2020年高考数学柯西不等式经典猜题20道(含详解答案)
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13．设a，b是正实数，求：
（1）若 ，求 的最小值；
（2）若 ，求 的最大值.
14．已知 ， ， ，且 .
证明：（1） ；（2） .
15．已知
（1）求 的最小值 ；
（2）若 ， ，求证：
16．设a，b，c都是正数，满足 .
（1）求 的最小值；
（2）证明 .
17．已知 ，且 .
（1）求 的最大值；
（2）证明： .
则 ，又因为 ，
所以 ，即
当且仅当 时取等号.
（2）由于
得
所以
即 ，当且仅当 ， ， 时取等号
的最小值为 .
11．证明：由 ．
因为 ，所以 ，
当且仅当 时，不等式取等号，此时 ，
故 的最小值为4．
12．由于 都为正数，且 ，根据柯西不等式得，
，
当且仅当 时等号成立，即 的最小值为3.
13．（1）法一：由 得， ，
柯西不等式经典猜题20道
1．已知 ，求 的最小值．
2．已知正实数 ， ， 满足 .
证明：（1） ；
（2） .
3．已知正数 ， ， 满足 .
（1）求证： ；
（2）求 的最小值.
4．已知 ， ， ， ，证明：
（1） ；
（2） .
5．已知 ，且 ，求 的最小值．
6．已知实数 ， ， ，均大于零，且满足 .
故 的最小值为 .
7．由
，
故 ．
等号当且仅当 ，即 时成立．
即 的最大值为 ．
8．（1）因为 ， ， 为正数且各不相等，
则
．
故 ．
（2）根据柯西不等式可得
，
，
，
，
的最大值为 ．
9．证明：因为a+b+c＝1，
则 ，
对于正数a，b，c，由柯西不等式
，
故 ，
即 ，
当且仅当 时取等号，
10．解：（1）由 ， ， ，
19.证明：由于 为正实数， ，
即
故 ，当且仅当 ，即 ， ， 时取等号，
故 。
20．1）由已知 ，则函数
，
又函数 的最小值为 ，即 ，
根据柯西不等式得 ，
当且仅当 时取“=”.
即 .
（2）根据基本不等式可得 ， ， ，
（以上三式当且仅当 时同时取“=”）
由（1）知， ，
将以上三式相加得
故 .
（1）求 的最大值；
（2）求 的最小值.
7．求函数 的最大值．
8．（1）设 为正数，且不全相等．求证： .
（2）设 ，求函数 的最大值．
9．设正数a，b，c满足 ，求证 ．
10．若a，b， ，且
（1）证明：
（2）求 的最小值.
11．若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求 的最小值．
12．已知正数 满足 ，求 的最小值.
故 ，
当且仅当 时，等号成立.
方法二： ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立.
15．（1）因为
根据柯西不等式可知： ，
故： ，当且仅当 时等号成立，所以 ；
（2）由（1）可知： ， ，
即 ，
当且仅当 时，等号成立.
16．（1）根据柯西不等式可得： ，
则 ，当且仅当 取等号，故 的最小值为 .
（2）根据柯西不等式得： ，
故 ，当 时， 取得最小值为 .
法二： ，当且仅当 时等号成立，
即 的最小值为 .
（2）由 ，当且仅当 时等号成立，
由于a，b是正实数，所以 的最大值为 .
14．（1）方法一由于 ，
则 ，
又因为 ， ， ，
故
.
即 ，当且仅当 时，等号成立.
方法二： ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立.
（2）方法一：
，
，
法二（基本不等式法）：∵ ，
.
（2）要证 ，只需证 ，
，
同理， ， ，
全部加起来得 ，①
又 ，∴ ，∴ ，
同理可得 ， ，
全部加起来有 ，②
①+②得 ，
即 。
3．（1）由 ， ， ，故由柯西不等式得
.
又因为 .
故
（2）
由均值不等式 ，当且仅当 时“=”成立
∵ .
∴ 当且仅当 时取“=”
∴ ，当且仅当 ， 时等号成立，即
的最小值为6.
4．证明：（1） ，
，
，
（当且仅当 时取ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ号）.
（2） ， ， ， ，
，
，
，
.
5．根据柯西不等式，得
，
故 ，即 ，
所以 ，当且仅当 ，
故当 时， 取最小值 .
6．（1）由 ，
又
所以 ，
即有 ，
所以 ，当且仅当“ ”时等号成立，
故 的最大值为 ．
（2）根据柯西不等式可得：
，
所以 ，当且仅当“ ”时等号成立，
因为 ，所以 ，当且仅当 取等号.
17．（1）（ ）2≤（12+12+12）（a+b+c）＝3，
故 ≤ ，
当且仅当 取“=”.所以， 的最大值为
（2）
当且仅当 取“=”
18．（1）∵ ，
又 ，当且仅当 时，等号成立，
即
∴ ，
∴ 的最大值是 .
（2）∵ ，
当且仅当 时，等号成立，
∴ ，∴ 的最小值是 .
18．已知函数 的最小值为 .
（1）求 的最大值；
（2）求 的最小值.
19.设 为正实数， ，求证： .
20．已知 均为正实数，函数 的最小值为 .证明：
（1） ；
（2） .
参考答案
1．根据柯西不等式得 ，
即 ， ，
当且仅当 ， ， 时，等号成立，
即 的最小值为 .
2．证明：（1）法一（柯西不等式法）：∵ ，
（1）若 ，求 的最小值；
（2）若 ，求 的最大值.
14．已知 ， ， ，且 .
证明：（1） ；（2） .
15．已知
（1）求 的最小值 ；
（2）若 ， ，求证：
16．设a，b，c都是正数，满足 .
（1）求 的最小值；
（2）证明 .
17．已知 ，且 .
（1）求 的最大值；
（2）证明： .
则 ，又因为 ，
所以 ，即
当且仅当 时取等号.
（2）由于
得
所以
即 ，当且仅当 ， ， 时取等号
的最小值为 .
11．证明：由 ．
因为 ，所以 ，
当且仅当 时，不等式取等号，此时 ，
故 的最小值为4．
12．由于 都为正数，且 ，根据柯西不等式得，
，
当且仅当 时等号成立，即 的最小值为3.
13．（1）法一：由 得， ，
柯西不等式经典猜题20道
1．已知 ，求 的最小值．
2．已知正实数 ， ， 满足 .
证明：（1） ；
（2） .
3．已知正数 ， ， 满足 .
（1）求证： ；
（2）求 的最小值.
4．已知 ， ， ， ，证明：
（1） ；
（2） .
5．已知 ，且 ，求 的最小值．
6．已知实数 ， ， ，均大于零，且满足 .
故 的最小值为 .
7．由
，
故 ．
等号当且仅当 ，即 时成立．
即 的最大值为 ．
8．（1）因为 ， ， 为正数且各不相等，
则
．
故 ．
（2）根据柯西不等式可得
，
，
，
，
的最大值为 ．
9．证明：因为a+b+c＝1，
则 ，
对于正数a，b，c，由柯西不等式
，
故 ，
即 ，
当且仅当 时取等号，
10．解：（1）由 ， ， ，
19.证明：由于 为正实数， ，
即
故 ，当且仅当 ，即 ， ， 时取等号，
故 。
20．1）由已知 ，则函数
，
又函数 的最小值为 ，即 ，
根据柯西不等式得 ，
当且仅当 时取“=”.
即 .
（2）根据基本不等式可得 ， ， ，
（以上三式当且仅当 时同时取“=”）
由（1）知， ，
将以上三式相加得
故 .
（1）求 的最大值；
（2）求 的最小值.
7．求函数 的最大值．
8．（1）设 为正数，且不全相等．求证： .
（2）设 ，求函数 的最大值．
9．设正数a，b，c满足 ，求证 ．
10．若a，b， ，且
（1）证明：
（2）求 的最小值.
11．若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求 的最小值．
12．已知正数 满足 ，求 的最小值.
故 ，
当且仅当 时，等号成立.
方法二： ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立.
15．（1）因为
根据柯西不等式可知： ，
故： ，当且仅当 时等号成立，所以 ；
（2）由（1）可知： ， ，
即 ，
当且仅当 时，等号成立.
16．（1）根据柯西不等式可得： ，
则 ，当且仅当 取等号，故 的最小值为 .
（2）根据柯西不等式得： ，
故 ，当 时， 取得最小值为 .
法二： ，当且仅当 时等号成立，
即 的最小值为 .
（2）由 ，当且仅当 时等号成立，
由于a，b是正实数，所以 的最大值为 .
14．（1）方法一由于 ，
则 ，
又因为 ， ， ，
故
.
即 ，当且仅当 时，等号成立.
方法二： ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立.
（2）方法一：
，
，
法二（基本不等式法）：∵ ，
.
（2）要证 ，只需证 ，
，
同理， ， ，
全部加起来得 ，①
又 ，∴ ，∴ ，
同理可得 ， ，
全部加起来有 ，②
①+②得 ，
即 。
3．（1）由 ， ， ，故由柯西不等式得
.
又因为 .
故
（2）
由均值不等式 ，当且仅当 时“=”成立
∵ .
∴ 当且仅当 时取“=”
∴ ，当且仅当 ， 时等号成立，即
的最小值为6.
4．证明：（1） ，
，
，
（当且仅当 时取ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ号）.
（2） ， ， ， ，
，
，
，
.
5．根据柯西不等式，得
，
故 ，即 ，
所以 ，当且仅当 ，
故当 时， 取最小值 .
6．（1）由 ，
又
所以 ，
即有 ，
所以 ，当且仅当“ ”时等号成立，
故 的最大值为 ．
（2）根据柯西不等式可得：
，
所以 ，当且仅当“ ”时等号成立，
因为 ，所以 ，当且仅当 取等号.
17．（1）（ ）2≤（12+12+12）（a+b+c）＝3，
故 ≤ ，
当且仅当 取“=”.所以， 的最大值为
（2）
当且仅当 取“=”
18．（1）∵ ，
又 ，当且仅当 时，等号成立，
即
∴ ，
∴ 的最大值是 .
（2）∵ ，
当且仅当 时，等号成立，
∴ ，∴ 的最小值是 .
18．已知函数 的最小值为 .
（1）求 的最大值；
（2）求 的最小值.
19.设 为正实数， ，求证： .
20．已知 均为正实数，函数 的最小值为 .证明：
（1） ；
（2） .
参考答案
1．根据柯西不等式得 ，
即 ， ，
当且仅当 ， ， 时，等号成立，
即 的最小值为 .
2．证明：（1）法一（柯西不等式法）：∵ ，