chapter7-5 有阻尼的波动问题

三种阻尼振动比较
x
欠阻尼 过阻尼 临界阻尼
o
t
在临界阻尼条件下， 在临界阻尼条件下，振动系统回到平 衡位置用时最短。 衡位置用时最短。
作业
• 7－11
∑e
n =1
∞
−γ t
2 l nπξ 2 l nπξ Bn = An = ∫ ϕ (ξ ) sin dξ ∫0 [ψ (ξ ) + λϕ (ξ )]sin l dξ ωnl l 0 l 2 4h l 2 nπξ γ An = ( − 2 )∫ (ξ − lξ ) sin dξ Bn = An 0 l l l ωn 8h l 2 nπξ dξ = − 3 ∫ (ξ − lξ ) sin 0 l l 16h = − 3 3 (cos nπ − 1) nπ
例1
2 utt + 2γut − a u xx = 0 (0 < x < l ; t > 0) u x = 0 = 0; u x = l = 0 4h l u t = 0 = − 2 ( x − )2 + h; ut t = 0 = 0 l 2
有阻尼！
通解： 通解： u( x , t ) =
nπ ( An cos ω n t + Bn sin ω n t ) sin( x) l
阻尼振动方程
d2x dx + 2β + ω02 x = 0 dt 2 dt
方程的解: 方程的解:
x
I.欠阻尼振动 欠阻尼振动（ 0 − β t I.欠阻尼振动（β＜ω0）
A e
x=e
−β t
( ALeabharlann Baidue
2 β 2 −ω 0
nπξ Bn = ∫0 [ψ (ξ ) + γ ϕ (ξ )]sin l dξ ωnl 2
l
例1
2 utt − a u xx = 0 (0 < x < l ; t > 0) u x = 0 = 0; u x = l = 0 4h l u t = 0 = − 2 ( x − ) 2 + h; ut t = 0 = 0 l 2
nπ ( An cos ω n t + Bn sin ω n t ) sin( x) l
利用初始条件
+∞ nπx ∑ An sin l = ϕ ( x ) n =1 +∞ ∑ ( −γ An + Bnω n ) sin nπx = ψ ( x ) n=1 l
可得：
2 l nπξ An = ∫ ϕ (ξ ) sin dξ 0 l l
有阻尼的弦的振动
k T 2 ;a = ) utt + 2γut − a uxx = 0 (0 < x < l; t > 0)(γ = 2ρ ρ u x =0 = 0; u x = l = 0 u t =0 = ϕ ( x ); ut t =0 = φ ( x ) 有阻尼的自 由波动方程 或阻尼波动 方程
+ A2e
2 − β 2 −ω 0
)
II.临界阻尼（ II.临界阻尼（β＝ω0）： 临界阻尼
x = ( A + Bt ) e − β t
o
III.过阻尼（β > ω0 ）： III.过阻尼（ 过阻尼 t
x = A1 e
λ1t
+ A2e
λ2t
λ1 = − β + β 2 − ω02 , λ2 = − β − β 2 − ω02
T(t)：
2
本征值问 题
T ′′(t ) + 2γT ′(t ) + a λT (t ) = 0
第二步：求本征值 以及 T(t)的表达式
和本征函数 X(x)，
2
本征值和 本征函数
nπ λn = , l nπ X n ( x ) = sin x, l n = 1, 2, 3, L
物理解释： 一根长为 l 的弦，两端固定，给定初始位 移和速度，在小阻尼时的振动
采用分离变量法求解
• 求解的基本步骤 第一步：求满足齐次方程和齐次边界条件的 变量分离形式的解
u ( x, t ) = X ( x)T (t )
X ′′( x) + λ X ( x) = 0 X(x)： X (0) = X (l ) = 0
∞
无阻尼！
nπat nπat nπ u t + Bn sin t ) sin( x) 通解： 通解： ( x , t ) = ∑ ( An cos l l l n =1 2 l nπξ 2 l nπξ An = ∫ ϕ (ξ ) sin dξ Bn = ∫0 ψ (ξ ) sin l dξ nπa l 0 l 2 4h l 2 nπξ An = ( − 2 )∫ (ξ − lξ ) sin dξ Bn = 0 0 l l l 8h l 2 nπξ dξ = − 3 ∫ (ξ − lξ ) sin 0 l l 16h = − 3 3 (cos nπ − 1) nπ
Tn ( t ) = e − γ t ( An cos ω n t + Bn sin ω n t ) (ω n = ( nπa / l ) 2 − γ 2 ) n = 1,2,3,...
T(t)的表达式 的表达式
第三步：利用初始条件求得定解问题的解
u( x , t ) = ∑ e
n =1
∞
−γ t