清华大学断裂力学讲义第二章-Griffith断裂理论

GBda W dU e d
上式给出了在断裂过程中最一般的能量平衡和转换关系以及 判断准则。
下面我们首先研究最简单的例子，在断裂过程中没有系统
和外界功的交换，即 W 0
一个典型例子：Griffith脆断理论
问题：多长的裂纹会自动扩展？
GBda W dU e d
表面能 4aBg
g 单位面积表面能
Legendre变换
f x
g p
p df dx
200 year portrait debacle
Adrien-Marie Legendre Louis Legendre
L f x g p
max x
px
f
x
px* f x*
where d px* f x* 0 dx
在热力学里，使用Legendre变换主要的目的是：将一个函数与所含有的一个自变量，转换为一个新函数与所含有 的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的 差就是新函数。 Legendre变换可以用来在各种热力势（thermodynamic potential）之间作转换。
作业题
2.如下图所示，在楔形处插入高h的方形木块，楔形的杨氏模量为
E，表面能为g，求解裂纹起裂时的临界条件，即c(E,h,d,g)，并判
断裂纹扩展是否稳定，同时用图示说明？（注：考虑单位厚度的 能量即可，计算能量时不需考虑力F的做功，仅需将悬臂段考虑 成梁，计算其弯曲能即可）
能量最小原理：
对于具有定常体积、外参量和熵的封闭系统，系统总的内能将趋向减小， 当达到平衡状态时，总的内能达到极小值。
where d px* f x* 0 dx
在热力学里，使用Legendre变换主要的目的是：将一个函数与所含有的一个自变量，转换为一个新函数与所含有 的一个新自变量，此新自变量是旧函数对于旧自变量的偏导数；将旧函数减去新自变量与旧自变量的乘积，得到的 差就是新函数。 Legendre变换可以用来在各种热力势（thermodynamic potential）之间作转换。
(a)
(b)
(c)
通过计算做功来计算能量差异
u2
状态（a）和（b）之间 的差异（让裂纹闭合所 做的功）
u2
状态ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱb）和（c） 之间的差异
计算弹性应变能Ue（有限板情形），采用叠加原理
E / L
(a)
(b)
(c)
上面是位移边界
作业题4. 如果采用力边界，如何采用叠加原理计算带有中心裂纹 板的能量？仿照课程讲义关于位移边界的情况，讨论有限板和无 限大板的情况。
第二章：Griffith理论
热力学（回顾） Griffith理论 能量释放率G
G的实验测量—柔度标定 Griffith理论在非理想脆性材料中的修正
一些讨论
热力学
热力学第零定律：
若两个热力学系统均与第三个系统处于热平衡状态，此两个系统也必 互相处于热平衡。
热平衡的标志为系统的各个部分温度相等
热力学第一定律：
g Surface energy
U 2a2B 4aBg E
Equilibrium condition
dU 0 da
c
2Eg a
d 2U
0 da2 c
?
Crack growth will be unstable! 随后深入讨论稳定性！
A.A. Griffith, Phenomena of rupture and flow in solids, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, A221, 163-198 (1921).
最一般形式
GBda W dU e d
对于位移固定加载的系统 W 0
裂纹扩展的临界状态对应于
d U e d da da
考虑Griffith裂纹（如右图）的情况
U e 1 a2B 2 8
封闭系统：系统与环境之间只有能量交换，没有物质交换。
内能
U S,V
焓
H S, P U PV
Helmholtz 自由能
F T,V U TS
Gibbs 自由能
GT, P U PV TS
min U
min H min F
达到平衡状态
min G
能量最小原理是热力学第二定律的另一种表述。
Legendre变换
达到平衡状态
能量最小原理是热力学第二定律的另一种表述。
Legendre变换
Legendre变换
f x
g p
p df dx
200 year portrait debacle
Adrien-Marie Legendre Louis Legendre
L f x g p
max x
px
f
x
px* f x*
断裂过程中的能量平衡及转化
考察一个断裂过程中的能量平衡
W dU e d dU T Q (*)
W
dU e
d
dU T Q
dU T
Q
外界对系统做的功 系统的弹性应变能增加 系统新增表面能 断裂过程中系统产生的热 系统内部热能增加 传出系统的热量
B:试件厚度
热力学第二定律要求 dU T Q 0 由(*)式得
Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society, Vol. 10, (Nov., 1964), pp. 117-136 /stable/769315
Griffith理论
椭圆孔的应力分布（弹性力学解）
Charles Inglis, 1913
1920. In 1917, together with G.I. Taylor, he published a pioneering paper on the use of soap films in solving torsion problems, and in 1920 he published his famous paper on the theory of brittle fracture. He then worked on the design theory of gas turbines. Griffith was Head of the Engine Department of the Royal Aircraft Establishment in 1938 and joined Rolls Royce as research engineer in 1939. He worked first on conceptual design of turbojet engines and later on vertical takeoff aircraft design. He retired in 1960 but continued working as a consultant for Rolls Royce. He died on 13 October 1963.
封闭系统：系统与环境之间只有能量交换，没有物质交换。
状态函数
内能
U S,V
焓
H S, P U PV
min U min H
U V
S
0,
2U V 2
S
0
熵不变
Helmholtz 自由能
F T,V U TS
Gibbs 自由能
GT, P U PV TS
Legendre变换
min F min G
A
1
2a b
A 1 2
a
b2 a
尖锐的裂纹
A 2
a
for a
C.E. Inglis, Stress in a plate due to the presence of cracks and sharp corners, 1913.
Griffith理论
Energy balance concept
E / L
(a)
(b)
(c)
假设(b)为应变能零状态,要求解(a)状态能量,先转换成求 (c)状态能量，及裂纹张开所需的应变能。
对于无限大板（L>>a），参见随后的作业题3
对于一般的问题能用叠加来计算能量吗？ 若不能,为什么这里可以？
计算弹性应变能Ue（有限板情形），采用叠加原理
E / L
W dU e d 0
GBda W dU e d
断裂的驱动力
断裂阻力
断裂是一个材料生成新表面的过程!
GBda W dU e d
阻力：表面能
d 2Bg da g 单位面积表面能，或表面张力
驱动力
GBda W dU e
George Rankine Irwin
G 裂纹前进单位面积的机械能量减少,称为能量释放率。
对于非孤立系统，系统的总能量始终是守恒的。
dU Q Wmech Wextra
U是状态量，Q、Wmech、Wextra是过程量（路径依赖） 系统又有往能量极小演化的趋势
似乎有矛盾，怎么回事？
热力学第二定律：
Clausius
不可能把热量从低温物体传递到高温物体 而不产生其他影响。
Kelvin-Planck
Irwin G.R. Onset of fast crack propagation in high strength steel and aluminum alloys. Sagamore Research Conference Proceedings, Vol. 2, 1956, pp. 289-305.
Griffith理论
Alan Arnold Griffith (1893-1963). He was born in London on 13 June 1893. He earned his B.Eng. in mechanical engineering in 1914, M.Eng. in 1917, and D.Eng. in 1921, all from the University of Liverpool. In 1915, he entered the Royal Aircraft Factory (later known as the Royal Aircraft Establishment), and advanced through a workshop traineeship followed by other positions to become senior scientific officer in
外界对系统做功 W 0
位移固定边界
如何计算弹性应变能的改变dUe？
计算弹性应变能Ue（有限板情形），采用叠加原理
E / L
(a)
(b)
(c)
为什么可以用叠加原理?上下的叠加哪个正确?为什么?
E / L
(a)
(b)
(c)
宏微观断裂力学
E / L
(a)
(b)
(c)
如何检查叠加是否正确？ ▪ 线性系统（线弹性、小变形、小转动） ▪ 检查以下等式是否都满足
Difference in elastic energy between the cracked sheet and the uncracked sheet
UE
2a2B E
Plane strain Homework（作业题）
Cracked sheet has the free surface
US 4aBg Total energy
不可能从单一热源吸收能量，使之完全变 为有用功而不产生其他影响。
引入S熵
Q TdS
Stotal 0
热力学第二定律揭示了系统在保持总能量不变情况下的发展方向 热能区别于其他能量形式 很多能量都最终耗散转化为热能 事实上系统演化是一个熵增的过程
能量最小原理：
对于具有定常体积、外参量和熵的封闭系统，系统总的内能将趋向减小， 当达到平衡状态时，总的内能达到极小值。
作业题
1. 阅 读 Griffith 的 论 文 。 根 据 如 下 两 个 公 式 回 答 Inglis 的 解 与 Griffith理论之间的关系，并说明哪个解更复合实际情况，为什么？ 同时给出在什么情况下两者是基本一致的？
a
1 2
max
a 2g E
Inglis的解 Griffith的解
(a) (b) (c)
u(a) u(b) u(c)
(a) (b) (c)
t(a) t(b) t(c)
f (a) f (b) f (c)
其实只要边界和外载处满足叠加条件即可，为什么？ 若系统由线弹性和非线弹性部分组成，可否用叠加原理?
计算弹性应变能Ue（有限板情形），采用叠加原理