结构动力学1
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设特解为：
⋅⋅
⋅
F sin θt （6-26） m
y = A sin θt + B cos θt
将（6-27）代入（6-26），可得
（6-27）
F w2 − θ 2 A= m ( w 2 − ϑ 2 ) 2 + 4ξ 2 w 2θ 2
B=
F − 2ξwθ m ( w 2 − ϑ 2 ) 2 + 4ξ 2 w 2θ 2
结构动力学
娄 敏 2008.10
一、结构动力学概述 1.结构动力计算特点 静荷载 荷载分类： 荷载分类： 动荷载 静力计算 荷载计算： 荷载计算： 动力计算 惯性力
荷载本身性质 荷载对结构产生的影响
一、结构动力学概述
2.动荷载的种类
周期荷载： 周期荷载：这类荷载随时间周期性地变化。
一、结构动力学概述
（6-28）
二、单自由度体系振动 3.简谐荷载作用下动力响应
再叠加方程的齐次解，即得方程的全解如下：
y = {e −ξwt (C1 cos wr t + C 2 sin wr t )} + { A sin θt + B cosθt}
（6-29）
二、单自由度体系振动 4.任意荷载作用下动力响应
（1）无阻尼体系 先对无阻尼体系讨论任意动荷载作用下所引起的动力反应， 采用杜哈梅积分法。分两步讨论：首先讨论瞬时冲量的动力反 应，然后在此基础上讨论一般动荷载的动力反应 。
将上式代人式（6-45），消去公因子 sin ϑt 后，得到
（6-62）
此式为求解位移幅值的联立方程组，由它可求出位移幅值。将位移幅值 代回式(6-61)，即得在任一时刻t时各质点的位移。
三、多自由度体系振动 3.无阻尼强迫振动——一般荷载
多自由度体系一般荷载振动一般采用主振型叠加法： （6-63）
三、多自由度体系振动 3.无阻尼强迫振动——一般荷载
三、多自由度体系振动 4.阻尼
对n个自由度的体系，当考虑阻尼的影响，并按粘滞阻尼理论，即假定 阻尼力的大小与质量振动的速度成正比，但其方向与速度的方向相反， 用刚度法建立的振动方程可表示如下：
（6-70）
三、多自由度体系振动 4.阻尼
三、多自由度体系振动 4.阻尼
一、结构动力学概述
3.体系的自由度
（1）集中质量法：把连续分布的质量集中为几个质点或质块，这样 集中质量法： 集中质量法 就可以把一个本来是无限自由度的问题简化成为有限自由度的问 题。 （2）有限元法：把结构划分为若干个单元，用单元节点处的参数来 有限元法： 有限元法 表述结构任意位置处的参数，把无限自由度问题简化为有限自由 度问题
一、结构动力学概述
3.体系的自由度
（1）集中质量法： 集中质量法： 集中质量法 例： 图6-4-a所示为一简支梁，跨中放有重物W。当梁本身质量远 小于重物的质量时，可取图6-4-b所示的计算简图，即梁可视为无 质量的弹性杆。
一、结构动力学概述
3.体系的自由度
例：图6-5所示为一个三层平面刚架。计算刚架的侧向振动时，一种 常用的简化方法是将柱的分布质量简化为作用于柱上、下两端,即 横梁处的集中质量，因而刚架的全部质量都作用在横梁上 。
y+ w2 y =
设体系承受的如下的简谐荷载：
⋅⋅
P (t ) m
（6-20）
P (t ) = F sin θt
得到运动方程：
（6-21）
y+ w2 y =
⋅⋅
F sin θt m
（6-22）
二、单自由度体系振动 3.简谐荷载作用下动力响应
方程的特解为：
y= F mw 2 (1 −
θ2
w
sin θt
（6-39）
二、单自由度体系振动 4.任意荷载作用下动力响应
考虑初始位移与速度，得
（6-40）
三、多自由度体系振动 1.无阻尼振动方程
三、多自由度体系振动 1.无阻尼振动方程
取各质点作隔离体，如图10-a所示，各质点所受的力有下面 三种： 惯性力，与加速度的方向相反； 惯性力 弹性力，与位移的方向相反 弹性力 动荷载 根据达朗伯原理，可列出平衡方程如下：
式（6-2）的通解为：
y ( t ) = C 1 sin wt + C 2 cos wt
根据初始条件得：
（6-4）
y (t ) = y 0 cos wt +
v0 sin wt w
（6-7）
二、单自由度体系振动 2.单自由度体系自由振动
式（6-7）还可以改为
y (t ) = A sin( wt + α )
一、结构动力学概述
3.体系的自由度
（2）有限元法： 有限元法： 有限元法 我们以图6-6所示的两端固定的梁为例进行简要说明。
二、单自由度体系振动 1.振动方程的建立
m y + c y + ky = P(t )
⋅⋅
⋅
（6-1）
二、单自由度体系振动 2.单自由度体系自由振动
自由振动： 自由振动：由于外界的干扰，无动荷载的体系的质点离开了静止平 衡位置而产生的振动称为自由振动。 （1）无阻尼自由振动 ⋅⋅ k y + w2 y = 0 w= （6-2） m
) 2
（6-23）
sin θt
方程的通解为：
y = C1 sin wt + C 2 cos wt +
2
F mw (1 −
θ2
w2
sin θt )
(6-24)
二、单自由度体系振动 3.简谐荷载作用下动力响应
（2）有阻尼体系 对有阻尼的单自由度体系，简谐荷载作用下振动微分方程为：
y + 2ξw y + w 2 y =
三、多自由度体系振动 5.多自由度体系强迫振动的数值解法
（6-32）
二、单自由度体系振动 4.任意荷载作用下动力响应
P (τ ) dτ sin w(t − τ ) mw
dy =
（6-33）
如果对加载过程中所有微分反应进行叠加，即对式（6-33）进行积分，可得总反应为：
（6-34）
如果初始位移和初始速度不为0，则总位移为
（6-35）
二、单自由度体系振动 4.任意荷载作用下动力响应
三、多自由度体系振动 2.无阻尼自由振动
三、多自由度体系振动 2.无阻尼自由振动
主振型特点： （1）主振型具有正交性
（2）正则坐标 在具有n个自由度的体系中，可将n个彼此正交的主振型向量组成一个方阵：
（6-55）
三、多自由度体系振动 2.无阻尼自由振动
它的转置矩阵为
（6-56） 根据主振型向量的正交关系，可以推导出[Y]T[M][Y]和[Y]T[K][Y]都应是对角矩阵， [Y]T[M][Y]为广义质量矩阵，[Y]T[K][Y]为广义刚度矩阵。 思考： 思考：广义质量矩阵与广义刚度矩阵在求解上的优点？
下面求方程（6-46）的解，设解的形式为 （6-47）
这样{Y}是位移幅值向量，即
三、多自由度体系振动 2.无阻尼自由振动
将式（6-47）代人（6-46）得
（6-48）
上式是位移幅值{Y}的齐次方程，为了得到{Y}的非零解，应使系数 行列式为0，即
（6-49） 式(6-49)称作体系的频率方程或特征方程。将行列式展开，可得到一个关于频率 2 参数 w 的n次代数方程(n是体系自由度的次数)。把全部自振频率按照由小到大 的顺序排列而成的向量叫作频率向量，其中最小的频率叫作基本频率或第一频率。
（2）有阻尼体系 有阻尼体系承受动荷载，它的反应也可表示为杜哈梅积分，与 无阻尼体系的推导方法相似。 首先，单独由初始速度所引起的振动为：
（6-36）
由于冲量 S = mv0
，故在初始时刻由冲量
S 引起的振动为
（6-37）
二、单自由度体系振动 4.任意荷载作用下动力响应
（6-38） 再对式（6-38）进行积分得总反应为
（6-41）
三、多自由度体系振动 1.无阻尼振动方程
三、多自由度体系振动 1.无阻尼振动方程
将（6-42）代人（6-41）得无阻尼振动微分方程
（6-43）
三、多自由度体系振动 1.无阻尼振动方程
或简写为：
（6-44）
（6-45）
三、多自由度体系振动 2.无阻尼自由振动
将式（6-45）去掉荷载项，即得无阻尼体系的自由振动方程 （6-46）
二、单自由度体系振动 4.任意荷载作用下动力响应
设体系在t=0时处于静止状态，然后有瞬时冲量S作用，由于此瞬时冲量 引起的结构位移为：
y= S sin wt mw
（6-31）
t (t > τ 的位移为 )
如果在 t = τ 时作用瞬时冲量S，则在以后任一时刻
y= S sin w(t − τ ) mw
（6-8）
圆频率
周期
T=
w
2π w
二、单自由度体系振动 2.单自由度体系自由振动
（2）有阻尼自由振动
令式（6-1）中P(t)=0，即为自由振动方程，它可改写为
y + 2ξw y + w 2 y = 0
w= k m
⋅⋅
⋅
（6-12）
ξ=
c 2mw
该微分方程的解为如下形式
y (t ) = Ce λt
（6-14）
2.动荷载的种类
周期荷载： 周期荷载：这类荷载随时间周期性地变化。
一、结构动力学概述
2.动荷载的种类
冲击荷载 ： 这类荷载在很短的时间内，荷载值急剧增大或急剧 减小。各种爆炸荷载属于这一类。
一、结构动力学概述
2.动荷载的种类
随机荷裁： 随机荷裁：如果荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定，则称 为非确定性荷载，或称为随机荷载。
三、多自由度体系振动 2.无阻尼自由振动
优点在于其解耦功能，把n个方程的耦合振动变为n个独立的方程。 解耦的具体做法： 首先，进行正则坐标变换
（6-57）
三、多自由度体系振动 3.无阻尼强迫振动——简谐荷载
如果荷载是简谐荷载，即
（6-60） 而在平稳振动阶段，各质点也作简谐振动：
（6-61）
三、多自由度体系振动 3.无阻尼强迫振动——简谐荷载
λ
由下列特征方程所确定
λ2 + 2ξwλ + w 2 = 0
（6-15）
二、单自由度体系振动 2.单自由度体系自由振动
wk.baidu.com、单自由度体系振动 2.单自由度体系自由振动
二、单自由度体系振动 3.简谐荷载作用下动力响应
（1）无阻尼体系 在式（6-1）中，令阻尼力等于0，改写后得单自由度体系强迫振动的微分方程：
⋅⋅
⋅
F sin θt （6-26） m
y = A sin θt + B cos θt
将（6-27）代入（6-26），可得
（6-27）
F w2 − θ 2 A= m ( w 2 − ϑ 2 ) 2 + 4ξ 2 w 2θ 2
B=
F − 2ξwθ m ( w 2 − ϑ 2 ) 2 + 4ξ 2 w 2θ 2
结构动力学
娄 敏 2008.10
一、结构动力学概述 1.结构动力计算特点 静荷载 荷载分类： 荷载分类： 动荷载 静力计算 荷载计算： 荷载计算： 动力计算 惯性力
荷载本身性质 荷载对结构产生的影响
一、结构动力学概述
2.动荷载的种类
周期荷载： 周期荷载：这类荷载随时间周期性地变化。
一、结构动力学概述
（6-28）
二、单自由度体系振动 3.简谐荷载作用下动力响应
再叠加方程的齐次解，即得方程的全解如下：
y = {e −ξwt (C1 cos wr t + C 2 sin wr t )} + { A sin θt + B cosθt}
（6-29）
二、单自由度体系振动 4.任意荷载作用下动力响应
（1）无阻尼体系 先对无阻尼体系讨论任意动荷载作用下所引起的动力反应， 采用杜哈梅积分法。分两步讨论：首先讨论瞬时冲量的动力反 应，然后在此基础上讨论一般动荷载的动力反应 。
将上式代人式（6-45），消去公因子 sin ϑt 后，得到
（6-62）
此式为求解位移幅值的联立方程组，由它可求出位移幅值。将位移幅值 代回式(6-61)，即得在任一时刻t时各质点的位移。
三、多自由度体系振动 3.无阻尼强迫振动——一般荷载
多自由度体系一般荷载振动一般采用主振型叠加法： （6-63）
三、多自由度体系振动 3.无阻尼强迫振动——一般荷载
三、多自由度体系振动 4.阻尼
对n个自由度的体系，当考虑阻尼的影响，并按粘滞阻尼理论，即假定 阻尼力的大小与质量振动的速度成正比，但其方向与速度的方向相反， 用刚度法建立的振动方程可表示如下：
（6-70）
三、多自由度体系振动 4.阻尼
三、多自由度体系振动 4.阻尼
一、结构动力学概述
3.体系的自由度
（1）集中质量法：把连续分布的质量集中为几个质点或质块，这样 集中质量法： 集中质量法 就可以把一个本来是无限自由度的问题简化成为有限自由度的问 题。 （2）有限元法：把结构划分为若干个单元，用单元节点处的参数来 有限元法： 有限元法 表述结构任意位置处的参数，把无限自由度问题简化为有限自由 度问题
一、结构动力学概述
3.体系的自由度
（1）集中质量法： 集中质量法： 集中质量法 例： 图6-4-a所示为一简支梁，跨中放有重物W。当梁本身质量远 小于重物的质量时，可取图6-4-b所示的计算简图，即梁可视为无 质量的弹性杆。
一、结构动力学概述
3.体系的自由度
例：图6-5所示为一个三层平面刚架。计算刚架的侧向振动时，一种 常用的简化方法是将柱的分布质量简化为作用于柱上、下两端,即 横梁处的集中质量，因而刚架的全部质量都作用在横梁上 。
y+ w2 y =
设体系承受的如下的简谐荷载：
⋅⋅
P (t ) m
（6-20）
P (t ) = F sin θt
得到运动方程：
（6-21）
y+ w2 y =
⋅⋅
F sin θt m
（6-22）
二、单自由度体系振动 3.简谐荷载作用下动力响应
方程的特解为：
y= F mw 2 (1 −
θ2
w
sin θt
（6-39）
二、单自由度体系振动 4.任意荷载作用下动力响应
考虑初始位移与速度，得
（6-40）
三、多自由度体系振动 1.无阻尼振动方程
三、多自由度体系振动 1.无阻尼振动方程
取各质点作隔离体，如图10-a所示，各质点所受的力有下面 三种： 惯性力，与加速度的方向相反； 惯性力 弹性力，与位移的方向相反 弹性力 动荷载 根据达朗伯原理，可列出平衡方程如下：
式（6-2）的通解为：
y ( t ) = C 1 sin wt + C 2 cos wt
根据初始条件得：
（6-4）
y (t ) = y 0 cos wt +
v0 sin wt w
（6-7）
二、单自由度体系振动 2.单自由度体系自由振动
式（6-7）还可以改为
y (t ) = A sin( wt + α )
一、结构动力学概述
3.体系的自由度
（2）有限元法： 有限元法： 有限元法 我们以图6-6所示的两端固定的梁为例进行简要说明。
二、单自由度体系振动 1.振动方程的建立
m y + c y + ky = P(t )
⋅⋅
⋅
（6-1）
二、单自由度体系振动 2.单自由度体系自由振动
自由振动： 自由振动：由于外界的干扰，无动荷载的体系的质点离开了静止平 衡位置而产生的振动称为自由振动。 （1）无阻尼自由振动 ⋅⋅ k y + w2 y = 0 w= （6-2） m
) 2
（6-23）
sin θt
方程的通解为：
y = C1 sin wt + C 2 cos wt +
2
F mw (1 −
θ2
w2
sin θt )
(6-24)
二、单自由度体系振动 3.简谐荷载作用下动力响应
（2）有阻尼体系 对有阻尼的单自由度体系，简谐荷载作用下振动微分方程为：
y + 2ξw y + w 2 y =
三、多自由度体系振动 5.多自由度体系强迫振动的数值解法
（6-32）
二、单自由度体系振动 4.任意荷载作用下动力响应
P (τ ) dτ sin w(t − τ ) mw
dy =
（6-33）
如果对加载过程中所有微分反应进行叠加，即对式（6-33）进行积分，可得总反应为：
（6-34）
如果初始位移和初始速度不为0，则总位移为
（6-35）
二、单自由度体系振动 4.任意荷载作用下动力响应
三、多自由度体系振动 2.无阻尼自由振动
三、多自由度体系振动 2.无阻尼自由振动
主振型特点： （1）主振型具有正交性
（2）正则坐标 在具有n个自由度的体系中，可将n个彼此正交的主振型向量组成一个方阵：
（6-55）
三、多自由度体系振动 2.无阻尼自由振动
它的转置矩阵为
（6-56） 根据主振型向量的正交关系，可以推导出[Y]T[M][Y]和[Y]T[K][Y]都应是对角矩阵， [Y]T[M][Y]为广义质量矩阵，[Y]T[K][Y]为广义刚度矩阵。 思考： 思考：广义质量矩阵与广义刚度矩阵在求解上的优点？
下面求方程（6-46）的解，设解的形式为 （6-47）
这样{Y}是位移幅值向量，即
三、多自由度体系振动 2.无阻尼自由振动
将式（6-47）代人（6-46）得
（6-48）
上式是位移幅值{Y}的齐次方程，为了得到{Y}的非零解，应使系数 行列式为0，即
（6-49） 式(6-49)称作体系的频率方程或特征方程。将行列式展开，可得到一个关于频率 2 参数 w 的n次代数方程(n是体系自由度的次数)。把全部自振频率按照由小到大 的顺序排列而成的向量叫作频率向量，其中最小的频率叫作基本频率或第一频率。
（2）有阻尼体系 有阻尼体系承受动荷载，它的反应也可表示为杜哈梅积分，与 无阻尼体系的推导方法相似。 首先，单独由初始速度所引起的振动为：
（6-36）
由于冲量 S = mv0
，故在初始时刻由冲量
S 引起的振动为
（6-37）
二、单自由度体系振动 4.任意荷载作用下动力响应
（6-38） 再对式（6-38）进行积分得总反应为
（6-41）
三、多自由度体系振动 1.无阻尼振动方程
三、多自由度体系振动 1.无阻尼振动方程
将（6-42）代人（6-41）得无阻尼振动微分方程
（6-43）
三、多自由度体系振动 1.无阻尼振动方程
或简写为：
（6-44）
（6-45）
三、多自由度体系振动 2.无阻尼自由振动
将式（6-45）去掉荷载项，即得无阻尼体系的自由振动方程 （6-46）
二、单自由度体系振动 4.任意荷载作用下动力响应
设体系在t=0时处于静止状态，然后有瞬时冲量S作用，由于此瞬时冲量 引起的结构位移为：
y= S sin wt mw
（6-31）
t (t > τ 的位移为 )
如果在 t = τ 时作用瞬时冲量S，则在以后任一时刻
y= S sin w(t − τ ) mw
（6-8）
圆频率
周期
T=
w
2π w
二、单自由度体系振动 2.单自由度体系自由振动
（2）有阻尼自由振动
令式（6-1）中P(t)=0，即为自由振动方程，它可改写为
y + 2ξw y + w 2 y = 0
w= k m
⋅⋅
⋅
（6-12）
ξ=
c 2mw
该微分方程的解为如下形式
y (t ) = Ce λt
（6-14）
2.动荷载的种类
周期荷载： 周期荷载：这类荷载随时间周期性地变化。
一、结构动力学概述
2.动荷载的种类
冲击荷载 ： 这类荷载在很短的时间内，荷载值急剧增大或急剧 减小。各种爆炸荷载属于这一类。
一、结构动力学概述
2.动荷载的种类
随机荷裁： 随机荷裁：如果荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定，则称 为非确定性荷载，或称为随机荷载。
三、多自由度体系振动 2.无阻尼自由振动
优点在于其解耦功能，把n个方程的耦合振动变为n个独立的方程。 解耦的具体做法： 首先，进行正则坐标变换
（6-57）
三、多自由度体系振动 3.无阻尼强迫振动——简谐荷载
如果荷载是简谐荷载，即
（6-60） 而在平稳振动阶段，各质点也作简谐振动：
（6-61）
三、多自由度体系振动 3.无阻尼强迫振动——简谐荷载
λ
由下列特征方程所确定
λ2 + 2ξwλ + w 2 = 0
（6-15）
二、单自由度体系振动 2.单自由度体系自由振动
wk.baidu.com、单自由度体系振动 2.单自由度体系自由振动
二、单自由度体系振动 3.简谐荷载作用下动力响应
（1）无阻尼体系 在式（6-1）中，令阻尼力等于0，改写后得单自由度体系强迫振动的微分方程：