不可约多项式的判定及应用(黄嘉盛)课件

不可约多项式的判定及应用
摘 要
多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念. 本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳, 较为系统的给出不可约多项式的判定方法。

对于一般的不可约多项式的判定有Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、Perron 判别法、Browm 判别法等。

研究了各判定方法的等价和包含关系。

此外，我们还给出了不可约多项式的一些应用。

关键词
不可约多项式；判定方法；应用
2. 不可约多项式的概念及性质
2.1 整除的概念
设P 是一个数域，对于[]P x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，其中()0g x ≠，一定有[]P x 中的多项式()q x ，()r x 存在，使得
()()()()f x q x g x r x =+
成立，其中(())(())r x g x ∂<∂或者()0r x =，并且这样的()q x ，()r x 是唯一决定的。

定义2.1 数域P 上的多项式()g x 称为能整除()f x ，如果有数域P 上的多项式()h x 使等式
()f x =()()g x h x
成立，我们用“()g x |()f x ”表示()g x 整除()f x ，用“()g x ()f x ”表示()g x 不能整除()f x 。

定理 2.1[1] 对于数域P 上的任意两个多项式()f x ,()g x ,其中()g x 0≠,()g x |()f x 的充分必要条件是()g x 除()f x 的余式为零。

证明: 如果()r x = 0那么()f x =()()q x g x ,即()g x |()f x 。

反过来，如果()g x |()f x ，那么()f x =()()q x g x =()()q x g x +0，即()r x = 0。

注1: 带余除法中()g x 必须不为零。

下面介绍整除性的几个常用性质:
（1） 如果()f x |()g x ,()g x |()f x ,那么()()f x cg x =，其中c 为非零常数。

（2）如果()f x |()g x ,()g x |()h x ，那么()f x |()h x （整除的传递性）。

（3） ()f x |()g x ,()f x |()g x 1,2,,i r =，那么
()f x |()1122()()()()()()r r u x g x u x g x u x g x +++，
其中()i u x 是数域P 上任意多项式。

[1]
2.2 本原多项式
若是一个整系数多项式()f x 的系数互素， 那么()f x 叫做一个本原多项式。

2.3 有理数域上多项式的等价
设()g x 有理数域上的一个多项式， 若()g x 的系数不全是整数，那么以()g x 系数分母的一个公倍数乘()g x 就得到一个整系数多项式()f x 。

显然，多项式()g x 与()f x 在有理数域上同时可约或同时不可约。

2.4 多项式的不可约相关概念
在中学我们学过一些具体方法，把一个多项式分解为不能再分的因式的乘积，但并没有深入探讨和讨论这个问题，并没有严格地论证它们是否真的不可再分，所谓不可再分的概念，其实不是绝对的，而是相对于系数的数域而言，有例如下
把49x -进行分解，可分解为
49x -()()2233x x =+-
但这是相对于有理数域而言的，对于实数域来说还可分进一步为
()(
4293x x x x -=++ 而在复数域上，还可以再进一步分解为
()(
49x x x x x -=+
由此可见，必须明确系数域后，所谓的不可再分，才有确切的涵义。

在下面的讨论中，仍然须选定一个数域P 作为系数域，数域P 上多项环P []x 中多项式的因式分解相关的不可约定义如下
定义2.4.1 数域P 上的次数≥1的多项式()p x 称为域P 上的不可约多项式，如果它不能表示成数域P 上两个次数比()p x 的次数低的多项式的乘积。

我们要谈的多项式的不可约性问题的相关事实如下
（1）一次多项式总是不可约多项式;
（2）一个多项式是否不可约是依赖于系数域的;
（3）不可约多项式()p x 与任一多项式()f x 之间只能是有两种关系，或者()p x |()f x 或者()(),()1p x f x =，事实上，如果()(),()p x f x =()d x ，那么()d x 或者是1，或者是()(0)cp x c ≠，当()d x = ()cp x 时，就有()p x |()f x 。

[1]
2.5 有理数域上不可约多项式的定义
如果()f x 是有理数域上次数大于零的多项式且不能表示成有理数域上两个次数比它低的多项式的乘积， 则()f x 称为有理数域上的不可约多项式。

3. 有理数域上不可约多项式的判定方法
3.1 Eisenstein 判别法[1]
在高等代数中，Eisenstein 判别法是最为经典和著名的，也是现行有理数
域上不可约多项式判定判定方法中最为实用的。

而人们长久以来的研究衍生出了许多不同的方法。

3.1.1直接判别法[]2
定理3.1.1 设0()n n f x a x a =+⋅⋅⋅+是一个整系数多项式，其中1n ≥，设存在一
个素数p ，使得 p 不整除n a ，p 整除i a （i n <）但2p 不整除0a ，那么多项式()f x 在有理数域上不可约。

3.1.2 间接判别法
对于分圆多项式不能直接应用 Eisenstein 判别法，可以做适当的变形之后便可以应用了。

在学习的过程中，面对此类问题，因为其系数较高，不能用定义法去判定。

我们所学的也只有Eisenstein 判别法，但不能直接运用。

考虑到多项式的等价，对多项式我们可以做适当代换x ay b =+，这样产生了 Eisenstein 判别法的间接判别法。

定理 3.1.2 有理系数多项式()f x 在有理数域上不可约的充分必要条件是: 对于任意的有理数0a ≠和b ，多项式()f ax b +在有理数域上不可约。

例1 证明4()1f x x =+在Q 上不可约。

证明: 4432(1)(1)14642f x x x x x x +=++=++++
取2p =，则p 不整除1，p 整除4,6,2，2p 不整除2
由 Eisenstein 判别法知(1)f x +在Q 上不可约，因此()f x 在Q 上不可约。

3.1.3 其他派生出的判别法
这种由Eisenstein 判别法派生出的方法与Eisenstein 判别法相类似，能够用来判定Eisenstein 判别法所不能判定的一类有理数域上的不可约多项式。

定理3.1.3 设1110
()n n n n f x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++是一个整系数多项式，如果存
在一个素数p ，使p 整除常数项0a 但整除其他各项系数且2p 不整除最高次数项系数，那么多项式在有理数上不可约。

例2下列多项式在有理数域上是否可约？
(1)21x +； (2) 4328122x x x -++； 63(3)1x x ++
(4)1p x px ++，p 为奇素数；4(5)41x kx ++，k 为整数.
解: (1) 令1x y =+，则有
22()(1)(1)122g y f y y y y =+=++=++
取素数p =2，由于21,2 | 2,但是222故由Eisenstein 判别法可知，()g y 在有理数上不可约，从而()f x =21x +在有理数域上也不可约。

(2) 取素数p =2,则21,2 | -8,2 | 12，但是222故由Eisenstein 判别法可知，该多项式在有理数域上也不可约。

(3) 令1x y =+，代入()f x =631x x ++,得
65432()(1)615211893g y f y y y y y y y =+=++++++
取素数p =3。

由于31,3 | 6,3 | 15,3 | 21,3 | 18,3 | 9,3 | 3，但是233，故由Eisenstein 判别法可知，()g y 在有理数上不可约，从而()f x 在有理数域上也不可约。

(4) 令1x y =-,代入()f x =1p x px ++,得
()1122221()(1)p p p p p p p p p g y f y y C y C y C y C p y p ----=-=-+--++-
由于p 是素数，且|1,|i
p p p C /,(1,2,,2)i p =-，()1|+p p p C p -，2|p p /，故由Eisenstein
判别法可知，()g y 在有理数上不可约，从而()f x 在有理数域上也不可约。

（5）令1x y =+，代入()f x =441,x kx ++得
432()(1)46(44)42g y f y y y y k y k =+=++++++
取素数p =2，由于21，又2 | 4,2 | 6,2|(4k+4)，2 | (4k+2)，但22(4k+2)，故由Eisenstein 判别法可知，()g y 在有理数上不可约，从而()f x 在有理数域上也不可约。

3.2 Kronerker 判别法[]2
定理3.2.1 设[]()f x Q x ∈，这里Q 为有理数域。

则在有限步下()f x 能分解成不可约多项式的乘积。

（只考虑整系数多项式的情形）
例3 证明5()1f x x =+在Q 上不可约。

证明：522
s =<取0121,,0,1a a a =-==，
则(1)0,(0)1,(1)2f f f -===
(1)0,(0)1,(1)2f f f -=== 从而(1)f -的因子是0，(0)f 的因子是1，(1)f 的因子是1，
故令(1)0,(0)1,(1)1;(1)0,(0)0,(1)2g g g g g g -===-===
应用插值多项式：
212(1)(1)(1)(0)1()0(2)(01)(01)(11)(10)2(1)(1)2(1)(0)()01(01)(01)(11)(10)x x x x g x x x x x x x g x x +-+-=+
+=--+-+-+-+-=++=++-+- 由带余除法可知，1()g x 不整除()f x ，2()g x 不整除()f x ，所以()f x 在Q 上不可约。

3.3 Perron 判别法[]3
定理 3.3.1 设12120(),0n n n n n f x x a x a x a a ----=+++⋅⋅⋅+≠是多项式，如果
12310||1||||||||n n n a a a a a --->+++⋅⋅⋅++，则()f x 在Q 上不可约。

例4 证明542()41f x x x x =+++在Q 上不可约
证明：该题不满足艾森斯坦判别法，但其为整系数多项式，满足Perron 判别法的条件，由题意可知411>+，所以据Perron 判别法可知该多项式在Q 上不可约。

3.4 Brown 判别法[]3
定理3.4.1 设()f x 是n 次整系数多项式，令
(){|(1)|,|(0)|,(1)}S f f f f -⋅⋅⋅-⋅⋅⋅
1N 表示()S f 中1的个数，p N 表示()S f 中的素数的个数，如果124p N N n +>+，则()f x 在Q 上不可约。

例5 证明32()21f x x x x =-+-在Q 上不可约
证明：(0)1,(1)1,(1)5,(2)13,(2)23,(3)47f f f f f f =-=-=-=-=-=
14,2p N N ∴≥≥故p 12843N N +≥≥+
所以多项式在Q 上不可约。

3.5 多项式无有理因式判别法[]7
定理3.5.1 设01()n n f x a a x a x =++⋅⋅⋅+是一个整系数多项式，若()f x 没有次数小于和等于r 的有理因式，并且存在素数p ，使：
（1）p 至少不整除1,,,n n n r a a a --⋅⋅⋅中的一个
（2）|,0,1,2,,1i p a i n r =⋅⋅⋅--
（3）20|p a /
那么，()f x 在有理数域上不可约。

定理3.5.2 设01()n n f x a a x a x =++⋅⋅⋅+是一个整系数多项式，若()f x 没有次数小于和等于r 的有理因式，并且存在素数p ，使：
（1）p 至少不整除01,,,r a a a ⋅⋅⋅中的一个
（2）|,1,2,i p a i r r n =++⋅⋅⋅
（3）2|n p a /
那么，()f x 在有理数域上不可约。

这种方法在应对没有不小于二次的有理因式的判定时，因为其需要计算机计算来得到，所以在此种情况下，没有克罗奈克的方法更加的简便。

3.6 模p 约化处理判定法[]8
定理 3.6.1 01()[](0,2)n n n f x a a x a x Z x a n =++⋅⋅⋅+∈≠≥，p 是素数，2101201|,|,,,,|,|n n n p a p a a a p a p a b ---⋅⋅⋅-///，其中0|n a a b p
，则()f x 在[]Q x 中不可约。

定理 3.6.2 01()[](0,2)n n n f x a a x a x Z x a n =++⋅⋅⋅+∈≠≥，p 是素数，21231|,|,,,,|,|n n p a p a a a p a p a b ⋅⋅⋅-///，其中0|n a a b p
，则()f x 在[]Q x 中不可约。

定理 3.6.3 01()[](0,2)n n n f x a a x a x Z x a n =++⋅⋅⋅+∈≠≥，p 是素数，2011101|(0),|,,,,,,,|,,|j j j n n p a j n p a a a a a p a a p a b -+<<⋅⋅⋅⋅⋅⋅-///其中02|n a a b p
，则()f x 在[]Q x 中不可约。

定理 3.6.4 01()[](0,3)n n n f x a a x a x Z x a n =++⋅⋅⋅+∈≠≥，p 是素数，21011230112,|,,|,,,,,,,,|,,|,i i i i i n n i i i n p a a p a a a a a a p a a p a b a b +-+++≤≤-⋅⋅⋅⋅⋅⋅--///，其中
02|n a a b p
，()f x 无理想根，则()f x 在[]Q x 中不可约。

例6 判断以下多项式在[]Q x 中是否可约:
1152991003(1)()5722(2);
(2)()720007(6);
(3)()59720085(100).
n n n n f x x x n f x x x n f x x x x n -=+-≥=++≥=+++>
解：（1）21012011|7,11|,,,,11|22,11|7n n a a a a a b --=⋅⋅⋅=--/// 其中5(22)|1011b -=-,由定理2.5.1, 1()f x 在[]Q x 中不可约. （2）2501234677|2007,7|,,,,,,,,,7|2000n a a a a a a a a a b =⋅⋅⋅-// 其中02|17
n a a b =，由定理2.5.3，2()f x 在[]Q x 中不可约. （3）991005|97,2008a a ==/，5整除其余各项系数，
205|5,5,5|97,2008n a a b b ==--//，其中02
|
15n a a b =，因为3()f x 的系数全为正数，所以3()f x 的有理根只可能为负数，设,(,)1,0,0v u v u v u
=><是3()f x 的有理根，则11|5,|5,1,5,1,5,,{1,5,}55v u v u c u --=--=--∀∈--，所以3(1)1f c -均不是整式，所以无有理根，由定理2.5.4，3()f x 在[]Q x 中不可约。

4. 两类特殊不可约多项式的判定
4.1 奇次不可约多项式的判定[]9
定理4.1.1 对于整系数奇次多项式
2122212210()()n n n n f x a x a x a x a x a n N ++=++⋅⋅⋅+++∈
若存在素数p 使得
（1）122|,,,n n n p a a a ++⋅⋅⋅ （2）200|,,,n p a a a ⋅⋅⋅
（3）21|n p a +/ （4）30|p a /
那么，()f x 在有理数域上不可约。

4.2 系数为1的不可约多项式的判定[]10
定理4.2.1 已知0()(,2)n
i n i f x x n N n ==∈≥∑是系数为1的多项式。

当n 为奇数时，
()n f x 在[]Q x 上可约；
当n 为偶数时，如果1n +为合数，()n f x 在[]Q x 上可约，如果1n +为素数，()n f x 在[]Q x 上不可约。

推论4.2.2 已知0()(1)(,2)n
i i n i f x x n N n ==-∈≥∑是系数在Q 的多项式 。

当n 为奇数
时，()n f x 在[]Q x 上可约； 当n 为偶数时，如果1n +为合数，()n f x 在[]Q x 上可约，如果1n +为素数，()n f x 在[]Q x 上不可约。

推论4.2.3已知0()(,2,)n
ki n i f x x n N n k ==∈≥∑为正整数是系数在Q 的多项式 。

当n 为
奇数时，()n f x 在[]Q x 上可约；当n 为偶数时，如果1n +为合数，()n f x 在[]Q x 上可约。

5. 不可约多项式的应用
5.1 不可约多项式在重因式中的应用[]1
定义5.1.1 不可约多项式()p x 称为多项式()f x 的k 重因式，如果()|()k p x f x ，而1()|()k p x f x +/。

如果0k =，那么根本不是()f x 的因式；如果1k =，那么称为()f x 的单因素；如果1k >，那么称为()f x 的重因式。

如果()f x 的标准分解式为
1212()()()()s r r r s f x cp x p x p x =⋅⋅⋅
那么12(),,(),,()r p x p x p x ⋅⋅⋅分别是()f x 的1r 重，2r 重，⋅⋅⋅，s r 重因式。

定理 5.1.2 如果不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式(1)k ≥，那么它是微商'()f x 的1k -重因式。

推论 5.1.3 如果不可约多项式()p x 是()f x 的重因式，那么()p x 是'(1)(),(),,()k f x f x f x -⋅⋅⋅的因式，但不是()()k f x 的因式。

推论 5.1.4 不可约多项式()p x 是()f x 的重因式的充分必要条件为()p x 是()f x 与'()f x 的公因式。

作为重因式的概念定义的基础，不可约多项式的应用从此可见一斑。

5.2 不可约多项式在多项式互素中的应用
定理 5.2.1 []P x 中两个多项式(),()f x g x 互素的充要条件是有[]P x 中的多项式(),()u x v x 使()()()()1u x f x v x g x +=。

定理5.2.2 如果((),())1f x g x =,且()|()()f x g x h x ,那么()|()f x h x 。

例7 证明：如果()(),()1f x g x =，()(),()1f x h x =，那么
()(),()()1f x g x h x =．
解：假设()(),()()1f x g x h x ≠，则一定存在不可约多项式
()p x ()()()0p x ∂>
使得()p x |()f x 和()p x |()()g x h x
又因为()p x 不可约，则有
()p x |()g x 或()p x |()h x
这样()(),()1f x g x ≠或()(),()1f x h x ≠，与条件矛盾。

所以
()(),()()1f x g x h x =．[7]
例8 设11(),,(),(),,()m n f x f x g x g x 都是多项式，而且
()()(),()11,2,,;1,2,,i j f x g x i m j n ===。

求证：()1212(),(),,(),(),,,()1m n f x f x f x g x g g x =。

解: 假设()1212(),(),,(),(),,,()1m n f x f x f x g x g g x ≠，则存在不可约多项式()p x ()()()0p x ∂>，使得
12()|(),(),,()m p x f x f x f x 和12()|(),(),,()n p x g x g x g x ,
又因为()p x 不可约，故存在,i j ，使得
()|()i p x f x ,()|()j p x g x
则有
()(),()1i j
f x
g x ≠ 这与条件矛盾，故
()1212(),(),,(),(),,,()1m n f x f x f x g x g g x =．[8]
例9 证明：如果()(),()1f x g x =，那么()()(),()()1f x g x f x g x +=。

解: 假设()()(),()()1f x g x f x g x +≠，则存在不可约多项式()p x ()()()0p x ∂>使得
()|()()p x f x g x 和()()|()()p x f x g x +
又因为()p x 不可约，则有
()p x |()f x 或()p x |()g x 。

不妨设()p x |()f x ，由()p x |()f x 和()()|()()p x f x g x +可得：()p x |()g x
所以，()p x |()f x ，()p x |()g x 同时成立，即：()(),()1f x g x ≠
这与条件矛盾，故有()()(),()()1f x g x f x g x +=。

[11]
6. 结 论
本文通过相关资料的收集与整理，对有理数域上不可约多项式的判定方法做了整理和归纳。

对一般的多项式给出了克罗内克（Kronecker）判别法、艾森斯坦(Eisenstein)判别法、Perron判别法、Brown判别法、没有有理因式的判别法、模p约化判别法(p为素数)。

其中艾森斯坦(Eisenstein)判别法是最为经典实用的方法，也是现行课本中的判别法。

但有其一定的局限性。

对于克罗内克（Kronecker）判别法，其大多依赖于计算机，实用不大。

Perron判别法和Brown 判别法为国外引进方法，我国数学学者在其有一定的研究基础。

模p约化判别法(p为素数)是我国提出来的应用抽象代数知识对多项式进行模p约化处理，再研究多项式的性质而得到的有理数域上不可约多项式的判定方法。

在实际应用这些方法时，应根据题意选择判别法。

有理数域上不可约多项式的判定方法及分类是一个具有挑战性的课题。

一直以来，不乏学者对多项式的不可约性做过深入的研究。

但总的来说，暂时没有一个较为系统的介绍，其发展还不是很完善。

即使现在有理数域上不可约多项式的判定已有很多种方法，但还是期待着更加简便，更加实用的方法出现，以致于能把不可约多项式进行分类。