地月转移轨道特征及快速设计方法

探 月 工 程 也 采 用 此 方 式 。 此 种 方 式 的 转 移 时 间 短 ，工程 实 施 难 度 较 低 ，对 于 现 有 运 载 火 箭 能
到 十几 个 月 ， 目前 仅有 欧空 局 “ ＭＡ Ｔ一１ 月 Ｓ Ｒ ”
球探 测器 实现 这种转 移方 式 。 本文 仅对 第一种 度 为 村 。，则 探 测 器 相 对 月 球 的 速 度 为
Ｖ＇ ＝ Ｖ 一
ｍ
；此 相 对 速 度 可 以看 成 探 测 器 在
月球 影 响 球 边 界 处 相 对 月 心 的 速 度 ，也 可 以 看 成 探 测 器 相 对 月 心 在 无 穷 处 的 速 度
的
（） ３
上式 中 ，
、
分 别 为 地球 和 月球 的非球
２１ 年 １ ０１ ２月
深 空探 测 研 究
．３ 一
图 １ 地 月转移轨道和月球影响球
／ ｖｎ／ ／
＼
、＼／ ｆ ／ ／
＼
．
，
／
图 ２ 近月双曲轨道示意图
２ ３ 双 二体 简化 模型 下的 地月转 移轨 道特 征 ．
Ｊ０ ０惯 性 坐标 ；在 此 惯 性 系 下 ，月 球 探 测 器 的 ２０
见图 ｌ 。在 转移 时 间相 同条 件 下 ，对 于 不 同轨 道 倾角 的 地 月 转 移 轨 道 ，其 到 达 月 球 （ 球 影 响 月 球 ） 时 的 速 度 大 小 是 相 同 的 ，但 是 速 度 方 向 不
同 ，从而 造成 相对 月 球 的速 度 不 同 ，而 大小 和方 向都
摘
要 ：本文针对地月 直接转移轨道进行分析 。首先提 出双二体简化模 型 ，在 此模型下直接 给 出地月转移 轨道的一些
重要 特征 ；其 次给出了地月转移轨道 的数值设计方法 ，根据此算法 ，可 以很 快求解 出精确 的地月转移 轨道 ；最后 ，利用完
整力模 型 ，给出了地月转移轨道 的一些重要特征 ，验证 了双二体简化模型 的正确性 。
动 点轨道 特征 进 行 的低 能 量 转 移 ，通 常将 探 测 器
射人 地 一月 系 的 Ｌ ｌ点 附 近 ，然 后 施 加 小 的速 度
点。在地球 附近时 ，地球引力起主导作用 ，探测
器与 地球 构成 二体 系 统 ；在 月 球 附 近 时 ，月球 引 力起 主导作 用 ，此 时探 测 器 与 月球 构 成 一 个 二体
关键 词 ：地月转移轨道 ；轨道特征 ；轨道设计 ；数值计算
１ 引 言
月 球探 测器 在 地 月 空 间运 动 时 ，同时受 到地
器 的控 制 带 来 非 常 大 的 难 度 。而 所 带 来 的 速 度 增 量 的 节 省 （ 米 每 秒 左 右 ） 对 于 工 程 实 施 来 百
讲优势并不明显 ，同时地月转移 时间大大增加。
图 １ 。
，见
１ 地 球 为 圆 球 体 ，半 径 Ｒ ） ＝６７ ．３ｋ ３ ８１７ ｍ， 地 球引 力常数 Ｅ＝ ９６０ ５ｉ ／ ３８０ ．ｋ ｓ； ｎ ２ 月球 绕地 球 作 均 匀 圆 周 运 动 ，地 月 距 离 ） ＲＭ ＝ ３４ ０ ｋ ； 月 球 引 力 常 数 Ｍ ＝ Ｅ ８４ ０ ｍ
对 于从 地球 上 发 射 的月 球 探 测器 来 说 ，运 载
火箭通 常将 探测 器 送 入 ２ ０公 里 高度 的地 月转 移 ０
轨 道 。 因 此 ，地 月 转 移 轨 道 的 近 地 点 Ｒ ＝ ６７ ．３ ｋ ，设其 近地 点处速 度大小 为 Ｅ 。 ５ ８ １７ ｍ Ａ 由二体 轨道 可 知 ，最 简 单 的地 月 转 移 轨道 为
就 是 Ｖ ；从 图 中可 以看 出 ，当地 …
月转 移轨 道为 地 一Ｊ 行 时 ，即相 对 白道 的轨 道 倾 Ｉｌ Ｌ￣ ， 角 为 ０时 ， 取 最 小 值 。地 月 转 移 轨 道 一 旦 确 矢 量也 就确定 了 ，
霍曼转移轨道 ，远地点就是地月距离 ，其近地点 速度也是 地月 转移 轨道所 需 的最小 速 度，其值
完 整动 力学模 型 的方程 为 ： 由上述 双二 体 简 化模 型 的分 析 ，可 以得 到地 月 转移 轨道 的一 般 特性 （ 意 ：下 面地 月 转 移轨 注 道 是指 地心 引力 下 的二 体轨 道 ） ： Ｉ 地月 转移轨 道 ，近地 点 的出发 速度 ） 当 增大 时 ，转移时 间减 小 。 ２ ）地 月 转 移 轨 道 的倾 角 对 近月 点 制 动 速 度 有 着重要 的影 响 ，当轨 道 倾 角 为 ０度 时 （ 对 于 相 白道 ） ，近 月 点 制 动 所 需 能 量 最 小 ；当 轨 道 倾 角
力 而 言 ，完 全 可 以保 证 近 地 点 处 附 近 较 大 的 初
速度 。 第二 种是 低 能 转 移 型 。即 利 用 日、地 、月 平
２ 双 二 体 简 化 模 型
由于月球 质 量远 远 小 于 地球 质 量 ，因此 月球 探测 器 在 地 月 空 间运 动 时 其 轨 道 有 着 明 显 的特
增量 使探 测器从 Ｌ ｌ点飞 向月 球 ，形 成 绕 月 轨 道 ； 另 一种 方 式 是将 探 测 器 发射 到 Ｅ 一地 系 的 Ｌ ｔ ２点 附 近 ，经 过 变轨 后 ，再 利 用 地 一月 系 Ｌ 点 的 稳 ２ 定 流形 使 得 探 测 器 “自动 ” 地 运 行 到 近 月 空 间 附近 （ 称弱 稳定 边 界转 移 轨道 ） 也 。从 理 论 上 讲 ，采 用 低 能 转 移 型 的 地 月 转 移 轨 道 所 需 的速 度 增 量 都 较 直 接 转 移 型 小 ，但 是 ，低 能 转 移 轨
如下 ：
肌 ＝
定 ，则 到达月 球 的相对 速度 则 由图 ２可知 ，满 足
矢 量 的双 曲轨 道 有无 数
种 ，但无论哪种 ，其在近月点的速度 的大小都
√
＝９ ／ ） ｓ 。ｋ （ ．ｍ ５
是 一样 的 ，也 就是 说 ，在 地 月 转 移 轨 道 确 定 的前
提下 ，无论何种轨道方式 （ 月球升轨或降轨，不 同近月轨道倾角）到达近月点 ，其制 动变轨为近
２ ２ 近月双 曲轨 道 ．
令 地 月 转 移 轨 道 到 达 月 心 时 速 度 为
，
本 文 对 双 二 体 模 型 进 行 简 化 ，并 直 接 给 出
地 月 转移 轨 道 的 一 些 特 征 ，在 此 基 础 上 ，给 出 简单 的 数 值 计 算 方 法 。双 二 体 简 化 模 型 定 义
系统。按照拉普拉斯 （ ａｌ ｅ Ｌｐ ｃ ）对引力范围的定 ａ 义 ，月球的影响球半径约为 ６６万公里 ，因此在 ．
地 月转 移过 程 中 ，探 测 器 大 部 分 时 间是 在 地球 引
力范围内的大椭 圆运动，到达月球 附近时 ，相对 月球作双曲线运动。 常采用 双二体 模 型进行 地月转 移轨 道 的设 计 ，它将地月转移轨道分为两部分 ：近地段轨道
４ ０ ．０ ｋ ｓ ９ ２ ８ ３ ｉ ／ ，月球半 径 Ｒ ＝ １ ３ ｋ ； ｎ ７８ｍ ３ 地月 转移 轨道 ，忽略 月 球 的影 响球 大 小 ， ）
对于月 球影 响球 内的 双 曲轨 道 来 说 ，满 足 无 穷远 处进 来 的速 度矢 量 为 的轨道 有 无数 种 轨
月 圆轨道所 耗 费 的能 量都 是 相 同 的 （ 月点 速 度 近
相 同 ） 。
对应此霍曼转移轨道的转移时 间约为 １０小 ２
时 。当近地 点速度 逐 渐增 大 时 ，地 月转 移 轨 道 的 偏 心率 逐渐 增大 ，直 至 成 为抛 物线 ，最 后 变 为双
曲线 ，其转移时间也对应减小。
地 月转 移轨 道可分 为 以下三 种 ： 第 一 种 是 直 接 转 移 型 。在 近 地 轨 道 和 运 载
第 三种是 小 推力 转 移 型 。这 种转 移 轨 道 通 常 适用 带离 子推 进 的探 测 器 。初 始 加 速段 轨 迹 通 常 为 向外 的螺旋 式 轨 道 ；当探 测 器 进 入 月球 影 响球 后 ，再逐 渐减 速直 到达 到 给定 的环 月 轨 道 。这种
道 ，见 图 ２ 。做 过 月 心 与
一
平 行 的直 线 ，将 某
双 曲线绕 此 直线 旋 转 一 周形 成 一 曲面 ，其 双 曲 对 于近 月 点 ｒ 。固定 的 情 况 下 ，显 然 ，无 穷
轨道 近月点 形成 一 圆圈 。
仅 考虑 地球 中心 引 力作 用 ，为二 体 轨 道 ，其 轨 道 始末两 点分别 为 地 球 中心 和 月 球 中心 ，且在 月 心 处 相对 月心 的速度 为 Ｖ ； ４ 月球 影 响 球 内 的轨 道 ，仅 考 虑 月 球 中心 ） 引力场 作用 ，为 双 曲轨 道 ，其 无 穷远 处 速 度 矢 量
所 以 ，这 种 轨 道 很 少 在 工 程 中 使 用 ，常 作 急 救
方 案加 以研 究 。
球和月球的引力 ，这是一个典 型的三体 问题 ，其
运 动方 程至今 没 有 完 整 的解 析 解 。近 地 空 间初 始
速 度不 同 ，其 运 行 轨 道 也 大 不 一 样 ，总 的 来 说 ，
２１ 年 １ ０１ ２月
深空探测研究
ＤＥＥＰ Ｓ ＡＣＥ ＥＸＰＬ Ｐ ＯＲＡＴ ＯＮ Ｉ
Ｄｅ ． Ｃ ２０１ １
第 ９卷
第 ４期
Ｖ０． Ｎｏ ４ １９ ．
地 月转移轨道特征及快速设计方法
李云飞 ’
１ 上 海 市 空 间飞行 器机 构 重 点 实验 室
２ 上 海 宇航 系统 工程 研 究所
为 １ ０度 时 （ ８ 相对 于 白道 ） ，近 月 点 制 动 所 需 能 量最 大 ； ３ 当地 月 、月地 转 移 轨 道 确定 后 （ 移 时 ） 转
ｄ ｒ
—
Ｅ 一 一
一
一
一
一
一
ｄ— ＝ 一 ｔ ２
ｒ ＋ ０瑚 ｎ ＋ ０ｄｇ ＋ ０３ ＋ ０ｓ ０， ｅ＋ ｓ ｍ ａ ｒ ｒ＋
道都是弱稳定 的，对 误 差非 常敏 感 ，这给探 测
．
２．
地 月转 移轨道 特征及 快速 设计 方 法
２１ 年 １ 月 ０１ ２
和近月 段轨道 。近地 段 是 以地 球 为 引力 中心 的椭
，
ＶＡ＜ １ ． ０ ６ ｍ ｓ Ｅ １ ０ ８ ｋ ／
椭 圆轨 道
圆轨道 ，近 月 段 是 以 月 球 为 引 力 中 心 的 双 曲 轨 道 ，两 个轨道 在 月 球 影 响球 处 拼 接 ，即位 置 、速
类 型的转 移轨 道 所需 的飞 行 时 间较 长 ，从 几 个 月
火 箭 分 离后 ，探测 器 获 得 一 个 比较 大 的初 速 度 ， 以大 偏 心率 椭 圆的 轨 道 形 式 ，经 过 ３—５天 左 右 的时 间 即 可 到 达 月 球 附 近 ，这 是 目前 世 界 上 绝 大多 数 月 球 探 测 器 所 采 用 的 转 移 方 式 ，我 国 的
为 ；
远处 速度 矢量
的绝 对 值越 大 ，则 近月 点 速 度 尽 可 能 的
越 大 ，即 近 月 制 动 成 圆 轨 道 所 耗 费 的 能 量 越 大 ；因此 在轨 道 设计 时 ，应该 使 得
小。
的大 小 是 由地 月 转 移 轨 道 特 性 决 定 的 ，
５ ＝Ｖ 。 ）Ｖ … ２ １ 地 月转 移轨 道 ．
度 在拼 接点处 相 同 。尽 管 双 二体 模 型从 理论 上 能
｛ ：１．０６ｍ ｓ １ ８ｋ ／ ０
ＬＥ ＞ １ Ａ Ｖ １
．
抛物轨道 （ ） ２
双 曲轨 道
０ ８ ｋ ／ ０６ ｍ ｓ
够 较精 确地描 述 地 月转 移 轨 道 ，但 在 轨道 拼 接 过
程 中涉 及到 复杂 的 公式 计 算 ，且 无 法 获得 直 观 的 结论。