苏教版数学高一苏教版选修4-4教案 4.4.7《圆的渐开线与摆线》

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-6

-4

-2

246

j

D

O'O

B

C

第七课时 圆的渐开线与摆线

一、教学目标：

知识与技能：了解圆的渐开线的参数方程, 了解摆线的生成过程及它的参数方程. 过程与方法：学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 二、重难点：教学重点： 圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程

教学难点： 用向量知识推导运动轨迹曲线的方法

三、教学方法：讲练结合，启发、诱导发现教学. 四、教学过程：

（一）、复习引入：复习：圆的参数方程 （二）、新课探析：

1、以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系，可得圆渐开线的参数

方程为⎩

⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos ϕϕϕϕϕϕr y r x （ϕ为参数）

2、在研究平摆线的参数方程中，取定直线为x 轴，

定点M 滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系， 设圆的半径为r ，可得摆线的参数方程为。

⎩

⎨

⎧-=-=)cos 1()

sin (ϕϕϕr y r x （ϕ为参数）

（三）、例题与训练题：

例1 求半径为4的圆的渐开线参数方程 变式训练1 当2

π

ϕ=

，π时，求圆渐开线⎩⎨

⎧-=+=ϕ

ϕϕϕ

ϕϕcos sin sin cos y x 上对应点A 、B 坐标并

求出A 、B 间的距离。

变式训练2 求圆的渐开线⎪⎩⎪⎨⎧-=+=)

cos (sin 2)

sin (cos 2t t t y t t t x 上当4π=t 对应的点的直角坐标。

例2 求半径为2的圆的摆线的参数方程

变式训练3： 求摆线⎩⎨

⎧-=-=t

y t

t x cos 1sin π20≤≤t 与直线1=y 的交点的直角坐标

例3、设圆的半径为8，沿x 轴正向滚动，开始时圆与x 轴相切于原点O ，记圆上动点为M 它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y 的最大值，说明该曲线的对称轴。 （四）、小结：本节课学习了以下内容：

1． 观察发现圆的渐开线及圆的摆线的形成过程； 2．探析圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程

3．会运用圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程求解简单问题。

1．已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2,1)，点A (2，－1,0)在α内，则P (1,3，－2)到α的距离为( )

A ．10

B ．3 C.83

D.103

解析：PA ＝(1，－4,2)，又平面α的一个法向量为n ＝(－2，－2,1)，所以P 到α的距离为|PA ·n |n ＝|－2＋8＋2|3＝83

.

答案：C

2．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为2，E 是A 1C 1的中点，则E 到AB 的距离是( ) A ．2 B. 3 C.

192

D.

102

解析：建立空间直角坐标系如图，则A (0,0,0)，B (3，1,0)，E (0,1,2)，

AB ＝(3，1,0)，AE ＝(0,1,2)，

∴AE ·AB ＝1，|AE ·AB ||AB |＝12，

则E 到AB 的距离d ＝

|AE |2－(12

)2＝

5－14＝192

.

答案：C

3．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则点A 1到直线BC 1的距离是( ) A.6

2

a B ．a C.2a

D.a 2

解析：如图所示，取BC 1中点O .则A 1O ⊥BC 1，连A 1C 1，A 1B . 在Rt △A 1OB 中，A 1B ＝2a ，BO ＝22

a ， ∴A 1O ＝A 1B 2－BO 2＝

2a 2－12a 2＝62

a .

答案：A

4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( )

A.83

B.38

C.43

D.34

解析：如图，建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，A 1(2,0,4)，B 1(2,2,4)，D 1(0,0,4)．

∴11D B ＝(2,2,0)，1D A ＝(2,0，－4)，1AA ＝(0,0,4)， 设n ＝(x ，y ，z )是平面AB 1D 1的一个法向量，

则n ⊥11D B ，n ⊥1D A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧

n ·11D B ＝0，n ·1D A ＝0，

即⎩⎪⎨⎪⎧

2x ＋2y ＝0，

2x －4z ＝0.

令z ＝1，则平面AB 1D 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．

∴由1AA 在n 上射影可得A 1到平面AB 1D 1的距离为d ＝|1AA ·n ||n |＝4

3.

答案：C

5．若三棱锥P －ABC 的三条侧棱两两垂直，且满足PA ＝PB ＝PC ＝2，则P 到平面ABC 的距离为________．

解析：如图，以点P 为原点，建立空间直角坐标系，可求得平面ABC 的一个法向量为n ＝(1,1,1)，PA ＝(2,0,0)，则P 到平面ABC 的距离为