(完整word版)02-07 边界约束的处理

§2-7 边界约束的处理
一、边界约束
●由于总体刚度矩阵是一个奇异矩阵，在求得总刚矩阵和总体载荷列阵之后，还不能立即求
解整体节点平衡方程组。

◎从数学上讲，此时的总刚矩阵无逆矩阵，方程组没有确定的解。

◎从其物理意义来说，是由于整个结构未引入边界约束，为一自由结构，对于一个定常力系的作用，没有定常的位移。

◎因此，为进一步解得结构位移，必须引入足够的几何边界约束，以消除结构的刚体位移。

对于同一结构，在受相同载荷的条件下，由于不同的边界约束，求得的结构位移、应力等会大不相同。

因此，引入正确的边界条件是获得较高精度解的前提。

●根据结构的实际情况，离散出现的边界约束大致可分为如下三种：
1．基础刚性支承
◎大多数结构要支承在基础上。

当基础的刚性很大时，根据不同的支承类型，可以认为结构和基础相连的节点的一个或几个方向的自由度受到了限制，即位移分量为零。

☆如一简支梁，可以认为其支承点处的一个或二个方向的位移分量为零。

2．对称结构的对称部分支承
◎当结构和外载荷均对称于某些轴线时，为减少工作量或提高计算精度，可只计算结构的1/2或1/4。

此时，为保持原有结构特性，要在对称剖分面的节点上施加垂直
于剖分面的刚性约束，以限制该方向的位移。

☆如轧机机架。

3．允许产生给定位移的支承
◎由于结构本身或安装的需要，在支承和结构之间存在给定的间隙，在结构受到实际约束之前，此节点处允许产生该距离的位移。

☆如高炉下降管的多余支承。

★从数学意义上来讲，上述三种支承(几何约束)可以归纳为零位移约束和给定位移约束二种，而前者则又是后者的一个特例。

二、边界约束的处理
根据边界约束的类型及后续处理方法和要求的不同，边界约束处理大致采用如下方法：
1. 划行划列法
●这种方法适用于预定边界位移为零的约束条件。

● 具体做法：在用矩阵表示的线性方程组中，划去相应于己知为零的节点位移分量的行和列，
以消除刚度位移。

◎ 如图2-13所示的单元组合体，其边界条件为0654421======v v v u u u ，足
以消除结构的刚体位移。

◎ 处理时，则是将以上各为零位移分量相应的行与列划掉，这样，原来12阶的线性方
程组及其12×12阶的总体刚度矩阵，就变成了6阶的线性方程组及其6×6阶的总体刚度矩阵，即
11112122233132
3331323343355253555363
663
6566000000
0y K v R K K v K K K u K K K K v K K K K u K K K K u -⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎢⎥⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎩
⎭⎩⎭⎣⎦对
称
● 这样约束处理是必要的。

（1） 因为总体刚度矩阵在约束处理前是一个奇异矩阵，而经过约束处理划掉某几行和
几列后变为非奇异矩阵，即约束处理后的总体刚度矩阵的行列式不等于零。

（2） 另外，如果不进行约束处理，那么包括在总体节点载荷列矩阵中的约束反力必须
事先求出，作为已知节点载荷。

☆ 然而，对于形状较复杂一点的单元组合体，在高次超静定情况下，约束反力
很难求出。

☆ 经过约束处理后，在划去总体节点位移列矩阵与总体刚度矩阵中相应于已知
节点位移分量为零行与列的同时，总体节点载荷列矩阵中未知的约束反力的行也都被划掉。

这样一来，无论次数多高的超静定问题，约束反力都不必事先求出。

● 这种约束处理也是可行的。

（1） 因为线性方程组是由各节点平衡方程建立起来的，而方程组的未知量就是节点位
移分量，那么受约束的节点有一个或两个位移分量已知为零，就不必再去求它，因此该节点的一个或两个平衡方程就可不要，即可以把它们所在的行划去； （2） 同时，在其它方程中，与已知零位移分量和相应的载荷分量，即相应刚度矩阵元
素和此位移的乘积也为零，所以该列也可划去。

◎ 由此可见，划行划列的约束处理方法是完全可行的，并不影响计算结果。

● 划行划列约束处理使总体刚度矩阵发生了两个变化：
（1） 总体刚度矩阵的阶数下降。

若单元组合体有n 个节点和r 个约束，则总体刚度矩
阵在约束处理前为2n ×2n 阶，约束处理后变为(2n-r)(2n-r)阶。

（2） 总体刚度矩阵的奇异性发生变化。

约束处理前是奇异矩阵；约束处理后变为非奇
异性矩阵。

而对总体刚度矩阵的对称性，稀疏性和带形分布等特性并无影响。

由
于约束处理时在划去某行的同时划去同序号的列，所以总体刚度矩阵仍保持其对称性；另外一般单元组合体的r/2n 比值是很小的，所以约束处理后总体刚度矩阵仍保持稀疏性和带形分布的特点。

● 经过约束处理后，所建立起来的线性方程组的个数与要求解的未知节点位移分量的个数都
是2n-r 个。

● 特点：
◎ 这种处理方法，由于舍弃了相应于已知位移分量为零的行与列各元素，这样就改变
了各方程及元素的编排序号； ◎ 另外，若是求出各节点位移｛δ｝之后，需计算约束反力，则需重新计算相应行中
各刚度矩阵元素。

以上二点是利用此法在编写程序时要注意的。

2. 划0置1法
● 适用：这种方法适用于边界节点位移分量为已知(含为0)的各种约束。

● 做法：
（1） 将总刚矩阵〔K 〕中相应于已知位移行主对角线元素置1，其他元素改为零；同
时将载荷列阵｛R ｝中相应元素用已知位移置换。

◎ 这样，由该方程求得的此位移值一定等于已知量。

（2） 将〔K 〕中已知位移相应的列的非主对角成元素也置0，以保持〔K 〕的对称性。

◎ 当然，在已知位移分量不为零的情况下，这样做就改变了方程左端的数值，为
保证方程成立，须在方程右端减去已知位移对该方程的贡献——已知位移和相应总刚元素的乘积。

◎ 若约束为零位移约束时，此步则可省去。

● 举例：
为具体说明，现举一具有四个方程(二个节点)的简例。

其节点平衡方程为
111111121211112111122221212222221
22221
22
x y x y R K K K K u R K K K K v R K K K K u R K K K K v ⎧⎫
⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎣⎦⎩⎭
设结构在1点受到约束1u =1β,1v =2β，则上式中x R 1、y R 1为未知的约束反力。

利用划0置1的约束处理方法，上式变为
1121212212122222212122221222
1
00
00100000
0x y u v R K K K K u R K K K K v ββββββ⎧⎫
⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥=⎨⎬⎨⎬⎢⎥--⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪--⎩⎭⎣⎦⎩⎭
（1） 经以上处理同样可以消除刚性位移(约束足够的前提下)，去掉未知约束反力。

（2） 但这种方法不改变方程阶数，利于存贮。

（3） 不过，若是要求出约束反力，仍要重新计算各个划去的总刚元素。

3. 乘大数法
● 适用：这种方法同样适用于边界节点位移分量为已知(含为0)的各种约束。

● 做法：
（1） 将整体刚度矩阵中与给定节点位移相应的主对角线元素乘上一个大数，如20
10； （2） 再将方程右端载荷列阵中的相应元素用己知位移和该大数及主对角线元素的乘
积来置换。

其余各项均保持不变。

● 举例：
如上例用此法进行约束处理后，节点平衡方程组变成
20201112111111122020
21111112111222212122222221
2221
22
10101010x y K u K K K K K v K K K K R u K K K K R v K K K K ββ⎧⎫⎡⎤⨯⨯⎧⎫⎪⎪⎢
⎥⎪⎪⨯⨯⎪⎪⎪⎪⎢⎥=⎨⎬⎨⎬
⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥
⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎩⎭
● 特点：
（1） 使用此一方法，只要大数选得足够大，就可保证求得的位移有足够的精度。

（2） 由于在处理过程中，不失去总刚矩阵的任一行(列)及各个元素，便于进行程序处
理及约束反力计算。

★ 小结：
经过约束处理，最终建立了系数矩阵正定的2n-r 阶(划行划列法)或是2n 阶(划零置1法和乘大数法)方程组。

三、后续工作
● 下一步即求解此方程组，最终获得2n-r 个未知的位移分量。

● 线性方程的解法有直接法和和迭代法两大类：
◎ 直接法的优点是计算量比较小，所需机时短，其中常用的为消元法和矩阵分解法； ◎ 迭代法具有算法简单，易编制程序，可节省内存等优点，适用于求解大题目，但计
算时间较长，这种方法要求方程组的系数矩阵在主对角线上占优势。

前面各节，我们对平面问题的三节点三角单元有限单元的位移法，进行了比较详细的讨论与分析，下面就将其概括归纳几点如下：
(1)基本原理。

是把连续弹性体离散为有限个节点连接起来的单元组合体，代替原来的弹性体，然后通过弹性力学基本方程与虚功原理建立并求解以节点位移｛δ｝为未知量的、以总体刚度矩阵[K]为系数的线性方程组。

(2)解答特点是近似数值解。

误差主要反映在连续弹性体的离散化(包括单元位移函数的选取)上，但当单元尺寸逐步取小时，有限单元法解答将收敛于正确解答。

(3)解题步骤。

根据有限单元法基本原理和实际操作，概括地分为两大步骤：
◎一是连续弹性体的离散化，其中包括单元划分，节点单元的编号，节点坐标位置，载荷移置和约束处理(边界条件)等，这些工作都需算题人员在上计算机算
题之前完成，所以也可称为上机前的准备工作；
◎二是根据基本原理建立与求解线性方程组[K]{δ}=｛R｝。

将求得的2n-r个节点位移分量，再代入(2-18)式，即可求得各单元的应力分量。

☆经过两次递代九步循环解出节点位移及单元应力等，这些工作是按己编制好的程序由计算机来完成，也可称为上机计算。

现将有限单元法解题步骤归纳
起来用框图表示如下。

平面问题的有限单元法，还会遇到一些其他问题，如温度应力等等，其处理方法，将在以后章节中陆续介绍。