6-第六章：曲线与曲面
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49
2. 正 螺 旋 柱 状 面 的 画 法
50
3. 正螺旋柱状面应用的例子
螺旋扶手
螺旋楼梯
51
本章结束
52
谢谢捧场
为0、1、2……；在
正面投影中把导程也 作相同的等分，过各 分点作水平线；由水 平投影中的各分点作 竖直线与正面投影上 的对应水平线相交，
得0’、1’、 2’……,把这些点连
成光滑曲线，即为螺 旋线的正面投影。
15
§6-2 曲面
一、曲面的形成和分类 曲面分为规则曲面和不规则曲面。规则曲面可以看成是运动的
二、曲线的投影 画出曲线上一系列点的投影，可得到曲线的投影。为了准确
地表示曲线，一般应画出曲线上特殊点的投影，以便控制好曲线 的形状。
曲线的投影性质： 1.曲线的投影一般仍为曲线，特殊情形下平面曲线的投影可能 退化成直线；
5
2.曲线的切线在某投影面上的投影仍与曲线在该投影面上的 投影相切，而且切点的投影仍为切点；
20
三、曲面上点的投影
曲面上点的投影在曲面的同面投影上。 这里讨论的问题是，已知曲面的投影，根据曲面上点的一 个投影如何求出它的其余投影。与平面上定点类似，这里也要 借助于辅助线。曲面上选用的辅助线，其投影应为直线或圆。 对于直纹面，可选用其直的素线为辅助线，用这种方法求点的 投影称为素线法。对于旋转面可以选用纬圆作为辅助线，用这 种方法求点的投影称为纬圆法。
45
旋转中母线上的每个点都在作圆周运动，其轨迹是纬圆。 母线上距轴线最近的点，其轨迹是最小的纬圆，叫喉圆。
过旋转单叶双曲面上的每个点，还可以画出另外一条素线， 也就是说，同一个旋转单叶双曲面上存在着两族素线，同族的 素线间均不相交，而每一条素线都与另一族的所有素线相交。
46
工程用例：水塔支架
冷却塔
18
二、曲面的投影 平行于某个投射方向而且与曲面相切的投射线，形成投射平
面或柱面，它们与曲面相切的切线称为该投射方向的曲面外形轮 廓线，简称外形线。曲面在某个投影面上的投影，可以用该投射 方向上外形线的投影来表示。此外，有时还需同时画出曲面上若 干条素线。
19
外形线同时还是曲面在该投射方向下可见与不可见部分的 分界线。
轴水平，长度根据水平 投影作出。利用圆的辅 助投影可作出椭圆上的 一些中间点。
9
2.一般斜平面上的圆 圆所在的平面倾斜
于三个投影面时，圆的 任一投影都是椭圆，椭 圆长轴的长度总是等于
圆的直径d。
10
例6-2 半径为r的圆位于一般倾斜平面□ABCD上，并知圆心的
位置，试作出其投影。
解：首先，在水平投影中 作椭圆的长短轴：长轴的方向 为面内水平线的水平投影的方
画柱面的投影时需画出外形线的投影（轮廓素线）。
23
在柱面上求点的投影，一般可用素线法。
24
柱面的曲导线一般为平面曲线。柱面是按正截面的形状取 名的，正截面是圆时，称为圆柱面；正截面是椭圆时，称为椭 圆柱面，等等。
如果柱面有两个以上的对称平面，则对称平面的交线称为 柱面的轴。下面是几种有轴柱面的投影。
线按照一定的规则或受某种控制运动的轨迹。运动的线称为母线， 曲面上任意位置的母线称为素线。控制母线运动的线或面，称为导 线或导面。
16
由直母线运动生成的曲面称为直纹面，例如圆柱面、圆锥面； 只能由曲母线运动生成的曲面称为曲线面，例如球面。
17
根据母线运动时有无旋转轴，曲面可以分为旋转面和非旋 转面。在旋转面中，由直母线旋转生成的叫旋转直纹面，由曲 母线旋转生成的叫旋转曲线面。
四点，从而画出水平投影椭圆。
13
四、螺旋线 1. 圆柱螺旋线的形成 当一个动点沿着一直线等速 移动，而该直线同时绕与它平 行的一轴线等速旋转时，动点 的轨迹就是一根圆柱螺旋线。
14
2. 螺旋线的画法
螺旋线轴线为铅 垂线时，螺旋线的水 平投影为圆。把圆周 等分（例如12等分）， 分点按旋向依次编号
3.二次曲线的投影一般仍为二次曲线，例如圆的投影一般为 椭圆。
6
平面曲线的投影，其形状视平面与投影面的倾斜状态而定， 当平面平行于投影面时，曲线的投影反映曲线的实形；当平面 垂直于投影面时，曲线的投影退化为直线；当平面倾斜于投影 面时，曲线的投影为变了形的曲线。
反映实形
退化成直线
变了Fra Baidu bibliotek的曲线
7
三、圆的投影 1. 投影面垂直面上的圆
导平面
曲导线
直导线
37
2. 锥状面的画法
38
六、柱状面
直母线 l 沿着两条曲导线运动， 且始终平行于某一导平面，这样 形成的曲面称为柱状面。
柱状面桥墩
柱状面管道
39
1．柱状面的形成
导平面
曲导线
曲导线
40
柱状面的所有素线都平行于导平面，而彼此间则成交叉状态。 投影图上只需表示两条导线和若干条素线的投影，而不画出导平 面。
向，长度等于圆的直径2r。短
轴垂直于长轴，长度利用直角 三角形法求出。
（点击鼠标看过程）
11
其次，求出水平投影中长短轴在正面投影中的投影，它们
是一对共轭直径1′2 ′、3 ′4 ′。根据共轭直径可求出椭 圆上的其余四个点5 ′、6 ′、7 ′、8 ′，用八点法画出正
面投影椭圆。
12
最后，利用平面上定点的方法求出水平投影中的5、6、7、8
以正平面为导平面 的柱状面管道
41
2. 柱状面的画法
42
七、旋转单叶双曲面 直母线绕一条与它交叉的
直线 OO 旋转，这样形成的曲 面称为旋转单叶双曲面，直线 OO称为旋转轴。
43
投影图上应画出旋转轴和若干条素线的投影、直母线两端点轨 迹的投影，以及素线的包络线。
44
2. 单 叶 双 曲 回 转 面 的 画 法
25
二、锥面
直母线沿着一条曲导线C 运动，且始终通过定点S，这样形成 的曲面称为锥面。S 称为锥顶，所有的素线都通过它。在投影图上，
应画出锥顶、导曲线和锥面外形线的投影。
26
在锥面上作点，一般利用素线法。当用投影面平行面能截 出圆形交线时，也可以用纬圆法作点。
下面是几种有轴的锥面。
27
三、切线面 直母线 l 沿着一条
也就是说，双曲抛物面上有两族素线，其中每一条素线与同族的 所有素线都不相交，而与另一族的所有素线都相交。
35
五、锥状面 直母线 l 沿着一条直导线 EF
和一条曲导线ABC 运动，且始终 平行于导平面P（P 平行于两条导 线端点的连线AE 和CF ），这样 形成的曲面称为锥状面。
36
1．锥状面的形成
双曲抛物面的投影图中，只需画 出两条直导线和若干素线的投影，而 不必画出导平面。
30
1.双曲抛物面的形成
直母线
直导线
直导线
导平面
31
2.双曲抛物面的画法
32
3.双曲抛物面的截交线
33
双曲抛物面在工程上有广泛的用途。 道路边坡过渡段
水渠边坡渐变段
34
对于同一个双曲抛物面，也可以把它看作是以AD、BC为交叉 直导线，以平行于端点连线AB、CD 的平面P 为导平面所形成的。
曲导线C 运动，且始终 与C 相切，这样形成的
曲面称为切线面。曲导
线C 是空间曲线，称为
切线面的脊线。
28
工程中弯曲坡道两 侧的边坡往往设计成切 线面，并且使切线面的 所有切线与地面成同一 角度，这样设计成的切 线面称为同坡曲面。
29
四、双曲抛物面
直母线 l 沿着两条交叉直导线 AB、
CD运动，且始终平行于某一导平面 Q， 这样形成的曲面称为双曲抛物面，工程 上也称扭面。
47
八 正螺旋柱状面
1. 正螺旋柱状面的形成 正螺旋柱状面的两条曲导线皆为圆柱螺旋线，连续运动的直
母线始终垂直于圆柱轴线。 2. 正螺旋柱状面的画法 （1） 画出两条曲导线（圆柱螺旋线）； （2） 作出直母线的两面投影； （3） 作出该曲面上各素线的投影。 3. 正螺旋柱状面的应用的例子
48
1．正螺旋柱状面的形成
圆在所垂直的那个投影
面上的投影为直线段，线段 的长度等于圆的直径，圆的 另外两投影为椭圆，椭圆的 长轴长度等于圆的直径。
8
例6-1 已知直径为d 的圆位于铅垂面内，并知圆心 O 和 PH 的位置，试作出其投影。
解：水平投影为线
段，长度等于d，重合 在 PH 上；正面投影和
侧面投影为椭圆，长轴
竖直，长度等于d，短
21
在圆锥面上用素线法和纬圆法求点的投影的例子：
22
2.2.1 直纹面
直纹面分为旋转直纹面和非旋转直纹面。圆柱面、圆锥面、 旋转单叶双曲面等属于旋转直纹面，切线面、双曲抛物面、锥状 面、柱状面等属于非旋转直纹面。 一、柱面
直母线 l 沿着一条导曲线运动，且始终平行于某一固定方
向T，这样形成的曲面称为柱面。柱面的所有素线均互相平行，
2. 正 螺 旋 柱 状 面 的 画 法
50
3. 正螺旋柱状面应用的例子
螺旋扶手
螺旋楼梯
51
本章结束
52
谢谢捧场
为0、1、2……；在
正面投影中把导程也 作相同的等分，过各 分点作水平线；由水 平投影中的各分点作 竖直线与正面投影上 的对应水平线相交，
得0’、1’、 2’……,把这些点连
成光滑曲线，即为螺 旋线的正面投影。
15
§6-2 曲面
一、曲面的形成和分类 曲面分为规则曲面和不规则曲面。规则曲面可以看成是运动的
二、曲线的投影 画出曲线上一系列点的投影，可得到曲线的投影。为了准确
地表示曲线，一般应画出曲线上特殊点的投影，以便控制好曲线 的形状。
曲线的投影性质： 1.曲线的投影一般仍为曲线，特殊情形下平面曲线的投影可能 退化成直线；
5
2.曲线的切线在某投影面上的投影仍与曲线在该投影面上的 投影相切，而且切点的投影仍为切点；
20
三、曲面上点的投影
曲面上点的投影在曲面的同面投影上。 这里讨论的问题是，已知曲面的投影，根据曲面上点的一 个投影如何求出它的其余投影。与平面上定点类似，这里也要 借助于辅助线。曲面上选用的辅助线，其投影应为直线或圆。 对于直纹面，可选用其直的素线为辅助线，用这种方法求点的 投影称为素线法。对于旋转面可以选用纬圆作为辅助线，用这 种方法求点的投影称为纬圆法。
45
旋转中母线上的每个点都在作圆周运动，其轨迹是纬圆。 母线上距轴线最近的点，其轨迹是最小的纬圆，叫喉圆。
过旋转单叶双曲面上的每个点，还可以画出另外一条素线， 也就是说，同一个旋转单叶双曲面上存在着两族素线，同族的 素线间均不相交，而每一条素线都与另一族的所有素线相交。
46
工程用例：水塔支架
冷却塔
18
二、曲面的投影 平行于某个投射方向而且与曲面相切的投射线，形成投射平
面或柱面，它们与曲面相切的切线称为该投射方向的曲面外形轮 廓线，简称外形线。曲面在某个投影面上的投影，可以用该投射 方向上外形线的投影来表示。此外，有时还需同时画出曲面上若 干条素线。
19
外形线同时还是曲面在该投射方向下可见与不可见部分的 分界线。
轴水平，长度根据水平 投影作出。利用圆的辅 助投影可作出椭圆上的 一些中间点。
9
2.一般斜平面上的圆 圆所在的平面倾斜
于三个投影面时，圆的 任一投影都是椭圆，椭 圆长轴的长度总是等于
圆的直径d。
10
例6-2 半径为r的圆位于一般倾斜平面□ABCD上，并知圆心的
位置，试作出其投影。
解：首先，在水平投影中 作椭圆的长短轴：长轴的方向 为面内水平线的水平投影的方
画柱面的投影时需画出外形线的投影（轮廓素线）。
23
在柱面上求点的投影，一般可用素线法。
24
柱面的曲导线一般为平面曲线。柱面是按正截面的形状取 名的，正截面是圆时，称为圆柱面；正截面是椭圆时，称为椭 圆柱面，等等。
如果柱面有两个以上的对称平面，则对称平面的交线称为 柱面的轴。下面是几种有轴柱面的投影。
线按照一定的规则或受某种控制运动的轨迹。运动的线称为母线， 曲面上任意位置的母线称为素线。控制母线运动的线或面，称为导 线或导面。
16
由直母线运动生成的曲面称为直纹面，例如圆柱面、圆锥面； 只能由曲母线运动生成的曲面称为曲线面，例如球面。
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根据母线运动时有无旋转轴，曲面可以分为旋转面和非旋 转面。在旋转面中，由直母线旋转生成的叫旋转直纹面，由曲 母线旋转生成的叫旋转曲线面。
四点，从而画出水平投影椭圆。
13
四、螺旋线 1. 圆柱螺旋线的形成 当一个动点沿着一直线等速 移动，而该直线同时绕与它平 行的一轴线等速旋转时，动点 的轨迹就是一根圆柱螺旋线。
14
2. 螺旋线的画法
螺旋线轴线为铅 垂线时，螺旋线的水 平投影为圆。把圆周 等分（例如12等分）， 分点按旋向依次编号
3.二次曲线的投影一般仍为二次曲线，例如圆的投影一般为 椭圆。
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平面曲线的投影，其形状视平面与投影面的倾斜状态而定， 当平面平行于投影面时，曲线的投影反映曲线的实形；当平面 垂直于投影面时，曲线的投影退化为直线；当平面倾斜于投影 面时，曲线的投影为变了形的曲线。
反映实形
退化成直线
变了Fra Baidu bibliotek的曲线
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三、圆的投影 1. 投影面垂直面上的圆
导平面
曲导线
直导线
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2. 锥状面的画法
38
六、柱状面
直母线 l 沿着两条曲导线运动， 且始终平行于某一导平面，这样 形成的曲面称为柱状面。
柱状面桥墩
柱状面管道
39
1．柱状面的形成
导平面
曲导线
曲导线
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柱状面的所有素线都平行于导平面，而彼此间则成交叉状态。 投影图上只需表示两条导线和若干条素线的投影，而不画出导平 面。
向，长度等于圆的直径2r。短
轴垂直于长轴，长度利用直角 三角形法求出。
（点击鼠标看过程）
11
其次，求出水平投影中长短轴在正面投影中的投影，它们
是一对共轭直径1′2 ′、3 ′4 ′。根据共轭直径可求出椭 圆上的其余四个点5 ′、6 ′、7 ′、8 ′，用八点法画出正
面投影椭圆。
12
最后，利用平面上定点的方法求出水平投影中的5、6、7、8
以正平面为导平面 的柱状面管道
41
2. 柱状面的画法
42
七、旋转单叶双曲面 直母线绕一条与它交叉的
直线 OO 旋转，这样形成的曲 面称为旋转单叶双曲面，直线 OO称为旋转轴。
43
投影图上应画出旋转轴和若干条素线的投影、直母线两端点轨 迹的投影，以及素线的包络线。
44
2. 单 叶 双 曲 回 转 面 的 画 法
25
二、锥面
直母线沿着一条曲导线C 运动，且始终通过定点S，这样形成 的曲面称为锥面。S 称为锥顶，所有的素线都通过它。在投影图上，
应画出锥顶、导曲线和锥面外形线的投影。
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在锥面上作点，一般利用素线法。当用投影面平行面能截 出圆形交线时，也可以用纬圆法作点。
下面是几种有轴的锥面。
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三、切线面 直母线 l 沿着一条
也就是说，双曲抛物面上有两族素线，其中每一条素线与同族的 所有素线都不相交，而与另一族的所有素线都相交。
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五、锥状面 直母线 l 沿着一条直导线 EF
和一条曲导线ABC 运动，且始终 平行于导平面P（P 平行于两条导 线端点的连线AE 和CF ），这样 形成的曲面称为锥状面。
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1．锥状面的形成
双曲抛物面的投影图中，只需画 出两条直导线和若干素线的投影，而 不必画出导平面。
30
1.双曲抛物面的形成
直母线
直导线
直导线
导平面
31
2.双曲抛物面的画法
32
3.双曲抛物面的截交线
33
双曲抛物面在工程上有广泛的用途。 道路边坡过渡段
水渠边坡渐变段
34
对于同一个双曲抛物面，也可以把它看作是以AD、BC为交叉 直导线，以平行于端点连线AB、CD 的平面P 为导平面所形成的。
曲导线C 运动，且始终 与C 相切，这样形成的
曲面称为切线面。曲导
线C 是空间曲线，称为
切线面的脊线。
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工程中弯曲坡道两 侧的边坡往往设计成切 线面，并且使切线面的 所有切线与地面成同一 角度，这样设计成的切 线面称为同坡曲面。
29
四、双曲抛物面
直母线 l 沿着两条交叉直导线 AB、
CD运动，且始终平行于某一导平面 Q， 这样形成的曲面称为双曲抛物面，工程 上也称扭面。
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八 正螺旋柱状面
1. 正螺旋柱状面的形成 正螺旋柱状面的两条曲导线皆为圆柱螺旋线，连续运动的直
母线始终垂直于圆柱轴线。 2. 正螺旋柱状面的画法 （1） 画出两条曲导线（圆柱螺旋线）； （2） 作出直母线的两面投影； （3） 作出该曲面上各素线的投影。 3. 正螺旋柱状面的应用的例子
48
1．正螺旋柱状面的形成
圆在所垂直的那个投影
面上的投影为直线段，线段 的长度等于圆的直径，圆的 另外两投影为椭圆，椭圆的 长轴长度等于圆的直径。
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例6-1 已知直径为d 的圆位于铅垂面内，并知圆心 O 和 PH 的位置，试作出其投影。
解：水平投影为线
段，长度等于d，重合 在 PH 上；正面投影和
侧面投影为椭圆，长轴
竖直，长度等于d，短
21
在圆锥面上用素线法和纬圆法求点的投影的例子：
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2.2.1 直纹面
直纹面分为旋转直纹面和非旋转直纹面。圆柱面、圆锥面、 旋转单叶双曲面等属于旋转直纹面，切线面、双曲抛物面、锥状 面、柱状面等属于非旋转直纹面。 一、柱面
直母线 l 沿着一条导曲线运动，且始终平行于某一固定方
向T，这样形成的曲面称为柱面。柱面的所有素线均互相平行，