2-6对数与对数函数

高考总复习（广东专版）
第二章 函数与基本初等函数
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第二章 函数与基本初等函数
1．对数的概念及运算性质
(1)对数的概念
如果ab＝N(a>0，a≠1)，那么b叫做以a为底N的对数，
记
logaN＝b(a>0，a≠．1)
以10为底的对数叫做常用对数，记作 lgN .对无理数e
第二章 函数与基本初等函数
[解] 解法一：因为对数函数的底数越大，函数图象 越远离y轴的正半轴，所以C1，C2，C3，C4对应的a值依次 由大到小，即C1，C2，C3，C4的a值依次为
故选A.
解法二：作直线y＝1，与C1，C2，C3，C4交点的横坐 标，即为各对数底的值．
(4)对数换底公式
logaN＝
(N>0，a>0且a≠1，m>0且m≠1)
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2．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质
a>1
0<a<1
图象
性质
(1)定义域：(0，＋∞) (2)值域： R (3)过点(1,0) ，即 x＝1时，y＝0 (4)当x>1时， y>0 当0<x<1时，y<0 (5)是(0，＋∞)上的 增 函数
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(2)若lga＋lgb＝2lg(a－2b)，求log4之值． [分析] 本题主要考查对数的基础知识以及恒等变形 的能力．
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(2)设a＝ (lg16＋log525－lg )－lg0.2，b＝(lg2)2＋ lg2lg50＋lg25，求a－b.
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(2)∵lga＋lgb＝2lg(a－2b) ∴lgab＝lg(a－2b)2 ∴ab＝(a－2b)2，a2＋4b2－5ab＝0 (a－4b)(a－b)＝0 a＝4b或a＝b 又a－2b>0即a>2b∴a＝4b
[点评与警示] 解决含多个对数式的求值化简问题， 关键是熟练掌握对数的运算性质，不但要能正用、逆用这 些公式，还要会变式应用，创造条件去应用．
b＝(lg2)2＋lg2×lg(2×52)＋lg52 ＝2lg22＋2lg2×lg5＋2lg5 ＝2lg2(lg2＋lg5)＋2lg5＝2 ∴a－b＝0.
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比较大小，并说明理由：
(1)0.32，log20.3,20.3； (2)log49，log925，log55 . [分析] 由于两组数都不是同一个函数的函数值，难 以用一个函数单调性作出判断，应依据函数的性质，采用 间接比较的方法． [解] (1)由指数函数单调性可知20.3>20＝1；由对数函 数的单调性可知log20.3<log21＝0；而0.32＝0.09∈(0,1)． 综上可知log20.3<0.32<20.3.
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[点评与警示] ①函数的单调性揭示了自变量的大小 与函数值大小的相互转换关系；②当不能用一个函数的单 调性作出判断时，应通过引入第三个过渡量搭桥，进而求 解．
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[答案] C
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如下图所示，曲线C1，C2，C3，C4都是对数函数y
＝logax的图象，已知a取
四个值，则相应于
C1，C2，C3，C4的a的值依次为
()
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[解析] 由 log2 2＝log2212＝12log22＝12，易知 D 正确．
[答案] D
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Байду номын сангаас
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2．(2009·全国卷Ⅱ)设a＝lge，b＝(lge)2，c＝lg ， 则
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设a＝log0.70.8，b＝log1.10.9，c＝1.10.9，则 a、b、c的大小顺序是
()
A．a<b<c
B．b<c<a
C．b<a<c
D．c<b<a
[ 解 析 ] 因 为 0<a ＝ log0.70.8<log0.70.7 ＝ 1 ， b ＝ log1.10.9<log1.11＝0，c＝1.10.9>1.10＝1，所以选C.
(1)定义域：(0，＋∞) (2)值域： R (3)过点 (1,0) ，即x＝1时，y＝0 (4)当x>1时，y<0 当0<x<1时，y>0 (5)是(0，＋∞)上的减 函数
3. 指 数 函 数 y ＝ ax 与 对 数 函 数 y ＝ logax 互 为 反 函 数 (a>0且a≠1)其图象关于直线y＝x对称．
()
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．c＞a＞b
D．c＞b＞a
[解析] 本题考查对数函数的增减性，由1＞lge＞0，
知a＞b，又c＝ lge，作商比较知c＞b，选B.
[答案] B
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＝2.71828…为底的对数叫做自然对数，记作 lnN .
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(2)对数的性质
① 零与负数 没有对数；②loga1＝ 0；③logaa＝ 1 . (3)对数的运算法则
①logaMN＝ logaM＋logaN；②loga ＝ logaM－logaN； ③logaMn＝ n·logaM(n∈R) ．其中a>0，a≠1，M>0，N>0.