七年级数学上册433余角和补角新版新人教版
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观察下图，∠1+∠2与∠AOB相等吗？你是怎样判 断的？
A
1
2
O
B
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观察下图，∠α+∠β与∠AOB相等吗？你是怎样 判断的？
β α
A OB
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学习新知 比萨斜塔倾斜了3.97 °，它现在与地面成的夹 角是86. 03 °，这两个角之和是多少度？
= 2 ∠AOB
3
2 1500 1000. 3 www.niuwk.com 牛牛文库文档分
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如图，已知∠BOC=2∠AOC，OD平分 ∠AOB，且∠COD=18o，求∠AOC=___3_6_o__.
BD
解析：设∠AOC的度数为x，则
C ∠BOC=2x，∠AOB=3x ，
O
A
∠AOD=
12∠AOB=
3.97 °+ 86. 03 °=90 °
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小结
如果两个角的和是90度（直角），就说这两个 角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角。
若 ∠1+∠2=90°，则∠ 1是 ∠2的余角， ∠2也是∠ 1的余角． 互余用数学式子表示为：
∠1+∠2=90°，∠1与∠2互余．反之， 因为∠1与∠2互余，所以∠1+∠2=90°。
பைடு நூலகம்
∠1与 ∠2，∠3都互为补角，∠2和∠3的大小有 什么关系？如果 ∠1与 ∠2，∠3都互为余角， ∠2和∠3的大小又有什么关系？
解：因为∠1+∠2= 180°， 所以∠3=∠2。 ∠1+ ∠3=180°，
因为∠1+∠2= 90°，
所以∠3=∠2。
∠1+ ∠3=90°，
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（1）互余和互补都是两个角之间的数量关系的 概念，不能单独说哪一个角是余角或补角.
（2）两个角互余或互补只是两个角的和为90度 或180度 ，跟位置无关.
（3）当互补的两个角有公共顶点时，又称 这两个角互为邻补角（简称邻补角）.
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解析： 因为∠AOB = ∠COD = 90°，OC
A O
C B是E ∠所A∠O以BB的O∠D平=B∠O分CC=线O12D，-∠∠ABOOBC==1920×0-9405°°==4455°°，，
D
因为OE是∠BOD的三等分线，
所以∠DOE =1∠BOD =1×45°=15°，
3
3
从而∠BOE=∠BOD-∠DOE=45°-15°=30°。
补角性质：同角（或等角）的补角相等 余角性质：同角（或等角）的余角相等
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如图，点A，O，B在同一条直线上，射 线OD和射线OE分别平分∠ AOC和∠ BOC，图中
哪些角互为余角？解：因为点A，O，B在同一条直
线上，所以 ∠ AOC和 ∠ BOC 互为补角．又因为射线OD和射线
OE分别平分 ∠ AOC和 ∠ BOC，
所所以以∠∠CCOODD+和=∠∠12（CCOO∠EE=互A12为O∠C余A+O角∠C，+12B同∠O理CB，)OC∠= A90O°D。和
∠BOE, ∠AOD和∠COE,∠COD和∠BOE也互为余
角。
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如下图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A 在它南偏东60°的方向上，同时，在它北偏东 40°，南偏西10°，西北（即北偏西45°）方向 上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D．仿照表 示灯塔方位的方法，画出客轮B、货轮C和海岛D 方向的射线．
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2.互余、互补的性质
同角（或等角）的余角（或补角）相等，这是证 明角相等的一个非常重要的依据．
3.方位角
方位角是表示方向的角，通常以正北、正南方向 为角的始边，以对象所处的射线为角的终边，故 描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东 或偏西。
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如果两个角的和是180°，那么这两个角有什么 关系？ 如果两个角的和是180°（平角），就说这两个 角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角。 若 ∠3+ ∠4 =180°，则∠3是∠4的补角， ∠4也是∠3的补角． 互补用数学式子表示为：
因为∠3+∠4=180°所以3与∠4互补． 反之，因为∠3与∠4互补，所以∠3 +∠4=180°。
3 2
x
，
3 x x =18o 2
解得x=36o ，即∠AOC的度数为36o
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1.余角和补角的意义
①余角（补角）是相对于两个角而言的，当满 足和为90度(180度)时，就称这两个角互为余角 （补角），其中一个角叫做另一个角的余角 （补角），不能单独说某个角是余角（补角）。 ②余角（补角）与这两个角的位置没有关系。
检测反馈
1.如图，将Rt△ABC的直角顶点C放在直线EF上若 ∠ACE=49°，则∠BCF的度数是（ A ）
A．41° B．49° C．51° D．59°
【解析】因为∠ACB=90°，∠ACE=49°， 所以∠BCF=90°﹣∠ACE=41°。
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2.如图所示，已知∠BOC=55°，
∠AOC=∠BOD=90°，则∠AOD为（ C ）
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小宁从A地向东北方向走62m到B地，再从B地向西 走56m到C地，这时她离A地多少米？在A地的北偏 西多少度？画出图形（用1cm表示10m），然后用 刻度尺和量角器进行测量．（精确到1m，1°）
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如图，∠AOB=∠COD= 90°，OC是∠AOB的 平分线，OE是∠BOD的三等分线，则∠COE=_7_5_°_.
所以∠COE=∠BOC+∠BOE=45°+30°=75°. www.niuwk.com 牛牛文库文档分 享
如图，OC,OE分别是∠AOD,∠BOD的三等 分线，已知∠AOB=150o，则∠COE=__1_0_0_o__.
B E D ∠COE=∠COD+∠DOE
C
O
A
=
2 ∠AOD+
3
23∠BOD
= 23（∠AOD+∠BOD）
A
1
2
O
B
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观察下图，∠α+∠β与∠AOB相等吗？你是怎样 判断的？
β α
A OB
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学习新知 比萨斜塔倾斜了3.97 °，它现在与地面成的夹 角是86. 03 °，这两个角之和是多少度？
= 2 ∠AOB
3
2 1500 1000. 3 www.niuwk.com 牛牛文库文档分
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如图，已知∠BOC=2∠AOC，OD平分 ∠AOB，且∠COD=18o，求∠AOC=___3_6_o__.
BD
解析：设∠AOC的度数为x，则
C ∠BOC=2x，∠AOB=3x ，
O
A
∠AOD=
12∠AOB=
3.97 °+ 86. 03 °=90 °
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小结
如果两个角的和是90度（直角），就说这两个 角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角。
若 ∠1+∠2=90°，则∠ 1是 ∠2的余角， ∠2也是∠ 1的余角． 互余用数学式子表示为：
∠1+∠2=90°，∠1与∠2互余．反之， 因为∠1与∠2互余，所以∠1+∠2=90°。
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∠1与 ∠2，∠3都互为补角，∠2和∠3的大小有 什么关系？如果 ∠1与 ∠2，∠3都互为余角， ∠2和∠3的大小又有什么关系？
解：因为∠1+∠2= 180°， 所以∠3=∠2。 ∠1+ ∠3=180°，
因为∠1+∠2= 90°，
所以∠3=∠2。
∠1+ ∠3=90°，
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（1）互余和互补都是两个角之间的数量关系的 概念，不能单独说哪一个角是余角或补角.
（2）两个角互余或互补只是两个角的和为90度 或180度 ，跟位置无关.
（3）当互补的两个角有公共顶点时，又称 这两个角互为邻补角（简称邻补角）.
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解析： 因为∠AOB = ∠COD = 90°，OC
A O
C B是E ∠所A∠O以BB的O∠D平=B∠O分CC=线O12D，-∠∠ABOOBC==1920×0-9405°°==4455°°，，
D
因为OE是∠BOD的三等分线，
所以∠DOE =1∠BOD =1×45°=15°，
3
3
从而∠BOE=∠BOD-∠DOE=45°-15°=30°。
补角性质：同角（或等角）的补角相等 余角性质：同角（或等角）的余角相等
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如图，点A，O，B在同一条直线上，射 线OD和射线OE分别平分∠ AOC和∠ BOC，图中
哪些角互为余角？解：因为点A，O，B在同一条直
线上，所以 ∠ AOC和 ∠ BOC 互为补角．又因为射线OD和射线
OE分别平分 ∠ AOC和 ∠ BOC，
所所以以∠∠CCOODD+和=∠∠12（CCOO∠EE=互A12为O∠C余A+O角∠C，+12B同∠O理CB，)OC∠= A90O°D。和
∠BOE, ∠AOD和∠COE,∠COD和∠BOE也互为余
角。
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如下图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A 在它南偏东60°的方向上，同时，在它北偏东 40°，南偏西10°，西北（即北偏西45°）方向 上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D．仿照表 示灯塔方位的方法，画出客轮B、货轮C和海岛D 方向的射线．
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2.互余、互补的性质
同角（或等角）的余角（或补角）相等，这是证 明角相等的一个非常重要的依据．
3.方位角
方位角是表示方向的角，通常以正北、正南方向 为角的始边，以对象所处的射线为角的终边，故 描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东 或偏西。
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如果两个角的和是180°，那么这两个角有什么 关系？ 如果两个角的和是180°（平角），就说这两个 角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角。 若 ∠3+ ∠4 =180°，则∠3是∠4的补角， ∠4也是∠3的补角． 互补用数学式子表示为：
因为∠3+∠4=180°所以3与∠4互补． 反之，因为∠3与∠4互补，所以∠3 +∠4=180°。
3 2
x
，
3 x x =18o 2
解得x=36o ，即∠AOC的度数为36o
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1.余角和补角的意义
①余角（补角）是相对于两个角而言的，当满 足和为90度(180度)时，就称这两个角互为余角 （补角），其中一个角叫做另一个角的余角 （补角），不能单独说某个角是余角（补角）。 ②余角（补角）与这两个角的位置没有关系。
检测反馈
1.如图，将Rt△ABC的直角顶点C放在直线EF上若 ∠ACE=49°，则∠BCF的度数是（ A ）
A．41° B．49° C．51° D．59°
【解析】因为∠ACB=90°，∠ACE=49°， 所以∠BCF=90°﹣∠ACE=41°。
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2.如图所示，已知∠BOC=55°，
∠AOC=∠BOD=90°，则∠AOD为（ C ）
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小宁从A地向东北方向走62m到B地，再从B地向西 走56m到C地，这时她离A地多少米？在A地的北偏 西多少度？画出图形（用1cm表示10m），然后用 刻度尺和量角器进行测量．（精确到1m，1°）
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如图，∠AOB=∠COD= 90°，OC是∠AOB的 平分线，OE是∠BOD的三等分线，则∠COE=_7_5_°_.
所以∠COE=∠BOC+∠BOE=45°+30°=75°. www.niuwk.com 牛牛文库文档分 享
如图，OC,OE分别是∠AOD,∠BOD的三等 分线，已知∠AOB=150o，则∠COE=__1_0_0_o__.
B E D ∠COE=∠COD+∠DOE
C
O
A
=
2 ∠AOD+
3
23∠BOD
= 23（∠AOD+∠BOD）