苏教版数学高一苏教版选修4-4教案 4.4.7《圆的渐开线与摆线》

5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-6
-4
-2
246
j
D
O'O
B
C
第七课时 圆的渐开线与摆线
一、教学目标：
知识与技能：了解圆的渐开线的参数方程, 了解摆线的生成过程及它的参数方程. 过程与方法：学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

二、重难点：教学重点： 圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程
教学难点： 用向量知识推导运动轨迹曲线的方法
三、教学方法：讲练结合，启发、诱导发现教学. 四、教学过程：
（一）、复习引入：复习：圆的参数方程 （二）、新课探析：
1、以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系，可得圆渐开线的参数
方程为⎩
⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos ϕϕϕϕϕϕr y r x （ϕ为参数）
2、在研究平摆线的参数方程中，取定直线为x 轴，
定点M 滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系， 设圆的半径为r ，可得摆线的参数方程为。

⎩
⎨
⎧-=-=)cos 1()
sin (ϕϕϕr y r x （ϕ为参数）
（三）、例题与训练题：
例1 求半径为4的圆的渐开线参数方程 变式训练1 当2
π
ϕ=
，π时，求圆渐开线⎩⎨
⎧-=+=ϕ
ϕϕϕ
ϕϕcos sin sin cos y x 上对应点A 、B 坐标并
求出A 、B 间的距离。

变式训练2 求圆的渐开线⎪⎩⎪⎨⎧-=+=)
cos (sin 2)
sin (cos 2t t t y t t t x 上当4π=t 对应的点的直角坐标。

例2 求半径为2的圆的摆线的参数方程
变式训练3： 求摆线⎩⎨
⎧-=-=t
y t
t x cos 1sin π20≤≤t 与直线1=y 的交点的直角坐标
例3、设圆的半径为8，沿x 轴正向滚动，开始时圆与x 轴相切于原点O ，记圆上动点为M 它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y 的最大值，说明该曲线的对称轴。

（四）、小结：本节课学习了以下内容：
1． 观察发现圆的渐开线及圆的摆线的形成过程； 2．探析圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程
3．会运用圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程求解简单问题。

1．已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2,1)，点A (2，－1,0)在α内，则P (1,3，－2)到α的距离为( )
A ．10
B ．3 C.83
D.103
解析：PA ＝(1，－4,2)，又平面α的一个法向量为n ＝(－2，－2,1)，所以P 到α的距离为|PA ·n |n ＝|－2＋8＋2|3＝83
.
答案：C
2．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为2，E 是A 1C 1的中点，则E 到AB 的距离是( ) A ．2 B. 3 C.
192
D.
102
解析：建立空间直角坐标系如图，则A (0,0,0)，B (3，1,0)，E (0,1,2)，
AB ＝(3，1,0)，AE ＝(0,1,2)，
∴AE ·AB ＝1，|AE ·AB ||AB |＝12，
则E 到AB 的距离d ＝
|AE |2－(12
)2＝
5－14＝192
.
答案：C
3．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则点A 1到直线BC 1的距离是( ) A.6
2
a B ．a C.2a
D.a 2
解析：如图所示，取BC 1中点O .则A 1O ⊥BC 1，连A 1C 1，A 1B . 在Rt △A 1OB 中，A 1B ＝2a ，BO ＝22
a ， ∴A 1O ＝A 1B 2－BO 2＝
2a 2－12a 2＝62
a .
答案：A
4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( )
A.83
B.38
C.43
D.34
解析：如图，建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，A 1(2,0,4)，B 1(2,2,4)，D 1(0,0,4)．
∴11D B ＝(2,2,0)，1D A ＝(2,0，－4)，1AA ＝(0,0,4)， 设n ＝(x ，y ，z )是平面AB 1D 1的一个法向量，
则n ⊥11D B ，n ⊥1D A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧
n ·11D B ＝0，n ·1D A ＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋2y ＝0，
2x －4z ＝0.
令z ＝1，则平面AB 1D 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．
∴由1AA 在n 上射影可得A 1到平面AB 1D 1的距离为d ＝|1AA ·n ||n |＝4
3.
答案：C
5．若三棱锥P －ABC 的三条侧棱两两垂直，且满足PA ＝PB ＝PC ＝2，则P 到平面ABC 的距离为________．
解析：如图，以点P 为原点，建立空间直角坐标系，可求得平面ABC 的一个法向量为n ＝(1,1,1)，PA ＝(2,0,0)，则P 到平面ABC 的距离为
|PA ·n ||n |＝23
3
. 答案：
23
3
6.如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，则点B 1
到平面ABC 1的距离为________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A
⎝⎛⎭
⎫32，12，0，B (0,1,0)，B 1(0,1,1)，C 1(0,0,1)，
则1C A ＝
⎝⎛⎭
⎫32，12，－1，11C B ＝(0,1,0)，1C B ＝(0,1，－1)，设
平面ABC 1的法向量为n ＝(x ，y,1)，
则有⎩⎪⎨⎪⎧
1C A ·n ＝0 11
C B ·n ＝0，解得n ＝(3
3
，1,1)，
则d ＝|
11C B ·n |n |
|＝
1
1
3＋1＋1＝21
7.
答案：
217
7.如图，P 为矩形ABCD 所在平面外一点，PA ⊥平面ABCD ，若已知AB ＝3，AD ＝4，PA ＝1，求点P 到BD 的距离．
解：法一：作AH ⊥BD ，垂足为H ， ∵PA ⊥平面ABCD ，
∴AH 为PH 在平面ABCD 上的投影．由垂直关系得PH ⊥BD ， ∴PH 即为P 到BD 的距离， 在Rt △ABD 中，可得AH ＝
125
， 在Rt △PAH 中，由勾股定理 可求得PH ＝
PA 2＋AH 2＝
135
， ∴P 到BD 的距离为13
5
.
法二：如上图，分别以AB 、AD 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴建系，则P (0,0,1)，B (3,0,0)，
D (0,4,0)，
∴PB ＝(3,0，－1)，BD ＝(－3,4,0)， ∴
PB ·BD
|BD |
＝－95，
P 到BD 的距离d ＝
|PB |2－|
PB ·BD |BD |
|2
＝
10－(－95)2＝13
5
.
∴P 到BD 的距离为13
5
.
8.如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截而得到的，其中AB ＝4，BC ＝2，CC 1＝3，BE ＝1.
求点C 到平面AEC 1F 的距离．
解：建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (2,4,0)，A (2,0,0)，C (0,4,0)，E (2,4,1)，C 1(0,4,3)．
设n 为平面AEC 1F 的法向量，
显然n 不垂直于平面ADF ，故可设n ＝(x ，y,1)．
由⎩⎪⎨⎪⎧
n ·AE ＝0，n ·1EC ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
0·x ＋4·y ＋1＝0，－2·x ＋0·y ＋2＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
4y ＋1＝0，－2x ＋2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝－14.
n ＝(1，－1
4，1)． 又1CC ＝(0,0,3)．
∴C 到平面AEC 1F 的距离为 d ＝|1CC ·n ||n |
＝
31＋116
＋1＝43311
.。