二次根式及勾股定理总复习课件

四种运算
加 、减、乘、除
最简二次根式
• 满足下列两个条件的二次根式，叫做最 简二次根式： • (1)被开方数的因数是整数，因式是 整式； • (2)被开方数中不含能开得尽方的因 数或因式．
▲
同类二次根式
• 化成最简二次根式后，被开方数相同。 这样的二次根式叫做同类二次根式. 一个 二次根式不能叫同类二次根式，至少两 个二次根式才有可能称为同类二次根式。 要判断几个根式是不是同类二次根式， 须先化简，把非最简二次根式化成最简 二次根式，然后判断。 ▲ 例如：2√2和√2
1 x 5 3 x
解： x
3- x 0
5 0
①
②
说明：二次根式被开方数 不小于0，所以求二次根 式中字母的取值范围常转 化为不等式（组）
解得
- 5≤x＜3
题型2:二次根式的非负性的应用.
4.已知：
x4 +
2x y
=0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 解得
x-4=0 且 2x+y=0 x=4,y=-8
二次根式的概念
１．二次根式的定义： 形如 a（a 0）的式子 叫做二次根式
２．二次根式的识别： （１）．被开方数
a0
▲
（２）．根指数是２
例．下列各式中那些是二次根式？ 那些不是？为什么？
①
15
a b
2
2
②
3a
a2 1
③
x 100
④
2
⑤
⑥
144
⑦
a 2a 1
⑧ 3
5
二次根式的性质
（2）如图所示，AD⊥DC于D， BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
D P C
2 ①则AD=____
1 BC=____
拓展2
已知△ABP的一边AB=
10，
A
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使 三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D， BC⊥CD于C，
1 BC=____
拓展2
已知△ABP的一边AB=
10，
A
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使 三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D， BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
DP C
2 ①则AD=____
1 BC=____
拓展2
已知△ABP的一边AB=
(3) (3 2 2 )
1999
(3 2 2 )
2000
(4) (2 3 3 2 6 )(3 2 2 3 6 )
(5) (3 3 98 )( 27 7 2 )
- p p 4q - p p 4q (6) ( )( ) 2 2
2 2
1 2 2 1 (7 ) ( x ) ( x xy ) y y y
例4、计算或化简： x - 4y (1) x 2 y
(2) ( x y y x ) xy
3 3 6 (5 5 )( 3 3) (3) (4) (1 5 )( 3 1) 2 2 6
5 7 (6) 10 14 15 21 (7)
6 4 3 3 2 ( 6 3)( 3 2)
一、字母取值范围：
例1、求下列二次根式中字母的取值范围： (1) - x (2) ( x 3)
2
(3) 3x 3x x 1 (6) 3 x
2
y 变式1、 已知y 2 x x 2 5，则 __ x
变式2、 如果 (1 x) ( x 2) ( x 1) ( x 2)，
2 2 2 2 , 3 3

3 3 3 3 8 8

4 4 4 4 , 15 15

5 5 5 5 24 24
（2）你判断完以上各题之后，能猜想这类式子具有什么 规律？
（3）试用数学知识说明你所提出的猜想是正确的吗？
设a、b为实数,且|2 -a|+ √ b-2 =0
若点P为线段CD上动点。
B
D P C
2 ①则AD=____
1 BC=____
拓展2
已知△ABP的一边AB=
10，
A
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使 三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D， BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
D P C
2 ①则AD=____
拓展1
a 2， b 2 （1）求a -2 2a+2+b 的值.
2 2
解： 1 2 a 0, b 2 0
2 a 0 ， b2 0 a 2， b 2
2 2
而 2 a b2 0
原式 (a 2) b ( 2 2)2 22
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12 5.(2005.湖北黄冈市)已知x,y为实数,且
2 =0,则x-y的值为( +3(y-2) x 1
D )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
抢答:判断下列二次根式是否是最简二次根式, 并说明理由。
(1) 50
(2) a bc
2 2
2
(3) x y
2
1 (4) 0.75 (5) (a b)(a b ) (6) 6 2 满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式
(6) (a 2) 2 a成立的条件是_____；
2
当x _____ 时， ( x 5) x ( x 5) x .
2
(7)区别： 1 3 1 计算： ① 3 1 ( 0.5 12 4 ) 3 4 8 1 3 1 ② 3 1 0.5 12 4 3 4 8
④ PA+PB是否存在一个最小值？
y y 1、在根式 6 、 x 1 、 xy 、 0.5 、 、 2 2
2 5
x y 、 8ab 中， 最简二次根式有______
2 2
2、下列各组二次根式中，是同类二次根式的一组是( (A) 3ab 和 3ab c 3 3 4 2 4 3 (C) ab 和 ab 2 3
变式6、化简： 21 12 3
三、运用乘法公式或因式分解巧算：
乘法公式： (a b)( a b) a b
2 2 2
2 2
(a b) a 2ab b 例3、计算或化简：
(1) 19 2 19 20 20
2
2
(2) (1 3 )(1 2 )(1 3 )(1 2 )
试一试:一个台阶如图，阶梯每一层高 15cm，宽25cm，长60cm.一只蚂蚁从A点 B 爬到B点最短路程是多少？
解：
60 15 25 15 A 60 60 B 25 15 A 15 25 25
60
AB 60 80
2
2
10000
100
探索性练习：
（1）判断下列各式是否成立？你认为成立的，请在括号里 打 “√”，不成立的，请在括号里打 “×”
1 例1、已知a ， 32 a 1 a 2a 1 求 的值 . 2 a 1 a a 3 2 3 2 例2：已知x ，y , 3 2 3 2 2 2 求3x 5 xy 3 y 的值.
2 2
四、化简求值题：
1 例3、已知x ， 3 2 求x (2 2 1) x ( 2 1) x
龙文教育：谭前富
知识结构
三个概念
二次根式
最简二次根式
同类二次根式
1、 ab a b a 0, b 0
二 次 根 式
两个公式
a 2、 b
(
a (a 0, b 0) b a 0 （ａ 0）
a )2 a
,a 0 a 2 a {a a ,a 0
三个性质
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式 （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
例1：把下列各式化成最简二次根式
(1) 54
1 1 2
(2)
4a 2 16a 2
y x
(a≥0)
例2：把下列各式化成最简二次根式
(1 ) 4 (2)x
2
(x>0)
化简二次根式的方法：
（1）如果被开方数是整数或整式时，先因数分解或因 式分解,然后利用积的算术平方根的性质,将式子化简。 （2）如果被开方数是分数或分式时,先利用商的算术平 方根的性质,将其变为二次根式相除的形式,然后利用分 母有理化,将式子化简。
2
x 1 (4) (5) x 3 2 x
则x的取值范围是_______.
x 4 4 x 1 变式3、 已知x，y为实数， y ， x2 则3x 4 y的值等于_______.
Fra Baidu bibliotek2 2
1 变式4、 化简：x ______. x
1 1 2 2 变式5、计算 : ( x y ) x 2 xy y yx 3
10，
A
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使 三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D， BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
D P C
2 ①则AD=____
1 BC=____
拓展2
已知△ABP的一边AB=
10，
A
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使 三角形的三边为 5， 5， 10，
9x 变式6、若x 0，把 化成最简二次根式为____. y
二、非负数性质、因式分解及配方法：
2
例2、已知 a 1 3 b (2c 1) 0，则abc _
变式1、 已知 x y 3与 x y 3互为相反数， 求xy的值. 2 2 3 变式2、 已知 x y 6 x 4 y 13 0，求x y
2 2
27b 9ab (B) 和 4a 8 b 2a (D) 和 2a b
3、填空： (1) 若 x y 是最简二次根式，则m
(2) 若最二次根式
m2
m
n
n
__
a 8与 2a 10
是同二次根式，m ____ ，a ____ .
(3) 2 3的倒数是_________.
1 1 (4) 15 ________ . 2 3 (5) 式子1 b a 的有理化因式是_____
2 2 2
2 2
2 2） 1 1

1 4 2
7 2
14 2
∴三角形的面积为 1 2 14
2
2
7 2
拓展2
已知△ABP的一边AB=
10，
A
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使 三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D， BC⊥CD于C，
4
设a、b为实数,且|2 -a|+ √ b-2 =0
拓展1
a 2， b 2 （1）求a -2 2a+2+b 的值.
2 2
(2)若满足上式的a,b为等腰三角形的两边,求这 个等腰三角形的面积. 解:若a为腰,b为底,此时底边上的高为 （ 1 2 1 1 ∴三角形的面积为 2 若a为底,b为腰,此时底边上的高为
（1）．
（2）． （3）．
a 0 （ａ 0）
( a) a
2
a a {
2
a ,a 0 a ,a 0
题型1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
1. 当 X ≤3 _____时，
3 x
有意义。
2.(2005.青岛)
a 4 + 4 a 有意义的条件是 a=4
3.求下列二次根式中字母的取值范围
的平方根. 2 2 变式3、 已知a、b是实数，且a 4a b 2b 5 0，
求 (1 ab) 的值.
2
变式 2 2 4、 化简 ：4x 12 x 9 4 x 20 x 25 5 (x ) 2 变式
2
5、已知：x y 2 y 2 x 2 0， 求x、y的值.
若点P为线段CD上动点。
B
D P C
2 ①则AD=____
1 BC=____
拓展3
已知△ABP的一边AB= 10 ， （1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使 三角形的三边为 5， 5， 10， （2）如图所示，AD⊥DC于D， A BC⊥CD于C， 若点P为线段CD上动点。 B 1 2 ①则AD=____ BC=____ ② 设DP=a,请用含a的代数式表 P C D 2 示AP，BP。则AP=__________ a 4 ， 2 BP=__________ (3 a) 1 。 1 13 ③ 当a=1 时，则PA+PB=______, 2 5 当a=3,则PA+PB=______