组合数学浅析

组合数学浅谈
班级： 07数学
姓名：左志强
学号： 20075203
组合数学是一门既古老又年轻的数学分支。

我国古人在《河图》《洛书》中便已经对一些有趣的组合问题给出了正确的解答。

中国最早的组合数学理论可追溯到宋朝时期的“贾宪三角”, 后来被杨辉引用, 所以普遍称之为“杨辉三角”, 这在西方是1654年由帕斯卡提出，但比中国晚了400多年。

近代，由于计算机的出现，组合数学这门学科得以迅猛发展，成为了一个重要的数学分支。

近代图论的历史可追溯到18世纪的七桥问题—穿过Königs berg城的七座桥，要求每座桥通过一次且仅通过一次。

Euler1736年证明了不可能存在这样的路线。

组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其他的学科中也有重要的应用，如在计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。

如果说微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础，那么组合数学的发展则是奠定了21世纪计算机革命的基础。

组合数学问题在生活中非常常见。

例如，求n个球队参加比赛，每队只和其他队比赛一次的总比赛场数。

例如，在纸上画一个网络，用铅笔沿着网络的线路揍，在笔不离开纸面而且不重复线路的条件下，一笔画出网络图。

又例如这样一个简单的组合数学问题：一个船夫要把一只狼，一只羊和一棵白菜运过河。

而当人不在场时，狼要吃羊，羊要吃白菜，而他的船每趟只能运其中的一个，问人怎样才能把三者都运过河。

我国著名数学家吴文俊院士指出，每个时代都有它特殊的要求，使得数学出现一个新的面貌，产生一些新的数学分支，组合数学这个新的分支也是在时代的要求下产生的。

组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。

现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散对象的组合数学。

计算机程序是计算机的大脑思维，而程序的本质就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数值计算。

组合数学的产生恰好满足了编写计算机程序的需求。

由于计算机软件的促进和需求，组合数学已成为一门既广博又深奥的学科，需要很深的数学素养，逐渐成为了数学的主流分支。

本世纪公认的伟大数学家盖尔芳德预言组合数学和几何学将是下一世纪数学研究的前沿阵地。

这一观点得到了世界各界的广泛认可。

甚至可以说，没有组合数学就没有计算机软件。

世界上著名的计算机科学家很多都是组合数学出身。

在欧洲，美国，组合数学的研究被很多大公司，大学所重视，而在中国，在中国的软件业还十分落后的今天，我们对组合数学的重视程度远远不够。

Gian-Carlo Rota教授曾提出要向中国领导人呼吁，组合数学是计算机软件产业的基础，中国最终一定能成为一个软件大国，但是要实现这个目标的一个突破点就是发展组合数学。

新加坡，韩国，马来西亚也在积极推动组合数学的研究和人才培养。

台湾的数学研究中心也正在考虑把组合数学作为重点方向来发展。

组合数学涉及将一个集合的物体排列成满足一些指定规则的格式。

以下两种问题反复出现：排列的存在性，排列的计数和分类。

虽然对任何组合数学问题都可以考虑其存在性和计数问题，但在实际问题中如果存在性问题需要广泛的研
究那么计数问题则是非常困难的。

与上述问题同时出现的另外两种组合数学问题是：研究一个已知的数列。

当人们建立起满足某些指定条件的一个排列以后，可能要考察这个排列的性质和结构。

这样的可能会涉及分类问题，也许还涉及一些分类问题，也许还涉及一些潜在的应用。

另外一个问题是构造一个最优的排列。

如果有可能存在多于一个的排列，即找出某种规定意义下的“最好的”或“最优的”排列。

组合数学可以一般描述为：组合数学是研究离散结构的存在，计数，分析，和优化等问题的一门学科。

经验证发现的组合数学最有力的工具之一为数学归纳法。

归纳是一个强有力的过程，在组合数学中尤其是如此。

用数学归纳法证明一个结果常常比证明一个弱结果更容易。

许多组合问题的解决常常需要某些特别的例证，而且有时需要结合使用一般的理论。

我们必须学会建立数学模型，研究模型，抓住问题的要害，灵活的应用智慧来解决问题。

作为数学专业的学生，我们必须把组合数学的学习放在一个重要的位置上来，掌握基本的组合数学原理，培养专业的数学思维，这样才能在以后的工作学习中掌握主动和先机。

才能在将来为中国的计算机软件事业做出自己的贡献。

有人认为广义的组合数学就是离散数学，也有人认为离散数学是狭义的组合数学和图论、代数结构、数理逻辑等的总称。

但这只是不同学者在叫法上的区别。

总之，组合数学是一门研究离散对象的科学。

随着计算机科学的日益发展，组合数学的重要性也日渐凸显，因为计算机科学的核心内容是使用算法处理离散数据。

狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态（也称组合模型）的存在、计数以及构造等方面的问题。

组合数学的主要内容有组合计数、组合设计、组合矩阵、组合优化等。

1.组合数学概述
组合数学，又称为离散数学，但有时人们也把组合数学和图论加在一起算成是离散数学。

组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。

计算机科学就是算法的科学，而计算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心，而研究离散对象的科学恰恰就是组合数学。

组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。

现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散对象的组合数学。

组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。

微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础。

而组合数学的发展则是奠定了本世纪的计算机革命的基础。

计算机之所以可以被称为电脑，就是因为计算机被人编写了程序，而程序就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数值计算。

正是因为有了组合算法才使人感到，计算机好像是有思维的。

组合数学不仅在软件技术中有重要的应用价值，在企业管理，交通规划，战争指挥，金融分析等领域都有重要的应用。

在美国有一家用组合数学命名的公司，他们用组合数学的方法来提高企业管理的效益，这家公司办得非常成功。

此外，试验设计也是具有很大应用价值的学科，它的数学原理就是组合设计。

用组合设计的方法解决工业界中的试验设计问题，在美国已有专门的公司开发这方面的软件。

最近，德国一位著名组合数学家利用组合数学方法研究药物结构，为制药公司节省了大量的费用，引起了制药业的关注。

在1997年11月的南开大学组合数学研究中心成立大会上，吴文俊院士指出，每个时代都有它特殊的要求，使得数学出现一个新的面貌，产生一些新的数学分支，组合数学这个新的分支也是在时代的要求下产生的。

最近，吴文俊院士又指出，信息技术很可能会给数学本身带来一场根本性的变革，而组合数学则将显示出它的重要作用。

杨乐院士也指出组合数学无论在应用上和理论上都具有越来越重要的位置，它今后的发展是很有生命力，很有前途的，中国应该倡导这个方面的研究工作。

万哲先院士甚至举例说明了华罗庚，许宝禄，吴文俊等中国老一辈的数学家不仅重视组合数学，同时还对组合数学中的一些基本问题作了重大贡献。

迫于中国组合数学发展自身的需要，以及中国信息产业发展的需要，在中国发展组合数学已经迫在眉睫，刻不容缓。

2.组合数学与计算机软件
随着计算机网络的发展，计算机的使用已经影响到了人们的工作，生活，学习，社会活动以及商业活动，而计算机的应用根本上是通过软件来实现的。

在美国有一种说法，将来一个国家的经济实力可以直接从软件产业反映出来。

我国在软件上的落后，要说出根本的原因可能并不是很简单的事，除了技术和科学上的原因外，可能还跟我们的文化，管理水平，教育水平，思想素质等诸多因素有关。

除去这些人文因素以外，一个最根本的原因就是我国的信息技术的数学基础十分薄弱，这个问题不解决，我们就难成为软件强国。

然而问题决不是这么简单，信息技术的发展已经涉及到了很深的数学知识，而数学本身也已经发展到了很深、很广的程度并不是单凭几个聪明的头脑去想想就行了，而更重要的是需要集体的合作和力量，就象软件的开发需要多方面的人员的合作。

美国的软件之所以能领先，其关键就在于在数学基础上他们有很强的实力，有很多杰出的人才。

一般人可能会认为数学是一门纯粹的基础科学，1+1的解决可能不会有任何实际的意义。

如果真是这样，一门纯粹学科的发展落后几年，甚至十年，关系也不大。

然而中国的软件产业的发展已向数学基础提出了急切的需求：网络算法和分析，信息压缩，网络安全，编码技术，系统软件，并行算法，数学机械化和计算机推理，等等。

此外，与实际应用有关的还有许多需要数学基础的算法，如运筹规划，金融工程，计算机辅助设计等。

如果我们的软件产业还是把眼光一直盯在应用软件和第二次开发，那么我们在应用软件这个领域也会让国外的企业抢去很大的市场。

如果我们现在在信息技术的数学基础上，大力支持和投入，那将是亡羊补牢，犹未为晚；只要我们能抢回信息技术的数学基地，那么我们还有可能在软件产业的竞争中，扭转局面，甚至反败为胜。

吴文俊院士开创和领导的数学机械化研究，为中国在信息技术领域占领了一个重要的阵地，有了雄厚的数学基础，自然就有了软件开发的竞争力。

这样的阵地多几个，我们的软件产业就会产生新的局面。

值得注意的是，印度有很好的统计和组合数学基础，这可能也是印度的软件产业近几年有很大发展的原因。

3. 组合数学在国外的状况纵观全世界软件产业的情况，易见一个奇特的现象：美国处于绝对的垄断地位。

造成这种现象的一个根本的原因就是计算机科学在美国的飞速发展。

当今计算机科学界的最权威人士很多都是研究组合数学出身的。

美国最重要的计算机科学系都有第一流的组合数学家。

计算机科学通过对软件产业的促进，带来了巨大的效益，这已是不争之事实。

组合数学在国外早已成为十分重要的学科，甚至可以说是计算机科学的基础。

一些大公司，如IBM都有全世界最强的组合研究中心。

Microsoft 的Bill Gates近来也在提倡和支持计算机科学的基础研究。

例如，Bell实验室的有关线
性规划算法的实现，以及有关计算机网络的算法，由于有明显的商业价值，显然是没有对外公开的。

美国已经有一种趋势，就是与新的算法有关的软件是可以申请专利的。

如果照这种趋势发展，世界各国对组合数学和计算机算法的投入和竞争必然日趋激烈。

美国政府也成立了离散数学及理论计算机科学中心DIMACS（与Princeton大学，Rutgers大学，AT&T 联合创办的，设在Rutgers大学），该中心已是组合数学理论计算机科学的重要研究阵地。

美国国家数学科学研究所（Mathematical Sciences Research Institute，由陈省身先生创立）在1997年选择了组合数学作为研究专题，组织了为期一年的研究活动。

日本的NEC公司还在美国的设立了研究中心，理论计算机科学和组合数学已是他们重要的研究课题，该中心主任R. Tarjan即是组合数学的权威。

我们所熟悉的美国重要的国家实际室（Los Alamos国家实验室，以造出第一颗原子弹著称于世），从曼哈顿计划以来一直重视应用数学的研究，包括组合数学的研究。

我所接触到的有关组合数学的计算机模拟项目经费达三千万美元。

不仅如此，该实验室最近还在积极充实组合数学方面的研究实力。

美国另外一个重要的国家实验室Sandia国家实验室有一个专门研究组合数学和计算机科学的机构，主要从事组合编码理论和密码学的研究，在美国政府以及国际学术界都具有很高的地位。

由于生物学中的DNA的结构和生物现象与组合数学有密切的联系，各国对生物信息学的研究都很重视，这也是组合数学可以发挥作用的一个重要领域。

前不久召开的北京香山会议就体现了国家对生物信息学的高度重视。

据说IBM也将成立一个生物信息学研究中心。

由于DNA就是组合数学中的一个序列结构，美国科学院院士，近代组合数学的奠基人Rota教授预言，生物学中的组合问题将成为组合数学的一个前沿领域。

美国的大学，国家研究机构，工业界，军方和情报部门都有许多组合数学的研究中心，在研究上投入了大量的经费。

但他们得到的收益远远超过了他们的投入，更主要的是他们还聚集了组合数学领域全世界最优秀的人才。

高层次的软件产品处处用到组合数学，更确切地说就是组合算法。

传统的计算机算法可以分为两大类，一类是组合算法，一类是数值算法（包括计算数学和与处理各种信息数据有关的信息学）。

近年来计算机算法又多了一类：那就是符号计算算法。

吴文俊院士开创的机器证明方法就属于符号计算，引起了国际上的高度评价，被称为吴方法。

而国际上还有专门的符号计算杂志。

符号算法和吴方法跟代数组合学也有十分密切的联系。

组合数学，数值计算（包括计算数学，科学计算，非线性科学，和与处理各种信息数据有关的信息学）和统计学可能是应用最广的数学分支，而组合数学的价值甚至不亚于统计学和数值计算。

由于数学机械化近年来的发展和在计算机科学中的重要性，把数学机械化，科学计算和组合数学组合起来，就可以说是中国信息产业的基础。

组合数学家H. Wilf和D. Zeilberger1998因为在组合恒等式的机械化证明方面的成果，获得1998年美国数学会的Steele奖。

Gian-Carlo Rota教授在他去年不幸逝世之前，还专门提出，希望有人向中国有关部门和领导人呼吁，组合数学是计算机软件产业的基础，中国最终一定能成为一个软件大国，但是要实现这个目标的一个突破点就是发展组合数学。

中国在软件技术上远远落后于美国，而在组合数学上则更是落后于美国和欧洲。

如果中国只是想在软件技术上跟着西方走，而不在组合数学上下功夫，那么中国的软件将一直处于落后的状态。

他特别强调组合数学在计算机科学中的作用，以及在大学计算机系加强组合数学教学和人才培养。

最近Thomson Science公司创刊的一份电子刊物《离散数学和理论计算机科
学》即是一个很好的说明。

它的内容涉及离散数学和计算机科学的众多方面。

由于计算机软件的促进和需求，组合数学已成为一门既广博又深奥的学科，需要很深的数学基础，逐渐成为了数学的主流分支。

本世纪公认的伟大数学家盖尔芳德预言组合数学和几何学将是下一世纪数学研究的前沿阵地。

这一观点不仅得到国际数学界的赞同，也得到了中国数学界的赞同和响应。

加拿大在Montreal成立了试验数学研究中心，他们的思路可能和吴文俊院士的数学机械化研究中心的发展思路类似，使数学机械化，算法化，不仅使数学为计算机科学服务，同时也使计算机为数学研究服务。

吴文俊院士指出，中国传统数学中本身就有浓厚的算法思想。

今后的计算机要向更加智能化的方向发展，其出路仍然是数学的算法，和数学的机械化。

另外的一个有说服力的现象是，组合数学家总是可以在大学的计算机系或者在计算机公司找到很好的工作，一个优秀的组合数学家自然就是一个优秀的计算机科学家。

相反，美国所有大学计算机系都有组合数学的课程。

除上述以外，欧洲也在积极发展组合数学，英国、法国、德国、荷兰、丹麦、奥地利、瑞典、意大利、西班牙等国家都建立了各种形式的组合数学研究中心。

近几年，南美国家也在积极推动组合数学的研究。

澳大利亚，新西兰也组建了很强的组合数学研究机构。

值得一提的是亚洲的发达国家也十分重视组合数学的研究。

日本有组合数学研究中心，并且从美国引进人才，不仅支持日本国内的研究，还出资支持美国的有关课题的研究，这样使日本的组合数学这几年的发展极为迅速。

台湾、香港两地也从美国引进人才，大力发展组合数学。

新加坡，韩国，马来西亚也在积极推动组合数学的研究和人才培养。

台湾的数学研究中心也正在考虑把组合数学作为重点方向来发展。

世界各地对组合数学的如此钟爱显然是有原因的，那就是没有组合数学就没有计算机科学，没有计算机软件。

4. 组合数学花絮
◆四色问题。

如果你仔细留心一张世界地图，你会发现用一种颜色对一个国家着色，那么一共只需要四种颜色就能保证每两个相邻的国家的颜色不同。

这样的着色效果能使每一个国家都能清楚地显示出来。

但要证明这个结论确是一个著名的世界难题，最终借助计算机才得以解决，最近人们才发现了一个更简单的证明。

◆中国邮差问题：由中国组合数学家管梅谷教授提出。

邮递员要穿过城市的每一条路至少一次，怎样行走走过的路程最短？这是一个NP完全问题。

由中国组合数学家管梅谷教授提出，著名组合数学家，J. Edmonds和他的合作者给出了一个解答。

◆任务分配问题（也称婚配问题）：有一些员工要完成一些任务。

各个员工完成不同任务所花费的时间都不同。

每个员工只分配一项任务。

每项任务只被分配给一个员工。

怎样分配员工与任务以使所花费的时间最少？
◆河洛图：我国古代的河洛图上记载了三阶幻方，即把从一到九这九个数按三行三列的队行排列，使得每行，每列，以及两条对角线上的三个数之和都是一十五。

组合数学中有许多象幻方这样精巧的结构。

1977年美国旅行者1号、2号宇宙飞船就带上了幻方以作为人类智慧的信号。

（题图）
◆装箱问题：当你装一个箱子时，你会发现要使箱子尽可能装满不是一件很容易的事，你往往需要做些调整。

从理论上讲，装箱问题是一个很难的组合数学问题，即使用计算机也是不容易解决的。

◆过河问题：在中小学的数学游戏中，有这样一个问题，一个船夫要把一只
狼，一只羊和一棵白菜运过河。

问题是当人不在场时，狼要吃羊，羊要吃白菜，而他的船每趟只能运其中的一个。

他怎样才能把三者都运过河呢？这就是一个很典型、很简单的组合数学问题。

◆是否存在稳定婚姻的问题：假如能找到两对夫妇（如张（男）--李（女）和赵（男）--王（女）），如果张（男）更喜欢王（女），而王（女）也更喜欢张（男），那么这样就可能有潜在的不稳定性。

组合数学的方法可以找到一种婚姻的安排方法，使得没有上述的不稳定情况出现（当然这只是理论上的结论）。

这种组合数学的方法却有一个实际的用途：美国的医院在确定录取住院医生时，他们将考虑申请者的志愿的先后次序，同时也给申请排序。

按这样的次序考虑出的总的方案将没有医院和申请者两者同时后悔的情况。

实际上，高考学生的最后录取方案也可以用这种方法。

◆管理调度问题：我们还会遇到更复杂的调度和安排问题。

例如，在生产原子弹的曼哈顿计划中，涉及到很多工序，许多人员的安排，很多元件的生产，怎样安排各种人员的工作，以及各种工序间的衔接，从而使整个工期的时间尽可能短？这些都是组合数学典型例子。

又比如，假日饭店的管理中，也严格规定了有关的工序，如清洁工的第一步是换什么，清洗什么，第二步又做什么，总之，他进出房间的次数应该最少。

既然，这样一个简单的工作都需要讲究工序，那么一个复杂的工程就更不用说了。

◆库房和运输的管理问题。

怎样安排运输使得库房充分发挥作用，进一步来说，货物放在什么地方最便于存取（如存储时间短的应该放在容易存取的地方）。

◆铺地砖问题：我们知道，用形状相同的方型砖块可以把一个地面铺满（不考虑边缘的情况），但是如果用不同形状，而又非方型的砖块来铺一个地面，能否铺满呢？这不仅是一个与实际相关的问题，也涉及到很深的组合数学问题。

◆组合数学还可用于金融分析，投资方案的确定，怎样找出好的投资组合以降低投资风险。

南开大学组合数学研究中心开发出了"金沙股市风险分析系统"现已投放市场，为短线投资者提供了有效的风险防范工具。

总之，组合数学无处不在，它的主要应用就是在各种复杂关系中找出最优的方案。

所以组合数学完全可以看成是一门量化的关系学，一门量化了的运筹学，一门量化了的管理学。