工程力学——直梁的弯曲

对称平面内的内力偶 M 与之保持平衡。由平衡方程
Fy =0 F-FQ =0
可求得
FQ=F
由平衡方程 MO (F)=0 M-Fx=0
还可求得
M=Fx
第10章 直梁的弯曲
以上在截面 m-m 上求得的作用线平行于横截面的内 力称为剪力，用符号 FQ 表示；作用面垂直于横截面的内 力偶的力偶矩称为弯矩，用符号 M 表示。
第10章 直梁的弯曲
图10.6
第10章 直梁的弯曲
除上述的方法之外，我们还可直接根据外力与外 力矩的代数和来计算横截面上的剪力与弯矩，此时，对 外力与外力矩的正、负号和确定应遵循下述规则：
1) 计算剪力时 (1) 取左段梁为研究对象时，向上的外力取正号； 向下的外力取负号。 (2) 取右段梁为研究对象时，向下的外力取正号； 向上的外力取负号。 2) 计算弯矩时 取左段梁为研究对象时，对截面形心产生顺时针 转动效应的外力矩(包括力偶矩)取正；反之取负号。
图10.4
第10章 直梁的弯曲
3. 载荷的简化 通常作用于梁上载荷和支座的约束力均可简化为以下3 种类型：集中力、集中力偶和均布载荷。 当力的作用范围远远小于梁的长度时，可以将力简化为 集中力，如图10.1中的F，图10.2中的F1，F2，F3等；通过 微小段梁作用在梁的纵向对称平面内的力偶可简化为集中 力偶。如图10.3中的M。均布载荷指沿梁的长度或部分长 度连接均匀分布的载荷称为均布载荷。分布于梁单位长度 上的均布载荷量，称为载荷集度，通常用q来表示，其国 际单位为N/m或kN/m。 支座约束力可以通过静力平衡方程求得的梁称为静定梁， 支座约束力不能完全由静力平衡方程求得的梁称为静不定 梁。
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的左段为研究对象，由于整个梁是平衡的，所以左段梁也应是
平衡的。左段梁受向上的集中力 F 的作用，要使左段梁平衡，
在 m-m 截面上必定有一个作用线与外力 F 平行等值反向的内
力 FQ 存在。同时，集中力 F 对截面形心 O 的矩，使左段梁有 顺时针转动的趋势，因而 m-m 截面上必定有一个在梁的纵向
代数和，即 M= Mo (Fi) 。
第10章 直梁的弯曲
二、剪力FQ与弯矩M的正负号规定 通过上面的讨论，为了使取左段梁或右段梁求得 的同一截面的剪力FQ和弯矩M的结果不仅数值相等，而 且符号一致，所以对剪力和弯矩的正负号作如下规定： 对于所切梁的横截面的微变形，若使之发生左侧 截面向上、右侧截面向下的相对错动，则剪力为正，反 之为负，如图10.6(a)、(b)所示；若使弯曲变形呈上凹下 凸，则弯矩为正，反之为负，如图10.6(c)、(d)所示。
第10章 直梁的弯曲
第10章 直梁的弯曲
10.1 平面弯曲的概念 10.2 梁弯曲时横截面上的内力 10.3 剪力图和弯矩图 10.4 纯弯曲时横截面上的应力 10.5 梁弯曲时的强度计算 10.6 提高梁抗弯强度的措施 10.7 梁的弯曲变形概述
第10章 直梁的弯曲
10.1 平面弯曲的概念
图10.1
第10章 直梁的弯曲
10.2 梁弯曲时横截面上的内力
一、用截面法求梁的内力 如图10.5(a)所示为一悬 臂梁AB，其自由端A处作用 集中力F，由静力平衡方程可 求出其固定端约束力FB=F， 约束力偶矩MB=Fl，如图 10.5(b)所示。
图10.5
第10章 直梁的弯曲
如图 10.5(c)所示，假想将梁在 m-m 截面处截开，保留它
直梁平面弯曲受力的特点是 外力作用于梁的纵向对称平面内； 其变形特点是梁的轴线在纵向对 称平面内弯成一条曲线。
图10.3
第10章 直梁的弯曲
10.1.2 梁的计算简化
1. 梁的简化 上面提到的桥式吊车和油道托管都是以弯曲变形为主的梁， 为了便于研究问题，简化问题，在实际运用中，不论梁的 外形尺寸如何，都以实际中梁的轴线来代替梁，如图 10.1(b)、10.2(b)所示。
图10.2
当轴线所在平面内直杆受力偶作用或受垂直于轴线的
外力(简称横向力)作用时，直杆的轴线将由原来的直线变
成曲线，这种变形称为弯曲变形。
第10章 直梁的弯曲
10.1.1 平面弯曲的概念
如果作用在梁上的所有横向力或力偶都在梁的纵向对称 平面内，那么梁变形后，它的轴线将在其纵向对称面内弯 成一条平面曲线，梁的这种变形称为平面弯曲。
如果取右段梁作为研究对象，如图 10.5(d)所示，按作 用力与反作用力的关系，所得 m-m 截面上的剪力 FQ、弯 矩 M，必定与左段梁求得的结果的大小相等，方向相反。
式(a)和(b)表明，梁任一截面上的剪力和弯矩大小：剪
力大小等于所研究部分所有外力的代数和，即 FQ= Fyi 。
弯矩大小等于所研究部分所有外力对所求截面形心之矩的
2. 梁的基本形式 根据支座对梁的约束特性，通常可简化为固定铰链支座、 活动铰链支座和固定端3种形式，由此也可以将梁简化为以 下3种形式：
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1)简支梁 梁的两端均用铰链支座约束，在大多情况下一端为固 定铰链支座，另一端为活动铰链支座，这种约束形式的梁 可简化为简支梁。如图10.4(a)所示。 2) 外伸梁 简支梁的一端(或两端)伸出支座之外，可简化为外伸梁。 如图10.4(b)所示。 3) 悬臂梁 梁的一端为固定端约束，另一端为自由端约束，如图 10.2所示的油道托架，这种梁可简化为悬臂梁，如图 10.4(c)所示。
第10章 直梁的弯曲
例10-1 外伸梁DB的受力如图10.7所示，其中均布 载荷集度为q，集中力偶MC=5qa2。图中2-2和3-3截面从 左右两侧无限靠近A点，即Δ→0；同样4-4与5-5截面从左 右两侧无限靠近C点。试求梁各指定截面的剪力和弯矩。
图10.7
第10章 直梁的弯曲
解：(1) 求梁支座的约束力
取整个梁为研究对象，根据受力图，列平衡方程求解
第10章 直梁的弯曲
取右段梁为研究对象时，对截面形心产生逆时针转动 效应的外力矩(包括力偶矩)取正；反之取负号。
正负规定，简要归纳如表10-1所示。
表10-1 表示各种力方向的正负规定
外力 左上右下(+) 左下右上(-)
剪力
FQ (+) FQ (-)
外力矩 左顺右逆(+) 左逆右顺(-)
弯矩
M(+) M(-)