电压激励的压电层合悬臂梁横向振动分析_叶文强

摘
要： 以压电陶瓷 － 金属 － 压电陶瓷对称层合结构为研究对象， 基于能量法得到了等截面压电层合对称悬臂梁
在横向激振电压下的强迫振动微分方程 。用 ANSYS 软件对建立的相关有限元模型进行模态分析 、 谐响应分析及瞬态动 力学分析， 仿真结果与理论值基本吻合， 验证了理论的正确性。进一步分析了阻尼对横向位移响应的影响， 讨论了速度、 加速度随时间的变化规律， 分析了压电悬臂梁的最大应力出现位置及最大应力值随时间的关系 。所得结论可为压电振子 的设计和分析提供必要理论参考 。 关键词： 压电悬臂梁；能量法；横向振动；ANSYS；动力学分析 中图分类号： TB123 文献标志码： A DOI：10． 13465 / j． cnki． jvs． 2014． 13． 035
［9 ］
q i （ t ） 为相应的广 式中： i （ x） 为梁的第 i 阶振型函数， 义坐标。用 ρ = ρm hm + 2 ρp hp 表示压电层合Leabharlann Baidu单位体积 hm + 2hp
研究了
验证了局部应变效应 压电驱动元件局部应变的机理，
A 的质量， ρm 、 ρ p 分别表示基体材料和压电材料的密度， 表示层 合 梁 的 横 截 面 积， 则压电层合悬臂梁的动能 T（ t ） 为： T（ t） = 1 ρA 2
2 1 t） z（ x， = 2 Ｒ x
t） 表示坐标为 x 的截面中性轴在 t 时刻的 用 z（ x， 横向位移， 假设：
n
（ 12 ）
将式（ 11 ） 代入式（ 1 ） 第二个方程并变形得到： （3） T1 = 1 E （ kz + d 31 E 3 ） s11 （ 13 ）
z（ x， t） =
Abstract：
Taking the piezoelectric ceramic- metal- piezoelectric ceramic symmetric laminated structure as research
object，the forced vibration differential equation of a piezoelectric laminated symmetrical cantilever beam under transverse excitation voltage was built based on the energy method． A finite element model was established ， and the modal， harmonic response and transient dynamic response of the beam were analyzed by using ANSYS software． The simulation results agree well with the theoretical values，which verifies the validity of the theory． Furthermore ，the influence of damping on the transverse displacement response was analyzed ，and the variations of velocity and acceleration with time were discussed． The location of the maximum stress of the piezoelectric cantilever beam and the characteristics of the maximum stress with time were analyzed． The conclusion can provide necessary theoretical reference for the design and analysis of piezoelectric vibrators． Key words： piezoelectric cantilever beam； energy method； transverse vibration ； ANSYS；dynamics analysis 压电陶瓷的逆压电效应可以将电能转化为机械 能， 利用这一原理设计的压电驱动器具有结构紧凑、 响 无电磁干扰等特点。 以压电陶瓷 － 金 应快、 输出力大、 属 － 压电陶瓷层合结构组成的双晶弯曲驱动器具有输 出位移量大、 承载力高， 且断裂韧性高， 不易损坏等优 点， 因此其得到了广泛的应用。 目前国内外对压电驱 动器进行了大量的研究， 在考虑压电驱动器的非线性 Ｒichter 等 方面， 应， 李凤明等
1 E T （ s T － 2 d31 T1 E3 + ε33 E2 3） 2 11 1 在压电层合悬臂梁横向弯曲时有： S1 =
图1 压电层合悬臂梁模型 Fig． 1 Piezoelectric laminated cantilever beam model
z = kz Ｒ
（ 11 ）
Ｒ 为横向弯曲时的曲率 其中：z 为到中性层的 z 向距离， 半径， 曲率 k 为： k =
［10 ］
i， j = 1， 2， …， n Im = 用 E m 表示中间基体材料的弹性模量， 1 wh3 12 m
表示基体材料横截面关于中性轴的惯性矩， 则基体材 料的应变能 U m （ t） 为： U m （ t） = 1 E I 2 m m
为： （1）
∫(
l 0
2 t） z（ x， 2 x
∫∫∫（ S T
1 V2
1
U p2 （ t ） 分别表示上下两层压电片的应变 式中：U p1 （ t） 、 V2 分 别 表 示 上 下 两 层 压 电 片 的 体 积 。 为 求 V1 、 能， U p1 （ t） ， 在上层压电片取一微小体积 dV 为研究对象。 结合式（ 1 ） 则在该微小体积上有 dU p1 （ t） = S 1 T1 + D3 E 3 = 2 （ 10 ）
) dx
2
（6）
{
T － D3 = d31 T1 － ε33 E3 E S1 = s11 T1 － d31 E3
上下两层压电片总的应变能（ 包括弹性势能和电场能 ） 为 U p （ t） ， 其表达式为： U p （ t） = U p1 （ t） + U p2 （ t） （2） U p1 （ t） = U p2 （ t） = 1 2 1 2 （7） （8） （9）
［2 ］ ［1 ］
Gaudenzi 等 振动控制的研究，
［3 ］
建立表面双侧对称布
置压电陶瓷驱动器与传感器的悬臂梁有限元模型， 采 用模态控制法对梁的前两阶振动进行主动控制研究； 董兴建等
［4 ］
由 Hamilton 变分原理建立压电层合梁的有
基于鲁棒极点配置算法对降阶后的低阶系 限元模型， 统设计状态反馈， 实现对原系统 的 主 动 控 制； Kapuria 等
q i （ t） i （ x） ∑ i =1
200
振 动 与 冲 击
2014 年第 33 卷
由式（ 8 ） ～ （ 13 ） 可得到： U p1 （ t） = 1 2
其中 E p 为压电陶瓷的杨氏模量，
2 2 T 33 l
∫ ∫ ∫ [ s1 k z + ( ε
l w
hm 2 +h p
0 0
hm 2
［5 ］
基于电势的二次变分的 layerwise 理论建立梁的有
［6 ］
研究了强电作用下的非线性压电效
限元模型实现对智能梁的主动控制；Kumar 等
由 Eu-
分析了非线性阻尼对参数激励压电梁
ler － Bernoulli 梁理论建立压电梁的有限元模型， 使用 LQＲ 控制模型对柔性梁上的压电陶瓷驱动器与传感器 进行优化配置。此外有学者对压电驱动元件的驱动性 能及局部应变机理进行了研究， 丁根芳等
借助 Ham-
ilton 原理建立了压电层合结构的有限元方程， 分析了 在三种边界条件下不同几何参数和载荷参数对梁驱动 和传感性能的影响； 杜立群等
［8 ］
提出了考虑粘贴层影
第 13 期
叶文强等： 电压激励的压电层合悬臂梁横向振动分析
199
得到了应变分布假设对 响的智能结构梁分布力模型， 压电驱动器驱动性能影响的规律； 吴义鹏等 的存在。 鉴于目前尚未有文献涉及由电压激励的双晶驱动 器的横向振动响应， 本文通过假设等截面对称层合悬 臂梁的振动位移函数， 运用能量法写出了该结构在电 场激励下的动力学振动方程， 然后进行了振动响应分 析， 与 ANSYS 软件仿真结果的对比， 说明了本文结论 的可行性与有效性， 在此基础上分析了阻尼比对振动 响应的影响及振动时系统最大应力的变化规律。 所得 结论对工程实际有一定的理论参考意义 。
Transverse vibration analysis of piezoelectric laminated cantilever beam subjected to voltage excitation YE Wenqiang，XUE Chunxia
（ College of science， North University of China，Taiyuan 030051 ，China）
下层压电层的压电方程为：
{
T E3 D3 = d31 T1 + ε33
∫∫∫（ S T
1 V1
1
+ D3 E 3 ） d x d y d z + D3 E 3 ） d x d y d z
S1 = s T1 + d31 E3
T E
E 11
E3 、 S1 、 T1 分别表示电位移、 电场强度、 长度方 式中；D3 、 d31 、 s11 分别表示压电介质的自由 向的应变与应力， ε33 、 介电常数、 压电应变常数和短路时的柔顺常数 。
振 第 33 卷第 13 期
动
与
冲
击 Vol． 33 No． 13 2014
JOUＲNAL OF VIBＲATION AND SHOCK

电压激励的压电层合悬臂梁横向振动分析
叶文强，薛春霞
（ 中北大学 理学院， 太原 030051 ）
式中： m ij = ρA l （ x） j （ x） dx 2 0 i
（5）
1
建立压电层叠悬臂梁的横向振动微分方程
本文研究的对象是基体材料上下表面均粘有压电
∫
层的等截面弹性悬臂梁（ 如图 1 所示） 。 基体材料 45# 钢的几何参数：长 l 宽 w 厚 h m ； 压电层几何参数： 压电 陶瓷长 l 宽 w 厚 h p ， 即压电层铺满钢梁表面。 梁的上 层压电片沿 z 轴正向垂直极化，下层压电片沿 z 轴反 向垂直极化。假设沿 z 轴负方向施加变化的激振电场 E3 ， 则由于压电效应压电层叠悬臂梁做横向强迫振动 。 上层压电层的压电方程
n
t） dx ) ∫ ( z（xt，
l 2 0
（4）
化简后得到动能： 将式（ 3 ） 代入到式（ 4 ） ， T（ t） =
· · ρA l ［ ∑ q i （ t） q j （ t） i （ x） j （ x） ］ dx = 2 0 ∑ i =1 j =1 n
∫
n
n · ·
∑ ∑ m ij q i （ t） q j （ t） i =1 j =1
E 11
－
2
d2 31 E2 3 dxdydz = E s11
2 2
) ]
c = － d31
( 2h 2+ h ) E Eh E+h2Ewh 是与压电材料和几何
p m m p m m m p p
1 2 2 3 E （3hm hp + 6hm hp + 4hp ） w 24 s11
（ x， t） ) dx + ∫ ( z x
［7 ］
的振动稳定性的影响。更多的学者是对压电驱动器的
基金项目： 国家自然科学基金资助项目（ 11202190 ） ；教育部留学回国人 员科研资助项目；山西省回国留学人员科研资助项目（ 2013 － 085 ） 收稿日期： 2013 － 07 － 16 修改稿收到日期：2013 － 09 － 24 1984 年 12 月生 第一作者 叶文强 男， 硕士生， 1973 年生 通信作者 薛春霞 女， 教授，