现浇混凝土空心板的正交各向异性和等效各向同性板计算方法

现浇混凝土空心板的正交各向异性和

等效各向同性板计算方法

＊

尚仁杰　吴转琴　李佩勋

(中冶集团建筑研究总院,北京　100088)

摘　要:通过分析得到了现浇混凝土空心板正交各向异性主刚度存在着D 3=D 1D 2的关系;从正交各

向异性板挠曲面的偏微分方程出发,保持一个主方向尺寸不变x 1=x ,将另一主方向的尺寸做线性缩放y 1=

k -1

4y ,并保持弹性模量与第一主方向相同E =E 1,泊松比μ=

μ1μ2,将原来的正交各向异性板等效为一块

各向同性板,通过分析得到:各向同性板任意点的挠度就是原正交各向异性板对应点的挠度,各对应点内力存在简单的对应关系:M x =M x 1、M y =k

1

2

M y 1、M xy =k 1

4M x 1y 1。最后,通过算例验证了该方法的正确性。

关键词:空心板;正交各向异性板;各向同性板;等效

ORTHOTROPIC CHA RACTERS OF A CAST -IN -SITU C ONCRETE HOLLOW PLATE

AND THE CA LCULATION METHOD OF AN EQUIVALENT ISOTROPIC PLATE

Shang Renjie Wu Zhuanq in Li Peixun

(Central Research Institute of Building and Construction of MCC Group ,Beijing 100088,China )

Abstract :The orthotropic character of D 3=D 1D 2of a cast -in -situ concrete hollow slab is deduced .Based on the

differential equation of the deformed surface of the orthotropic plate ,one principal direction size is kept invariably ,then another principal direction size is transformed linearly ,maintains elasticity coefficient is kept the same as that of the first principal direction E =E 1,Poisson ratio μ=

μ1μ2,thus the original orthogonal plate can be equivalent to an isotropic

plate .Results are obtained through analysis :the deflection of the equivalent isotropic plate is the same as that of the original orthotropic plate at the corresponding point ,whose internal forces have the simple relations M x =M x 1,M y =k 1

2M y 1and M xy =k 1

4M x 1y 1.

Keywords :hollow slab ;orthotropic plate ;isotropic plate ;equivalent

＊北京市科技计划项目(H020*********)资助。

第一作者:尚仁杰,男,1966年10月出生,博士,教授级高级工程师。

E -mail :shangrj2000@yahoo .com .cn

收稿日期:2008-01-18

现浇混凝土空心板是目前广泛应用的一种楼板

形式,由于其跨度大,可以通过空心减轻结构自重20%～40%而基本不影响板的强度和刚度,因此应用于大跨度楼板中体现了很强的技术优势,同时在桥面板中也开始得到应用。圆孔空心板大多是单向布置内模,使得板表现出正交各向异性的力学特性。如何确定现浇空心板的正交各向异性以及如何用简单实用的计算方法确定正交各向异性板的变形和内力,成了现浇混凝土空心板设计的关键问题。

现浇混凝土空心板正交各向异性的研究已经很多[1—3]

,但是,还没有一种适合于工程设计的、体现现浇混凝土空心板正交异性的实用内力和变形计算方法。目前,对钢筋混凝土实心板的弹性分析是基于板开裂之前的状态,混凝土处于弹性受力阶段,此时钢筋应力很小,可以忽略钢筋对刚度的影响。这

样,通过经典弹性力学理论,建立板的平衡微分方

程,或通过有限元的方法,可以得到实心板在正常使用状态下的弯矩及挠度分布规律。由于弹性理论弯矩是混凝土板极限承载力的一个有效的下限解,因此,GB 50010-2002《混凝土结构设计规范》以及国外混凝土规范中关于双向板的设计方法均包含以板的弹性弯矩作为截面配筋依据的方法,挠度计算也采用了弹性板的公式,只是修改了刚度。目前用于混凝土板设计的计算手册、计算软件都包含着板的弹性内力和挠度值。对板的弹塑性阶段的受力性能

72 Industrial Construction Vol .

39,No .2,2009工业建筑　2009年第39卷第2期

的分析以及刚度的定量分析,是以弹性分析的结果为基础,进行一定的修正。因此,板的弹性分析具有重要的意义。

对于四边简支矩形板,目前常用的经典计算方法是纳维提出的求解各向同性板的二重三角级数解法推广到正交各向异性板

[4]

,但是要通过级数求解

也是很复杂的,而对于不是简支的边界条件,或者形状不是矩形,求解将更为复杂;有研究者提出了虚拟梁法

[5]

,用等效的井子梁来模拟板的正交各向异性,

但是,要通过复杂的有限元方法才可以计算出结果,

并且井子梁网格要足够的密,还要用梁的抗扭刚度正确模拟板的抗扭刚度;有研究者提出了加权参数配点法求解积分方程来计算正交各向异性板变形

[6]

,但是计算仍然需要通过双三角级数求解,也有

研究者提出了状态空间法解正交各向异性板[7]

。

本文分析总结了现浇混凝土空心板的正交各向

异性;并得到了现浇混凝土空心板抗扭主刚度与抗弯主刚度之间存在D 3=D 1D 2这一重要的关系式;从正交各向异性板挠曲面的偏微分方程出发,通过简单的变换得到一块各向同性板,通过分析得到:各向同性板任意点的挠度就是原正交各向异性板对应点的挠度,各点内力存在简单的对应关系M x =M x 1、M y =k 1

2M y 1、M xy =k 1

4M x 1y 1,通过一个算例,利用ADINA 有限元法对两种边界条件下正交各向异性板和等效的各向同性板的变形和内力进行了计算分析,并与《建筑结构静力计算手册》

[8]

查表结果进

行了对比,充分验证了等效各向同性板计算方法的正确性。具有正交各向异性特性的现浇混凝土空心板挠度和内力都可以利用本方法用等效的各向同性板通过《建筑结构静力计算手册》查到或利用现有的混凝土板的设计软件计算,因此,本文的方法将为工程技术人员提供极大的方便。1　现浇圆孔空心板的正交各向异性

如图1所示现浇混凝土圆孔板,板厚为H ,圆孔直径为D ,圆孔形心与板形心重合,圆孔间净距为B ,可以得到沿圆截面纵向s =D +B 宽度内的抗弯刚度为:

I x =

112(B +D )H 3-164

πD 4

(1)

不考虑圆截面的削弱,D +B 宽度内的抗弯刚度为:

I 0=112

(B +D )H

3

(

2)

沿圆截面纵向削弱后与未削弱截面的刚度比

1—圆截面轻质填充块图1　现浇混凝土圆孔板示意

Fig .1　The diagra m of a cast -in -situ concrete hollow pl ate

为:

I x I 0=1-3πD 4

16(B +D )H

3(3)

保持板厚不变,板纵向宏观弹性模量为:

E x =

I x

I 0

E 0(4)

式中:E 0为实心混凝土弹性模量,根据计算分析

[2-3]

,板横孔方向抗弯刚度与孔间净距关系不大,而与D H 之间存在着如表1所列的关系,中间值按插值计算。

表1　横孔方向刚度与顺孔方向抗弯刚度比k Table 1　The ratio of transverse hollow stiffness to

parallel hollow bending stiffness

D H 0.45

0.50

0.55

0.60

0.65

0.70

0.75

0.80k

0.9750.9630.9580.9380.9020.8680.824

0.76

顺孔方向宏观弹性模量取为E x =E 1,宏观泊松比为μx =μ1=μ,横孔方向宏观弹性模量取为E y =E 2,宏观泊松比为μy =μ2,根据正交异性板的理论有:

E y =E 2=kE y =kE 1(5)μ2=k μx =k μ1

(6)

对于现浇混凝土空心板,上下表面封闭,具有较好的抗扭刚度,其等效的剪切模量可以按下式计算

[2]

:

G xy =

E x E y

E x +E y +μx E y +μy E x

(7)

混凝土泊松比μ=0.2

现浇混凝土空心板一般D B <0.8,所以k >0.75,取k =0.75,得E y =0.75E x ,μ2=k μ1=0.75×0.2=0.15,代入式(7)得:G xy =0.36585E x ,得正交各向异性板的主刚度:

D 1=D x =

E x t 3

12(1-μ1μ2)=1.03093×

E x t

3

12D 2=D y =E y t 312(1-μ1μ2)=0.77320×E x t

3

12D k =G xy t 3

12=0.36585×

E x t 3

12

73

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