振动微分方程

质点位移方程：
y (t ) y cos t

v
sin t
可知，自由振动由两部分组成：一部分是由初始位移 y引起，按余弦规律
振动；另一部分是初始速度 v 引起，按正弦规律振动。 令 可得：
y(t ) Asin( t )
y A sin
v
A cos
当动力位移由质点的静力平衡位置算起时，可不考虑质点的重力
（二）位移方程法（柔度法）
I (t )
R(t )
P 1
m y(t)
f（柔度 系数）
按动静法，体系的动力位移可看为是由于惯性力和阻尼力静力作用所引起的 可得方程：
ຫໍສະໝຸດ Baidu
y(t ) f [ I (t ) R(t )]
柔度系数 f 和刚度系数 k 有如下关系：
（一）动力平衡方程法（刚度法）
取质点隔离体为研究对象，质点所受各力保持平衡
建立运动方程时考虑质点所受的力有： （1）重力 W 为静力荷载 （2）弹性恢复力 S (t ) k[ y jw y(t )] 与位移成正比，方向与位移指向相反。 k为刚度系数，其意义是使质点沿位移方向产生的单位位移时所需的在质点上所 加的力 （3）阻尼力 R(t ) c y (t ) 与质点的速度成正比，方向与速度相反。c为粘滞阻 尼系数 （4）惯性力 I (t ) m y (t ) 其大小为质点质量与质点加速度之积，方向与加速 度方向相反
动静法是根据达朗贝尔（d’Alembert)原理，设 想将惯性力I(t)加于振动体系的质点上，则任一 瞬时体系中的实有各力与惯性力处于平衡状态
8.2动力计算简图和动力自由度
动力计算中要引入惯性力，因此计算简图要考虑质量的分布 一个动力体系运动过程中确定其任一时刻全部质量位置所需的独立 几何参数的数目，为该体系的动力自由度
实际结构的质量都是连续分布的，是无限自由度体系，选取动力计算简图是， 常将无限自由度体系化为有限自由度体系。
mx m
EI
y(x,t)
_
m2
EI
m1
y1 t
m3
L
L
L _ m1 m 2
L _ m2 m3 m 4
单自由度体系
m4
m1
y1 t
m2
EI
y 2 t
m3
P(t )
t
二、动力计算的内容和研究方法
首先要确定动力计算简图，明确动力荷载的性质和规律，然后进行分析。无论是 确定结构的动力特性，或是计算动力反应，都是从研究结构质量的运动规律入手， 把质点的位移作为基本未知量，建立体系的运动方程，进行分析。
动力特性，是指结构的固有的振动频率，基本振动形式（主振型）和阻 尼特性等。这些是结构自身的固有特性，与外部作用因素无关。 动力反应，是指动力荷载作用下，结构产生的内力、位移、速度、加速 度等。不仅与荷载的大小、方向、作用位置及其变化规律有关，即是时 间的函数；还与结构的动力特性有关。 与静力计算的对比：两者都是建立平衡方程，但动力计算，利用动静法， 建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了惯性力，考虑的是瞬间平衡， 荷载、内力都是时间的函数。建立的平衡方程是微分方程
(t ) cy (t ) m y
1 y (t ) 0 f
1 k f
令
2
1 k mf m
则两种方法所得方程可写成统一形式
c (t ) y (t ) 2 y (t ) 0 y m 二、无阻尼自由振动
（一）运动微分方程解
单自由度体系无阻尼自由振动的运动微分方程：
(t ) 2 y(t ) 0 y
它是二阶常系数线性齐次微分方程，其通解为：
y(t ) C1 sin t C2 cost
常数C1，C2由初始条件确定
静力平衡位置
m
y ( 0 ) y 设 t=0 (0) v y
C2 y v C 1
动力荷载分类：周期荷载、冲击荷载、突加荷载、随机荷载
（1）周期荷载：随时间周期性变化的荷载
P(t )
P
t
t
（2）冲击荷载：作用于结构上的荷载值在很短的时间内急剧增大或减小的荷载
P(t )
P
tr t
（3）突加荷载：在瞬间内将全部重量加于结构或移去的荷载
P(t )
t
（4）随机荷载：不能用确定的函数表示，非确定性的荷载

振幅
表示合成运动仍为简谐运动，其中A和φ 为：
初相位
v A y2 y tg 1 v
2
y
y y
v
y A t
0 -y
t
0
v

0

t -A T

T
T
（二）自振周期与频率
由运动方程可知自由振动是简谐周期运动
周期
T
2

频率

k 1 g g m mf mgf y jw
1）结构的周期、频率只与结构自身的质量、刚度（柔度）系数有关，与外 因无关，是结构自身的固有的特性，称为固有周期、固有频率； 2）结构的频率与质量的平方根成反比，与结构刚度系数的平方根成正比； 3）结构的固有周期和频率是结构动力性能的重要标志。
y 3 t
m5
L _ m1 m2 m3 m 4
L _ m4 m5 m 8
L
多自由度体系
EI L
8.3单自由度体系的自由振动
体系在没有外部动力荷载作用，而由初始位移（y 0）和初始速度（v 0）引起 的振动，叫做自由振动
一、运动微分方程
根据动静法，建立质点的运动方程，可采用两种方式


m y jw y(t)
可写出平衡方程：
S (t )
W
R(t )
m I (t )
I (t ) R(t ) S (t ) W 0
(t ) cy (t ) k[ y jw y(t )] W m y
因 ky jw W ，可得出质点振动的运动微分方程：
(t ) cy (t ) ky(t ) 0 m y
8
结构的动力计算
8.1一般概念
一、结构的动力荷载及分类
动力荷载，是指荷载的大小、方向、位置随时间迅速变化的 荷载；它使结构质量产生不容忽视的加速度，使结构发生明 显的振动，即在平衡位置附近往返运动。 静力荷载，是指荷载的大小、方向、位置不随时间变化的荷 载； 同时考虑其对结构的影响来看，如果荷载变化极其缓慢， 使结构质量产生的加速度可以忽略不计时，仍属于静力荷载