和等效各向同性板计算方法———尚仁杰,等
D 3=μ2D 1+2D k =μ2D 1+2D k =0.88634×
E x t
3
12
D 1D 2
=0.89281×
E x t
3
12
D 3与D 1D 2相差不足1%,由于现浇混凝土空
心板一般D B <0.8,k >0.75,因此,D 3与D 1D 2
相差最多0.7%,不足1%,近似得到:
D 3=
D 1D 2
D 3=D 1D 2也是许多研究者[3,9]
对钢筋混凝土
板正交各向异性计算时的基本假设,通过D 3=
D 1D 2可以得到剪切模量:
G 12
=E 1E 2
2(1+μ1μ2)
(8)
通过式(4)—式(6)和式(8)就得到了正交各向异性
板的所有力学参数,下面以此为基本假设,给出正交异性板的等效各向同性板计算方法。

2　等效各向同性板和挠度计算
正交各向异性板存在如下挠曲面偏微分方程:
D 1 4w x 4+D 2 4w y 4+2D 3 4w x 2 y
2=q (
x ,y )(9)其中:D 1=E 1h 312(1-μ1μ2),D 2=E 2h
3
12(1-μ1μ2),对于
现浇混凝土圆孔板,根据前面分析取D 3=D 1D 2,这时有:D k =1-μ1μ2
2
D 1D 2,取参数k =D 2
D 1,这是现浇混凝土圆孔板正交各向异性的唯一参数,也是等效成各向同性板的唯一参数。

等效各向同性板的力学常数:
E =E 1,μ=
μ1μ2,D =
Eh 3
12(1-μ2
)
,x 、y 是实际正交异性板的几何坐标,x 1、y 1是等效的各向同性板的几何坐标,等效各向同性板与实际正交异性板的几何尺寸变换按下式进行:x 1=x ,y 1=k
-14
y
根据上述的等效性得到:D 1=D ,D 2=kD 1=kD ,D 3=D 1D 2=k 1
2
D ,
D k =
1-μ1μ2
2
D 1D 2=k 12
1-μ2
D =k 1
2
D k 1
以x =x 1,y =k 14
y 1,w (x ,y )=w 1(x 1,y 1)等效,得到:
4
w
x 4= 4
w 1 x 41
(10) 4w y 4=1k 4
w 1
y 4
1
(11)
4
w x 2 y 2=1k
12 4
w 1
x 21 y 2
1(12)令q (x ,y )=q 1(x 1,y 1),将式(10)—式(12)和D 1、D 2、D 3代入式(9)得:
D 4w x 41+kD 1k 4
w 1 y 41+2k 1
2D 1k 12 4
w 1
x 21 y 21
=q 1(x 1,y 1)
D 4
w 1 x 41+D 4
w 1 y 41+2D 4
w 1
x 21 y 21
=q 1(x 1,y 1)(13)
式(13)正好就是几何尺寸x 1=x 、y 1=k 1
4y ,弹性模
量为E =E 1、泊松比为μ=μ1μ2的各向同性板在荷载q 1(x 1,y 1)=q (x ,y )下的挠度曲面w 1(x 1,y 1)所满足的微分方程。

式(13)说明几何尺寸x 、y ,弹性模量为E 1,E 2,泊松比为μ1、μ2的正交各向异性板在荷载q (x ,y )下的挠度曲面w (x ,y )满足w (x ,y )=w 1(x 1,y 1),也就是说,等效后的各向同性板的挠度曲面w 1(x 1,y 1)与原始尺寸的正交各向异性板的挠度曲面w (x ,y )是相似的,挠度最大值相同,x 向不变,只是沿y 向伸缩了k
-1
4
,正交各向异性板点(x ,y )与等
效的各向同性板点(x ,k -1
4
y )具有相同的变形。

3　内力等效和计算
原来正交各向异性板点(x ,y )与等效的各向同性板点(x 1=x ,y 1=k
-1
4
y )的内力对应关系:
M x =-D 1( 2w x 2+μ2 2
w
y 2)=-D ( 2
w 1 x 21
+k 12μ·
1k 12 2w 1
y 21)=-D (
2w 1 x 21+μ 2
w 1 y 21
)=M x 1
(14)
M y =-D 2( 2w y 2+μ1 2
w x 2)=-kD (1k
12 2
w 1
y 21
+
μk
12 2
w 1
x 21)=
-k 12
D ( 2
w 1 y 21+μ 2
w 1 x 21)=k 12M y 1(15)
M xy
=-2D k 2w x y =-2k 1
2
D k 11k 1
4 2
w 1
x 1 y 1=-2k 1
4
D k 1
2
w 1
x 1 y 1
=k 14M x 1y 1
(16)
原来正交各向异性板的平衡方程为: 2M x x 2+2 2M xy x y + 2M y
y
2+q =0(17)
74
工业建筑　2009年第39卷第2期
根据式(14)—式(16)得: 2M x x 2= 2M x 1 x 21, 2
M xy x y =
k 1
4
k 14 2
M x 1y 1 x 1 y 1= 2
M x 1y 1 x 1 y 1, 2
M y y 2=k 1
2k 12 2
M y 1 y 21= 2
M y 1
y 21
,代入式(9)得:
2
M x 1 x 21+ 2
M x 1y 1 x 1 y 1+ 2
M y 1
y 2
1
+q =0(18)
式(18)说明:如果等效的各向同性板的内力满足了平衡方程(18),按式(14)—式(16)计算出的正交各向异性板的内力一定满足正交各向异性板的平衡方
程(17),这点也是直接根据板的挠曲面方程得到的。

通过上述的等效,正交各向异性与各向同性板存在着简单的相似关系:变形和M x 1相似比为1,M y 相似比为k 12
,M xy 相似比为k 14。

内力和变形计算的方便之处在于工程应用,各种边界条件下各种尺寸板的内力M x 1、M y 1、M x 1y 1和变形w 可以很容易通过手册和表格查到,这样就可以通过各向同性板的内力结合式(14)—式(16)计算出正交各向异性板的内力,挠度不变。

4　算　例
有一矩形现浇混凝土空心板,边长a ×b =16m ×16m ,AB =CD =a =16m ,BC =A D =b =16m ,见
图2,受均布载q =10kN m 2
,板厚为H =400mm ,圆孔直径D =320mm ,D H =0.8,净距B =60mm ,圆孔顺x 方向,混凝土强度等级为C40,弹性模量E 0=3.25×1010
N m 2
,根据式(4)得到弹性模量E 1=E x =2.746×1010
N m 2
,根据表1得到k =0.8,E 2=E y =0.8×2.746×1010
=2.197×1010
N m 2
,μ1=μx =0.2,μ2=μy =
0.16,G =1.0417×1010
N m 2。

根据等效需要的唯一参数k =0.80得到:k 12
=0.80=0.8944,k 1
4
=0.9457,等效成的各向同性板边长:A 1B 1=C 1D 1=a 1=a =16m ,B 1C 1=A 1D 1=b 1=b k 14
=160.9457=16.918m ,也就是跨度为16m ×16.918m 的矩形板,弹性常数为:E =E x =2.746×1010
N m 2
,μ=μ1μ2=0.1789,荷载q =10kN m 2
不变。

利用ADINA 软件分别对2种边界条件下的正交异性板和等效成的各向同性板进行了内力和变形分析,纵横均分为40份共1600个单元,计算结果见表2。

“正交异性”一列是按实际正交异性板参数通过有限元计算的;“各向同性”是先按有限元计算出
等效的各向同性板内力,然后通过式(14)—式(16)由M y 1、M y 10和M x 1y 1计算出来的正交各向异性板内力;《静力手册》一列是查《静力手册》得到等效各向同性板内力,然后通过式(14)—式(16)计算出的。

表1　有限元计算内力(N ·m m )和变形(mm )比较Ta ble 1　The comparison of the calculated moment
values (N ·m m )and the deflectio n (m m )by FEM
支承板四边简支
AD 嵌固
正交异性各向同性静力手册正交异性各向同性静力手册挠度
19.9519.9519.6713.5613.5613.35M x 123394123386124600106746106740107420M x 0208808
208802226050M y 100928
1009229857070037
7003368130M y 1112834
11020078299
76170
M y 033409
33498
M y 1037352
M xy 100637
10061780649
80633M x 1y 1
106389
85259
下面对四边等支板计算结果作分析,按各向异性板和等效各向同性板用有限元法计算的最大挠度
均为19.95mm ,按16m ×16.918m 各向同性板查《建筑结构静力计算手册》计算挠度为19.67mm ,相差1.4%;各向同性板M x 1=123386(N ·m m ),正交各向异性板M x =123394(N ·m m ),相差0.01%,根据《静力手册》查得M x =124600(N ·m m ),相差0.9%;各向同性板M y 1=112834(N ·m m ),根据公式(15),M y =k 1
2
M y 1=100922(N ·m m ),正交各向异性板计算出M y =100928(N ·m m ),几乎没有差别,查表得M y 1=110200(N ·m m ),根据式(15),M y =k 1
2M y 1=98570(N ·m m ),相差2.3%;各向同性板M x 1y 1=106389(N ·m m ),根据式(16),M xy =k 1
4M x 1y 1=100617(N ·m m ),正交各向异性板计算出M xy =100637(N ·m m )
,相差甚微,手册没有给出扭矩值。

图2　正交各向异性板和等效板Fig .2　The orthotropic plate and equivalent plate
根据前面的理论分析可知,力和变形的等效关系是严密的,不存在近似,因此,所出现的差别是由于有限元的计算误差造成。

(下转第93页)
75
现浇混凝土空心板的正交各向异性和等效各向同性板计算方法———尚仁杰,等
2)夹心节点试件抗剪承载力弱于传统节点。

对于核心区约束条件较好的中低剪压比框架节点,即便核心区按梁混凝土浇筑,多数试件的破坏部位仍然位于梁端;核心区约束较差的框架节点或高剪压比框架节点,核心区剪切破坏的概率高于前者,节点按梁混凝土浇筑可能导致试件抗震性能的明显降低,此时不宜采用夹心节点,或应采取可靠措施保障核心区的抗剪承载力。

3)核心区按梁混凝土浇筑,一方面引起试件刚度的降低,另一方面造成试件极限承载能力下降,两种因素共同作用下,夹心节点的最大变形性能和总体耗能性能与传统节点的差别不明显。

4)夹心节点梁筋粘结锚固性能劣于传统节点,这方面的不足可以通过一定的构造措施弥补,如严格限制梁筋贯穿节点段的长度与梁筋直径的比值。

虽然夹心节点的抗震性能与传统节点存在一定差别,但多数情况下,夹心节点的抗震性能仍可满足结构抗震设计的需要,或者采取一定加强措施及构造措施后,节点的抗震性能可以满足结构设计的需要,考虑到夹心节点实施方便、经济合理,工程实践中应允许采用此类节点。

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(上接第75页)
4　结　论
现浇混凝土圆孔空心板圆孔单向排列,板具有宏观正交各向异性,由于上、下表面是封闭的,因此具有很强的抗扭主刚度,其宏观剪切模量基本满足
G12=E1E2
2(1+μ1μ2)
,主刚度满足D3=D1D2,这时可以将正交各向异性板等效为各向同性板计算分析。

1)本文给出了各向同性板和正交各向异性板之间的简单的等效关系,只需要一个参数k=E y
E x;
2)通过简单等效后,正交各向异性板和等效各向同性板在对应点上有完全相同的挠度;
3)正交各向异性板和等效各向同性板在对应点上内力存在简单的对应关系:M x=M x1、M y=
k 1
2M y1和M xy=k
1
4M x1y1,可以方便的计算。

本文给出的计算方法可以利用现有的《静力计
算手册》查表计算或者通过现有的各向同性板设计 软件计算出具有正交各向异性特点的现浇混凝土空心板内力和变形,为设计计算提供了极大的方便。

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93
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