医学图像变换解析

第四章 医学图像变换

在医学图像处理与分析中广泛应用着各种图像变换技术，它们是图像处理与分析的重要工具之一，通过各种图像变换来转换图像的表示域以及表示数据，给后续的图像处理工作带来极大的方便。图像变换是一种为了达到某种目的而对图像使用的一种数学操作，经过图像变换后的图像将能够更方便、更容易地被处理和操作，因此图像变换在图像增强、图像复原、图像编码、特征抽取等方面有着广泛的应用。例如，傅立叶变换可使处理分析在频域中进行，使运算更简便；某些图像经过变换后往往能反映出图像的灰度结构特征，从而更便于分析；还有许多变换可使变换后的能量集中在少数数据上，从而便于实现数据压缩、图像传输和存储等等方面。

在实际的图像处理中，图像变换可以看作是一个数学问题，即对原图像函数寻找一个合适的变换核，但本质上来说，图像变换有着深刻的物理背景。常用的图像变换方法主要有：傅立叶变换、余弦变换、小波变换、哈达玛变换、K —L 变换、哈尔变换、斜变换等。由于傅立叶变换和小波变换目前应用的较为普遍，并且在理论上也比较重要，所以本章将重点讨论这两种图像变换形式。

第一节 傅立叶变换

傅立叶变换是一种正交变换，它广泛地应用于很多领域，从某种意义上说，傅立叶变换就是函数的第二种描述语言，掌握了傅立叶变换，人们就可以在空域和频域中同时思考处理问题的方法。由于它不仅能把空间域中复杂的卷积运算转化为频率域中的乘积运算，还能在频率域中简单而有效地实现增强处理和进行特征抽取，因而在图像处理中也得到了广泛的应用。

一、一维傅立叶变换

一维连续信号的傅立叶正变换和反变换的数学表达式如下：

dx e x f u F ux j ⎰∞

∞--=π2)()( （4.1） du e u F x f ux j ⎰∞

∞-=π2)()( （4.2）

从上式可以看出F(u)通常是自变量u 的复函数，可以将其表达为如下形式： )(jI )(R )(u u u F += （4.3） 可以得到：

)(I )(R )

(22u u u F +=， （4.4）

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=)(R )(I arctan )(u u u θ （4.5） 其中)(u F 称为)(x f 的频幅谱或傅立叶谱，)(u θ为傅立叶变换的相位角，振幅谱的平方通常被称为)(x f 的能量谱。

傅立叶变换的物理含义是将信号f(x)表达为一系列正交基函数的加权求和。傅立叶正变换的目的就是求出对应各正交基的权重。傅立叶反变换的目的就是通过这些基函数的加权和，恢复出原始信号。

同样道理，在离散域中，一维连续傅立叶变换式中的积分运算可以简化为求和，一维离散傅立叶正变换和反变换的表达式如下：

∑-=-=102)()(N x N ux j e

x f u F π （4.6）

∑-==1

02)(1)(N x N ux

j e u F N x f π （4.7） 如下图所示是一个淹没在噪声当中的信号，仅从时域信号看，很难看到信号本身的特征。将该信号进行傅立叶变换后并如图显示所示，则能很容易看出信号的主要信息特征。

图4-1 信号的时域显示

图4-2 信号的频域显示

二、二维傅立叶变换

对于二维信号或者图像信号来说，同样存在连续傅立叶变换和离散傅立叶变换，它们的正变换和反变换分别如下式所表示：

二维连续傅立叶变换：

dxdy e y x f v u F vy ux j ⎰⎰∞∞-∞∞-+-=

)(2),(),(π （4.8） dudv e v u F y x f vy ux j ⎰⎰∞∞-∞

∞-+=)(2),(),(π （4.9）

二维离散傅立叶变换：

∑∑-=-=+-=1010)(2),(),(M x N y N vy M ux j e

y x f v u F π （4.10）

∑∑-=-=+=101

0)(2),(1),(M x N y N vy

M ux j e v u F MN y x f π （4.11）

三、傅立叶变换的性质

（1）平均值

傅立叶变换域原点的频谱分量)0,0(F 是空间域的平均值的N 倍，即式（4.12）所示：

),(),(1),(1)0,0(101010102y x f N y x f N N y x f N F N x N y N x N y =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡==∑∑∑∑-=-=-=-= （4.12） （2）变换的周期性

设m ，n 为整数，m ，n=0，±1，±2，…，将u+mN 和v+nN 代入式中右

边，有：

[]∑∑-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=++1010)()(ex p ),(1),(N x N y N y nN v x mN u iz y x f N

nN v mN u F π [][])(ex p ex p ),(11010ny mx iz N vy ux iz y x f N N x N y +-⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+-⋅=∑∑-=-=ππ （4.13） 上式中，右边第二个指数项[])(ex p ny mx iz +-π为单位值，因此傅立叶变换是周期性的，即：),(),(v u F nN v mN u F =++

（3）对称共轭性

由离散傅立叶变换定义可方便地证明，傅立叶变换满足：

),(),(),(v u F v u F nN v mN u F *=--=++* （4.14）

（4）平移性

如果用),(),(v u F y x f ⇔表示傅立叶变换对，则平移性是指：

),()(ex p ),(v v u u F N y v x u iz y x f '-'-⇔⎥⎦

⎤⎢⎣⎡'+'π （4.15） ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡'+'-⇔'-'-N y v x u iz v u F y y x x f )(ex p ),(),(π （4.16） 由于),()(ex p ),(v u F N y v x u iz v u F =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡'+'-π，因而说明),(y x f 的移动并不影响它的傅立叶变换的幅度。

（5）线性特性和比例性

设),(),(),(21y x bf y x af y x f +=，若),(1v u F 和),(2v u F 分别是),(),(21y x f y x f 和的傅氏变换，则根据定义可知其线性特性为：

),(),(),(21v u F v u aF v u F += （4.17）

同时，也容易证明其比例性为：