人教版初一数学下册平面直角坐标系中求三角形的面积

A (4, 1)，

B (4, 5)，C

在直角坐标系中求图形的面积

图形的面积可以利用相应的面积公式求得， 但是在平面直角坐标系内的求面 积问

题，往往不直接给出边或高之类的条件， 而是给出一些点的坐标。我们常常 会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积和一些不规则图形面积的问题，

解题时

我们要注意其中的解题方法和解题技巧。现对这类题目的解法举例说明如下：

、有一边在坐标轴上

例1如图1,平面直角坐标系中，△ ABC 的顶点坐标分别为(一3, 0) , (0, 3),( 0,- 1),你能求出三角形ABC 的面积吗？

分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出， △ ABC 的边BC 在y 轴上，由图形 可得BC = 4,点A 到BC 边的距离就是A 点到y 轴的距离，也就是A 点横坐标的 绝对值3,然后根据三角形的面积公式求解.

解：因为 B(0,3),C(0,-1), 所以 BC=3- (-1 ) =4.因为 A(-3,0),所以 A 点到 y

轴的距离，即BC 边上的高为3, w 1_ 1

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VI I- Dt-一 一

一

一 1 --- n — J -

- k

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L - r

— k

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Lr l r — Li

■r —fT-t;:-*-! 111 IJ 、有一边与坐标轴平行

图2

分析：由A (4, 1), B (4, 5)两点的横坐标相同，可知边 AB 与y 轴平行， 因而

AB 的长度易求•作AB 边上的高CD 则D 点的横坐标与A 点的横坐标相同， 也是4,这样就可求得线段CD 的长，进而可求得三角形 ABC 的面积.

解：因为A ，B 两点的横坐标相同，所以边 AB// y 轴，所以AB=5-仁4.作AB

7

- x4x5 - 10 边上的高CD 则D 点的横坐标为4,所以CD=4<-1 )=5,所以

< .

三、三边均不与坐标轴平行 例3 如图2,平面直角坐标系中，已知点 A (-3 , -1 ), B (1, 3), C (2, -3 )，你能

求出三角形ABC 的面积吗？

分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高， 因此得另想办法•根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形围在一个梯形或长 方形中，这个梯形(长方形)的上下底(长)与其中一坐标轴平行，高(宽)与 另一坐标轴平行.这样，梯形(长方形)的面积容易求出，再减去围在梯形(长 方形)内边缘部分的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积 •

解：如图，过点A 、C 分别作平行于y 轴的直线，与过点B 平行于x 轴的直 线交于点

D E,则四边形ADEC 为梯形.因为A (-3 , -1 ), B (1, 3), C (2,

-3 )，所以 AD= 4, CE=6 DB=4 BE=1, DE= 5.所以'观C =5 ( AD+CE ^D E J AD £ | ]_ £ X DB< CEX BE= X(4+6)X 5— 一 X 4X 4—X _ 6X 1=

14.