03第三节分部积分法

第三节分部积分法
★ 分部积分公式
★ 几' 点说明
★ 例1
★ 例2 ★ 例 3 ★ 例 4
★ 例5 ★ 例6 ★ 例 7 ★ 例 8
★ 例9 ★ 例10 ★ 例 11 ★ 例 12
★ 例13 ★ 例14 ★ 例 15
★ 例 16
★ 例17 ★ 例18
★ 分部积分的列表法
★ 例19
★ 例20 ★ 例 21
★ 例 22
★ 内容小结
★ 课堂练习
★习题4-3
积函数常考虑应用分部积分法(其中m, n 都是正整数).
例题选讲
例1 (E01)求不定积分
x cos xdx .
x 2
解一 令 u cosx, xdx d 一 dv,
2
显然，u,选择不当，积分更难进行
解二 令 u x,cosxdx dsinx dv,
xcosxdx
xd si nx xsinx sin xdx xsi nx cosx C.
分布图示
2
cosxd —
2
2
x cosx 2
xcosxdx
2
sin xdx,
2
内容要点
分部积分公式：
udv uv
vdu
uv dx uv
u vdx
(3.1) (3.2)
(或微分)的逆运算• 一般地，下列类型的被
n
x sin mx nx .
e sin mx n mx
x e
n .
x arcsin mx x n cos mx
nx
e cosmx x n (ln x)
n
x arccosmx
x n arctanmx 等.
分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数
例2 (E02)求不定积分 x 2e x dx .
解 u x 2,e x dx de x dv
2 x
2 x 2 x
x 2 x x 2 x x x
x e dx x de x e 2 xe dx x e 2 xde x e 2(xe e ) C. 注：若被积函数是幕函数
(指数为正整数)与指数函数或正(余)弦函数的乘积，可设幕函
数为u,而将其余部分凑微分进入微分号 ,使得应用分部积分公式后，幕函数的幕次降低一
次.
注：若被积函数是幕函数与对数函数或反三角函数的乘积 u,而将幕函数凑微分进入微分号 ，使得应用分部积分公式后 例 5 (E05) 求不定积分 e x sin xdx.
解
e x sin dx sin de x
x
e sin x e x d (sin x) e x sin x
e x cos xdx
x
e sin x
cosxde x
x
x
e sin x (e cosx
e x d cosx)
e x (s in x cos x)
e x sin xdx
x
e x sin dx
(sin x cos x) C.
注：若被积函数是指数函数与正 (余)弦函数的乘积,u, dv 可随意选取，但在两次分部积分
中,必须选用同类型的
u,以便经过两次分部积分后产生循环式
,从而解出所求积分.
例3 (E03)求不定积分
xarctanxdx. 解 令 u arctanx, xdx 2
x
d —
2 dv,
x arcta n xdx arcta n xd
x 2
2 x arcta nx 2
2
x
d (arcta n
x) 2
2
x arcta n x 2
x 2
^dx 1 x 2
2
x arcta nx 2
1 2 dx
1 x 2
2
x arcta nx 2
1
2(x
arcta nx) C.
例4 (E04)求不定积分
In xdx.
解令 u In x,x 3
dx
x 4
dv,
x 3 ln xdx
x 4 In xd -
4
-x 4ln x 4
x 3dx
■ in x 4
1
4
x 16
C.
为 失.
,可设对数函数或反三角函数
,对数函数或反三角函数消
例6 (E06)求不定积分 sin(ln x)dx .
x 解
sin (I n x)dx xsin (I n x)
xd [s in (I n x)]
x[sin (I n x) cos(l n x)] sin (I n x)dx
sin(1 n x)dx x
[sin(ln x) cos(ln x)] C.
灵活应用分部积分法，可以解决许多不定积分的计算问题 •下面再举一些例子，请读者
悉心体会其解题方法.
例7 (E07)求不定积分 sec xdx .
解
seC 3 xdx
secxd tanx secxtanx secxtan 2xdx
2
3
secxtanx
secx(sec x 1)dx secxtanx
sec xdx secxdx
3
secx ta nx In | secx tanx| sec xdx
2.1 x arcs inx
x arcta nx ―: dx 、1 x
2
3
1 sec xdx (secxtanx In |secx tanx|) C.
2
2,便得
求不定积分 arcs in ..
x dx. 、1 x
arcs in . x ,
dx
、1 x
2 arcs inxd1 x
2.1 x arcs in 、x 2 .1 xd arcs in 、x
xsin(In x)
xcos(ln x)
1
dx
xsin(In x) xcos(ln x)
xd[cos(ln x)]
由于上式右端的第三项就是所求的积分
sec xdx,把它移到等号左端去，再两端各除以
2-1 x arcs in . x 2 x C.
求不定积分
x arcta n x ----------- dx. 1 x 2
arcta nxd 1 x 2
1 x 2
I
2
..1 x 2 arctanx 1 x 2d(arctanx)
原式.1 x 2 arctanx ln(x x 2) C.
例10 (E08) 求不定积分 e 护dx. 解令 t ... x,则 x t 2,dx 2tdt,于是
e x dx 2 e t tdt
2 tde t 2te t 2 e t dt
7x dx.
代入上式，得
2te t 2e t C 2e t (t 1) C
2e x
(x 1)
C. 11求不定积分 In (1
.x)dx.
令 t
x,则 x
t 2,
ln(1 . x )dx
In (1
2 2
t)dt t ln(1 t)
t 2dl n(1 t) t 2l n(1 t)
1 2
-dt t
2
dt 2
t 2
t) C
t ln(1 t) (t
1)dt
t ln(1 t) 1 t
2
t ln(1
(x 1)1 ln(1 ■- x) x -C.
例
解
1 /3
..1 x 2 arctanx
1
dxx tant
, -sec 2 tdt 1 tan 21
sectdt |n( sect tan t) C ln(x 1 x 2) C.
12
解法 1先分部积分，后换兀 •设u 1/3
x
e
,dv 丄dx,则 3 x
du
2/3
1/3
x
e
dx,v
3 2/3
x
2
再设
3 2/3 x e
x1/3
1
e
x1/3
dx
2
t 3,则 dx 3t 2dt,于是
Y 1 /3
e dx
2 t
2 1
3 t e dt 3t e
te t dt 3t 2e t 6te t e t dt 3(t 2
2t 2)e t
C.
..1 x 2 arctanx
1
I 3
x2/3 e x1/3
2
3(3..X223.X
2
x
1/3
2)e x C 3(3.. x
1/3
1)e x C.
解法2先换元,后分部积分.设x t3,dx3t2dt,则
t
e 2 t
3t2dt 3 te t dt
t
再设u t,dv e t dt,则
I 3te t 3 e t dt 3te t3e t c 3(\. x 1 /3
1)e x c.
13求不定积分
(1 x) arcsi n(1 x) dx.
,2x x2
x,则dx dt,
原式tarcsi nt
dt
.1 t2
arcsi ntd(』1 t2)
其中C C1 1.
14 (E09) 求不定积分
用分部积分法,
dx
(x2 a2)n1
I n
I n
I n
1 t
2 arcsint
■-1 t2arcsint
：2x x2arcsin(1
dx
(x2 a
1时
有
x (x2 a2)n1
x (x2 a2)n1
x ~~2
2、n 1 (x a ) 2(n 1)( I n
2(n
2(n
1
2a2 (n 1) 以此作递推公式，并由
1
.1
x)
卒，其中
t2
1 t2dt
C.
n为正整数.
a2l n).
(2n 3)I m
11 — arctan' C,即可得I n.
a a
2
例15 (E10) 已知f (x)的一个原函数是 e x ,求xf (x)dx . a2
dx,
解 xf (x)dx xdf(x) xf (x) f(x)dx.
根据题意 f (x)dx e
x 2
C,再注意到 f (x)dx f (x), 两边同时对x 求导，得 2 f(x) 2xe x
xf (x)dx xf (x) 2 f (x)dx 2x e x2 e x2 C. 16求不定积分 3
sin x xCOs x e 2
cos x 先折成两个不定积分，再利用分部积分法 • si nx si nx
原式 e x cosxdx e — dx
cos x sin x
sinx
sinx ■
e xe e dx
cosx
sinx . e dx
17 求不定积分 sin xln(tan x)dx.
sin xln(tan x)dx In(tan x)d cosx
cosxln(tan x)
18 求不定积分
(x
xj 2)
2 x
x e ,于是
2 x
x e .
2dx (x 2)2
x 2e x d sin x
xde sin x
xe
cosxln(tan x) 注：本题选u x 2e x 比选
e sinx d 丄
cosx
1 sin x e C. cosx
cosxd In(tan x)
1
dx cosxln(tan x) In |cscx sin x
x 2e x
—d(x 2e x ) 2
cotx | C.
x 2e x x 2
2xe x x
2 x
x e x 2 2 x
x
x
x e
, x
xe dx
xde
x 2
x
x e x xe x 2
x e x x xe e dx
x 2
e x C.
2
x x 更能使解题方便.
(x 2)2
例19计算不定积分 xln xdx.
解 In x 不易求积分，只能放在左列，而 x 放在右列，列表如
下：
()ln
例20计算不定积分 in xdx.
1 in x,将in x 放在左列,1放在右列，列表如下
1
in xdx xlnx — xdx xinx x c. x
例21计算不定积分 xsin xdx.
解 函数x 和sinx 都是易求原函数的函数，都可放右列，但考虑到左列的函数应是求 导后逐渐简单的，故 x 放左列，sinx 放右列列表如下：
xsinxdx xcosx 1 ( sinx) c
例22计算不定积分
e x cos xdx..
解 函数e x ,cosx 都是易求原函数的函数，且它们的导函数分别是稳定的
sinx （或cosx ）形式，故它们的左右位置可随意选取 .例如选取e x 为左，cosx 为右，可得
e x cosxdx e x sin x e x ( cosx) e x ( cosx)dx ，
x
移项得 e x cosxdx — (sin x cosx) c.
2
课堂练习
2
1
2 1 1 2 , 1 2 , 1
1 2 ,
1 2
xin xdx in x x
— x dx x in x xdx x in x x c 2
x 2 2
2 2 4
( )-
x 2
2 1
in x 可看作乘积形式
xcosx sinx c.
e x 和
cosx
si nx
cosx
1. 求不定积分xsin2 xdx;
2 求不定积分e x sin 2xdx .。