第一章 三角形的证明 综合题专题训练
三角形证明
【命题趋势】
常考的知识点包括：全等三角形的判定与性质、线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的三线合一的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、含30°的角的直角三角形的性质等，在中考时，灵活的掌握相应辅助线方法是解决问题的关键.在中考中将会加大对三角形有关证明的考察，而三角形全等是证明的基础.题型主要是以解答题的形式呈现，难度属于中等难度. 线段的和差是中考中常见的考试类型，能较好的考察学生的推理和证明能力，同时能把三角形全等有机的结合起来，因此在最近几年的重庆中考试题中时常出现.针对此类中考热点问题，本专题主要探讨此类问题的解决方法—取长补短法.
三角形证明（一）
【经典专题突破】
例1.如图，等边ABC △中，AO 是BAC ∠的角平分线，D 为AO 上一点，以CD 为一边
且在CD 下方作等边CDE △,连结BE . （1）求证：ACD BCE △≌△；
（2）延长BE 至Q , P 为BQ 上一点，连结CP 、QC 使5CP CQ ==, 若8BC =时，求PQ 的长.
例2.如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=o
，AC BC <，D 为AB 的中点，DE 交AC 于
点E ，DF 交BC 于点F ，且DE DF ⊥，过A 作AG ∥BC 交FD 的延长线于点G ． （1）求证：AG BF =；
（2）若9AE =，18BF =，求线段EF 的长．
第1题图
第2题图
例3：如图1，在Rt ABC
△中，90
ACB
∠=o，CD AB
⊥，作ABC
∠的平分线交AC、CD
于点E、F．
（1）求证：CE CF
=；
（2）如图2，过点F作FG∥AB交AC于点G，若10
AC=，4
EG=，求CE的长度．
【仿真题型演练】
1.如图，在等腰Rt ABC
△中，90
ACB
∠=o，AC CB
=，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD CE
=．连接DE、DF、EF．
（1）求证：DF=EF；
（2）试证明△DEF是等腰直角三角形．
2.已知等腰Rt ABC
△中，90
ACB
∠=o，AC BC
=，点G在BC上，连接AG，过C作CF⊥AG，垂足为点E，过点B作BF⊥CF于点F，点D是AB的中点，连接DE、
DF．
（1）若30
CAG
∠=o，EG=1，求BG的长；
（2）求证：∠AED=∠DFE
第3题图
E
D
C
B
A
第1题图
G
E
D
C
B
A
第2题图
3. 如图1，已知点D 为等腰直角ABC △内一点，90ACB ∠=o
，
15CAD CBD ∠=∠=o ，E 为AD 延长线上的一点，且CE CA =．
（1）求DCA ∠的大小；
（2）若点M 在DE 上，如图2，且DC DM =，求证：ME DB =.
4. 如图，在Rt ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=o
，,D E 为BC 上两点，
45DAE ∠=o ，F 为ABC △ 外一点，且FB BC ⊥，FA AE ⊥。
（1）证明：CE BF =； （2）证明：2
2
2
BD CE DE +=.
【一线名师预测】
1. 如图，在ABC △中，45ABC ∠=o
，CD AB ⊥，BE AC ⊥，垂足分别为,,D E F 为BC 中点，BE 与DF ，DC 分别交于点G ，H ，ABE CBE ∠=∠． （1）证明：BH CA =； （2）证明：2
2
2
BG GE EA -=．
第3题图
第4题图
第1题图
2．如图，分别以ABC △的边AB ，AC 向外作等边三角形ABD 和等边三角形
ACE ，线段BE 与CD 相交于点O ，连接AO ．
（1）求BOD ∠的度数； （2）求证：AO 平分DOE ∠．
三角形证明（二）
【经典专题突破】
例1．如图，Rt ACB △中，90ACB ∠=o
，ABC △的角平分线AD 、BE 相交于点P ，
过P 作PF AD ⊥交BC 的延长线于点F ，交AC 于点H . （1）求APB ∠的度数； （2）证明：AH BD AB +=.
例2. 如图，等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=o
，D 、E 分别为AB 、AC 边
上的点，AD AE =，AF BE ⊥交BC 于点F ，过点F 作FG CD ⊥交BE 的延长线于点G ，交AC 于点M ． （1）证明：EGM △为等腰三角形； （2）证明：BG AF FG =+.
第2题图
第1题图
第2题图
例3.如图，ABC △中，AC BC =，90ACB ∠=o
，点D 在AC 上，点E 在BC 延长
线上，CD =CE ，BD 的延长线交AE 于点F ，连CF . （1）证明：AE BD =； （2）证明：2EF FD FC +=.
【仿真题型演练】
1.在四边形ABCD 中，AC AB =，DC DB =，60CAB ∠=o
，120CDB ∠=o
，E 是
AC 上一点，F 是AB 延长线上一点，且CE BF =．
（1）证明：DE DF =；
（2）在图中，若G 在AB 上且60EDG ∠=o
，
证明：CE BG EG +=.
2. 如图，D 是等边ABC △的边AB 上一点，E 是BC 延长线上一点，CE DA =，连接DE 交AC 于F ，过D 点作于DG AC ⊥于G 点. （1）证明：1
2
AG AD =
； （2）证明：GF FC AG =+.
第3题图
第1题图
第2题图
3. 如图，等边ABC △中，点E 、F 分别是AB 、AC 的中点，P 为BC 上一点，
连接EP ，作等边EPQ △，连接FQ ，EF ．
（1）若等边ABC △的边长为20，且BPE ∠=45°，求等边EPQ △的边长； （2）证明：BP EF FQ =+．
4. 如图，Rt ABC △中，90E ACB ∠=o
，ABC ∠的角平分线BE 和BAC ∠的外角平分线AD 相交
于点P ，分别交AC 和BC 的延长线于E ，D ．过P 作PF AD ⊥交AC 的延长线于点H ，交BC 的延长线于点F ，连接AF 交DH 于点G ． （1）证明：45APB ∠=o
； （2）证明：BD AH AB -=；
第3题图
第4题图
【一线名师预测】
1.如图，在Rt ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=o
，ABE EBC ∠=∠，CE BD ⊥的延长线于E .
（1）证明：2BD CE =;
（2）若3AB =，1AD =，求BE 的长度.
2. 如图，已知90ACD ∠=o
，MN 是过点A 的直线，AC DC =，DB MN ⊥于点B ．
（1）证明：2BD AB CB +=;
（2）当30BCD ∠=o ，2BD =时，求BC 的长度.
第1题图
N
M
C
B
A
第2题图