LP问题的灵敏度分析(第6章)

c − ∑ (c′i + ∆c′i ) a
n j i =1
ij
=
(c − z ) − ∆c′ a
j j i
ij
≤0
针对第i行，其它行不变
c −z max a 〉0 a
j j ij j ij
c −z ≤ ∆c′ ≤ min a 〈0 a
j j i j ij ij
对于所有的j（非基变量） 大于最大的、小于最小的
−1
=B
−1
b
≥
0
−1
即为最优单 纯形表中， 松弛变量所 对应的系数 矩阵
b −B
a a
1,n+2 2,n+2
−1
N
XN − B
1,n+k 2,n+k
X
S
L L L L
a a
M
M
ຫໍສະໝຸດ Baidu
a a
i ,n+2
a a
i,n+k
M
m,n+2
M
m,n+k
L 2,n+m M L ai,n+m M L am,n+m L
a a
1,n+m
OR课件 OR课件
对 bi 的 灵 敏 度 分 析
•令资源k的数量变动 ∆bk，基变量新的值b`
a1,n+1 a2,n+1 M = ai,n+1 M am,n+1
a a
1,n+2 2,n+2
L L L
a a
1,n+k 2,n+k
b′
M
a a
i,n+2
L L L L
a a
1,n+k 2,n+k
M
M
a a
i ,n+2
a a
i ,n+k
M
m,n+2
M
m,n+k
0 L 2,n+m 0 M M ⋅ L ai,n+m ∆bk M M L a m,n+m 0 L
1N
解：设新产品产量为xN ：
应 用
例
Z
N
=∑
i =1
m
a q
iN
i
q1=0, q2=0.25, q3=1
ZN=5×0＋4×0.25＋3×1＝4 CN-ZN=9-4=5>0 有利
OR课件 OR课件
对 c的 j 灵 敏 度 分 析
概念 分析基础 分析过程
OR课件 OR课件
对 概念 c的 j 灵 敏 度 分 析
3.75 ≤ c4 ≤ 5 4 ≤ c2 ≤ 5.33
OR课件 OR课件
对 bi 的 灵 敏 度 分 析
概念 分析基础 分析过程 求新解
OR课件 OR课件
对 bi 的 灵 敏 度 分 析 概念
bi的灵敏度是指在最优解基变量保持 不变，但基变量的取值可以变动的条件下 bi的变动范围，即 ∆bi 变动的上、下限。
OR课件 OR课件 价格系数 单耗系数
问题的提出：
概
在规划实施过程中，参数cj、bi、aij均受市 场的影响而发生变化。
资源系数
述
什么是灵敏度分析？
就是在线性规划问题求出最优解后，当参数变 化时，不必从头开始重算一次，就能知道最优解及 目标函数值会发生什么变化，使决策人员经济、便 利地得到比一组最优解更多的信息。
0 x7 -1 -1 1 1 -1
对 bi 的 灵 敏 度 分 析
例
XB x5 x4 x2 Zj Cj – Zj
0 4 5
现分析第2种资源的变动范围：∆b2
−100 − 200 −100 , ≤∆b2 ≤ min max 0.25 1 − 0.75
c的 j 灵 敏 度 分 析
C
’ B
XB x5 x4 x2 Zj Cj – Zj
0 4 5
-∞ ≤ ∆c1≤ -(-3.25)
-∞ ≤ ∆c3≤ -(-2.75)
-∞ ≤ c1 ≤ 4.25
-∞ ≤ c3 ≤ 5.75
OR课件 OR课件
对 c的 j 灵 敏 度 分 析
•基变量对应的c′i : 即 ∆c′i 的上、下限
边 际 值 及 其 应 用
应用
重要程度，q ---判别资源在规划中的重要程度 i越大越重要； 重要程度 ---与资源市场价格对比，作决策（买进、卖出）; ---直接判别增加新产品 增加新产品是否有利： 增加新产品
Z
N
=∑
i =1
m
a q
iN
i
C − Z ≥0
N N
有利
例
OR课件 OR课件
例
Z
max
分析的条件：
MaxZ，≤ ；仅作单因素分析
OR课件 OR课件
边 际 值 及
求解 概念
其 应 用
应用
OR课件 OR课件
边 际 值 及 其 应 用
概念
所谓第i种资源的边际值就是将1单 位第i行约束条件方程所表示的资源从 现在的用途中抽出来而使利润减少的数 字，用qi表示。
是指当前单纯形 表的基变量及其 取值
例
OR课件 OR课件
cj → C
’ B
1 b 100 200 100 x1 0.25 2 –0.75 4.25 -3.25
5 x2 0 0 1 5 0
3 x3 -3.25 -2 2.75 5.75 -2.75
4 x4 0 1 0 4 0
0 x5 1 0 0 0 0
0 x6 0.25 1 -0.75 0.25 -0.25
cj的灵敏度分析，就是在不改变原 基变量及其取值的条件下， 来最优解基变量及其取值 基变量及其取值 求出cj值的允许变动范围，即∆cj变动 值的上、下限。
OR课件 OR课件
对 c的 j 灵 敏 度 分 析 分析基础
不改变最优解的基变量及其取值，即保持
cj – zj ≤ 0
单纯形表是否达到最优 关键取决于：检验数和bi.
OR课件 OR课件
对 分析过程 c的 j 灵 敏 度 分 析
c − z = c − ∑ c′ a
j j j i =1 i
n
ij
对应非基变 量的系数 对应基变量的 系数
OR课件 OR课件
对 c的 j 灵 敏 度 分 析
•非基变量对应的cj: ∆cj 的上、下限
(c + ∆c ) − ∑c′ a = ∆c + (c − z ) ≤ 0
= x1 + 5x2 + 3x3 + 4x4
边 际 值 及 其 应 用
C
’ B
2x + 3x + x + 2x ≤ 800 （资 源 1 ） 2 3 4 1 5x + 4x + 3x + 4x ≤ 1200 （资 源 2） 1 2 3 4 3x1 + 4x2 + 5x3 + 3x4 ≤ 1000 （资 源 3） x j ≥ 0, 对一切j
q1 q2 q3
cj → XB x5 x4 x2 Zj Cj – Zj b 100 200 100 0 4 5
1 x1 0.25 2 –0.75 4.25 -3.25
n +i
5 x2 0 0 1 5 0
3 x3 -3.25 -2 2.75 5.75 -2.75
4 x4 0 1 0 4 0
0 x5 1 0 0 0 0
Ba
a
−1 M
i,n+k
M
m,n+2
M L
m,n+k
b1 b2 2,n+m M M ⋅ L ai,n+m bk + ∆bk M M L am,n+m bm L L
a a
1,n+m
b 1 b 2 M −1 + =B b k M b m
OR课件 OR课件
对 bi 的 灵 敏 度 分 析
分析基础
bi在允许变动范围内，新基变量的 b 解要满足非负约束，即bi ≥ 0
OR课件 OR课件
对 bi 的 灵 敏 度 分 析
分析过程
b
XB =B
a1,n+1 a2,n+1 M −1 B = ai,n+1 M am,n+1
例
OR课件 OR课件
例
cj → C
’ B
基变量对应的价格系数
1 b 100 200 100 x1 0.25 2 –0.75 4.25 -3.25 5 x2 0 0 1 5 0 3 x3 -3.25 -2 2.75 5.75 -2.75 4 x4 0 1 0 4 0 0 x5 1 0 0 0 0 0 x6 0.25 1 -0.75 0.25 -0.25 0 x7 -1 -1 1 1 -1
0 x6 0.25 1 -0.75 0.25 -0.25
0 x7 -1 -1 1 1 -1
q =Z
i
q1
q2
q3
OR课件 OR课件
边 际 值 及 其
如果有人通过市场调查，用这三种 资源生产一种新产品的相关数据资料： a =5, a2N=4, a3N=3, cN=9; 建议生产这种新 产品，问此建议是否应采纳？。
对 c的 j 灵 敏 度 分 析
0 4 5
XB x5 x4 x2 Zj Cj – Zj
− 3.25 − 0.25 − 2.75 −1 max , , ≤ ∆c′2 ≤ min 2 1 − 2 −1
-0.25 ≤ ∆c4 ≤ 1 同理： -1 ≤ ∆c2 ≤ 0.33
n j j i =1 i ij j j j
常数
− ∞ ≤ ∆c j ≤ −
(c − z )
j j
下限
上限
例
OR课件 OR课件
•例
非基变量对应的cj
cj →
对
1 b 100 200 100 x1 0.25 2 –0.75 4.25 -3.25 5 x2 0 0 1 5 0 3 x3 -3.25 -2 2.75 5.75 -2.75 4 x4 0 1 0 4 0 0 x5 1 0 0 0 0 0 x6 0.25 1 -0.75 0.25 -0.25 0 x7 -1 -1 1 1 -1
针对一般线性 规划问题 (MaxZ,≤)
OR课件 OR课件
求解
边 际 值 及 其 应 用
Z
= CB B
−1
q =Z
i
n +i
b
+
(C
− CB B N
−1
N )X
− CB B N
−1
X
S
∆b=1
Z = ∑c′ a
j i=1 i m ij
∆ Z =C B
B
−1
Z =∑ a q
j i =1 ij
m
i
OR课件 OR课件
OR课件 OR课件
引 入
前面五章内容都是围绕线性规划问题 （一般形式、特殊形式）的求解（决策变 求解（ 求解 目标等） 量、目标等）而展开讨论的，目的旨在为 规划的实施提供更多的决策依据。但在整 个的讨论过程中，隐含有一个假设 假设，即假 假设 定参数cj 、bi、aij均为常数。
然而： 然而：
在决策的实践中，这些参数肯定是会随 决策环境的变化而变化的。那么
OR课件 OR课件
第6章 LP问题的灵敏度分析
OR课件 OR课件
线
本章要求
性 规 划 问 题 的
义及意义；掌握各种参数取值范围计 内容之一。要求领会灵敏度分析的涵 灵敏度分析是线性规划中的重点
灵 敏 度
学会应用灵敏度分析为决策者提供更 算公式的原理及有关数据的经济含义；
分 析
加准确的决策依据。
OR课件 OR课件
线
主要内容
性 规 划 问 题 的 灵
对bi的灵敏度分析 对Cj的灵敏度分析 概述 边际值及其应用
敏 度 分
应用示例 对aij的灵敏度分析
析
OR课件 OR课件
线 性 规 划 重点 问 题
－－各种参数取值范围计算公式的计算 －－各种参数取值范围计算公式的计算
本章重点与难点
的 灵 敏 度 难点 分 析
－－难点是计算公式的推导和灵敏度分 －－难点是计算公式的推导和灵敏度分 析的应用。 析的应用。 原理及有关数据的经济含义。 原理及有关数据的经济含义。
OR课件 OR课件
对 bi 的 灵 敏 度 分 析
•取出任意第i行，得表达式：
b + a ∆b ≥ 0
i i,n+k k
−b max a a
i i i , n+ k
> ≤ ∆bk ≤ min i , n+ k 0
i
−b a a
i i , n+ k
i , n+ k
<0
对于所有得i来说：大于 最大的、小于最小的 最大的 最小的
0 0 M −1 B ∆ b k M 0
OR课件 OR课件
对 bi 的 灵 敏 度 分 析
=b
a1,n+1 a 2,n+1 M + ai,n+1 M am,n+1
a a
1,n+2 2,n+2
OR课件 OR课件
引 子
（1）已得的各种决策信息还有没有价值？
（2）如果决策环境发生了变化，能否在已 有信息的基础上，作适当的分析与计算即 可？
（3）能否在决策实践以前对这些参数作一 些必要的分析，找出在保证原来最优方案 的条件下，参数可以变动的范围 范围，以便于 范围 实践中对它们的管理与控制？
a a
1,n+m
b a 1, n+ k 1 b 2 a 2, n + k M M ≥0 = + (∆bk ) b i a i , n+k M M b m a m, n+ k