离散数学课件-17-平面图及图的着色

第十七章平面图及图的着色

§1 平面图的基本概念

定义设G是一个无向图，若G能画在曲面S 上，使任两条边在端点以外不相交，则称G可嵌入曲面S；可嵌入平面的图称为可平面图，嵌入平面后的图称为平面图或平面嵌入，不可嵌入平面的图称为非平面图。

定理

①若G是可平面图，则G的子图也是可平面图；

②若G是非平面图，则G的母图也是非平面图。

定义设G是一个平面图，G的边把所在平面分成若干个区域，每个区域称为G的一个面；面积有限的面称为内部面，面积无限的面称为外部面；包围面的边组成的回路称为面的边界，边界的长称为该面的次数，记为deg(R)。

用R0,R1,R2,R r-1表示面，R0表示外部面。

定理 设G 是一个平面图，r 是G 的面的数目，m 是G 的边数，则

deg 10

()2r i i R m −==∑

定义 设G 是一个简单可平面图，若对G 中任意两个不相邻的顶点u ,v ，必有G +(u ,v )为非平面图，则称G 是极大可平面图，其平面嵌入称为极大平面图。

性质：① 极大可平面图连通

② 极大可平面图不含割点和割边

定理 设G 是n 阶简单连通平面图(n ≥3)，则G 是极大平面图的充要条件是G 的每个面的次数均为3。

极小非平面图：G 是非平面图，但对()e E G ∀∈，

G -e 都是可平面图。

§2 欧拉公式

定理 设G 是一个连通平面图，有n 个顶点，m 条边，r 个面，则n -m +r = 2。

推论 设G 是一个平面图，有n 个顶点，m 条边，r 个面，k 个连通分支，则n -m +r = k +1。

定理 设G 是一个连通平面图，有n 个顶点，m 条边，每个面的次数至少是 (3)l l ≥，则

(2)2

l m n l ≤−−

推论1 K 5和K 3,3都不是可平面图。

推论2 设G 是一个平面图，有n 个顶点, m 条

边, k 个连通分支, 每个面的次数至少为 (3)l l ≥，

则 (1)2

l m n k l ≤−−−

例 设G 是一个极大可平面图，有n 个顶点，m 条边，则m =3n -6。

例 设G 是一个简单可平面图，有n 个顶点，m 条边，则m ≤ 3n -6。

例 n （n ≥11）阶无向简单图G 和G 中至少有一个是非平面图。

证 设G 和G 分别有m 条边和m 条边。因为K n

有(1)

2

n n −条边，所以(1)2n n m m −+=。

若G 可平面，则m ≤ 3n -6，由此得

(1)

(36)2

n n m n m −′≥−−=

又

1

(36)[(3)(10)6]2

m n n n ′−−=−−−

故当n ≥ 11时，(36)0m n ′−−>，

从而 (36)m n >− 因此，G 不可平面。

定理 设G 是一个简单可平面图，则δ(G ) ≤ 5。

§3 可平面性的判别

插入2度点：删去边(,)

u v，添加顶点w及边

w v

u w和(,)

(,)

消去2度点：删去2度点w及边(,)

w v，

u w和(,)

添加边(,)

u v

定义设G1,G2是两个无向图，若G1≅G2或通过反复插入和消去2度点后同构，则称G1与G2同胚。

定理无向图G可平面的充要条件是G不含与K5同胚的子图，也不含与K3,3同胚的子图。

边的收缩：删去边(,)

u v，用新顶点w替代u,v，使w关联于u,v关联的所有边

定理无向图G可平面的充要条件是G不含能收缩到K5的子图，也不含能收缩到K3,3的子图。

§4 平面图的对偶图

定义 设G 是一个平面图，G 的对偶图G ∗

如下构造：在G 的面i R 内放置G ∗的顶点i v ∗。对()e E G ∀∈ 若e 在G 的面i R 和j R 的公共边界上，则做G ∗

的边

(,)i j

e v v ∗∗∗=与e 相交，而e ∗

与G 的其它边都不相交；若e 是G 的割边且在G 的面i R 的边界上，则做G ∗

的环(,)i i e v v ∗∗∗=与e 相交，而e ∗与G 的其它边都不相交。

① 平面图的对偶图也是平面图。

② 设G是一个平面图，有n个顶点，m条边，r个面。G*是G的对偶图，有n*个顶点，m*条边，r*个面。若G连通，则n*=r，m*=m，r*=n。

③对偶图一般都是多重图。

④同构的平面图的对偶图不一定同构。

例G与(G*)*是否一定同构

§5 图中顶点的着色

定义设G是无环无向图，对G的每个顶点涂上一种颜色，使相邻顶点涂不同的颜色，称为对G 的顶点的一种着色；若用k种着色可对G的顶点着色，则称对G的顶点进行了k着色，也称G是k-可着色的；若G是k-可着色的，但不是(k-1)-可着色的，则称G是k色的，称这样的k为G的色数，记为χ(G)=k。

例 χ(G )=1 ⇔ G 是零图

χ(G )=2 ⇔ G 是二部图（G 不是零图） χ(K n )=n

定理 χ(G ) ≤ △(G )+1

证 设 (),()(),v V G d v G G G v Δ′∈==−。

对n =|V (G )| 作归纳法：

当 |V (G )|=1时，结论正确； 设 |V (G )| < n 时，结论正确； 证明 |V (G )|=n 时，结论也正确

因为 |()|1V G n n ′=−<，所以

()()1()1G G G χΔΔ′′≤+≤+

在G 中，v 与△(G )个顶点相邻，这些相邻点至多用△(G )种颜色，则剩下的一色可用于涂染v ，由此导出G 的(△(G )+1)-着色，所以

χ(G ) ≤ △(G )+1