2020年高考数学柯西不等式经典猜题20道(含详解答案)
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13.设a,b是正实数,求:
(1)若 ,求 的最小值;
(2)若 ,求 的最大值.
14.已知 , , ,且 .
证明:(1) ;(2) .
15.已知
(1)求 的最小值 ;
(2)若 , ,求证:
16.设a,b,c都是正数,满足 .
(1)求 的最小值;
(2)证明 .
17.已知 ,且 .
(1)求 的最大值;
(2)证明: .
则 ,又因为 ,
所以 ,即
当且仅当 时取等号.
(2)由于
得
所以
即 ,当且仅当 , , 时取等号
的最小值为 .
11.证明:由 .
因为 ,所以 ,
当且仅当 时,不等式取等号,此时 ,
故 的最小值为4.
12.由于 都为正数,且 ,根据柯西不等式得,
,
当且仅当 时等号成立,即 的最小值为3.
13.(1)法一:由 得, ,
柯西不等式经典猜题20道
1.已知 ,求 的最小值.
2.已知正实数 , , 满足 .
证明:(1) ;
(2) .
3.已知正数 , , 满足 .
(1)求证: ;
(2)求 的最小值.
4.已知 , , , ,证明:
(1) ;
(2) .
5.已知 ,且 ,求 的最小值.
6.已知实数 , , ,均大于零,且满足 .
故 的最小值为 .
7.由
,
故 .
等号当且仅当 ,即 时成立.
即 的最大值为 .
8.(1)因为 , , 为正数且各不相等,
则
.
故 .
(2)根据柯西不等式可得
,
,
,
,
的最大值为 .
9.证明:因为a+b+c=1,
则 ,
对于正数a,b,c,由柯西不等式
,
故 ,
即 ,
当且仅当 时取等号,
10.解:(1)由 , , ,
19.证明:由于 为正实数, ,
即
故 ,当且仅当 ,即 , , 时取等号,
故 。
20.1)由已知 ,则函数
,
又函数 的最小值为 ,即 ,
根据柯西不等式得 ,
当且仅当 时取“=”.
即 .
(2)根据基本不等式可得 , , ,
(以上三式当且仅当 时同时取“=”)
由(1)知, ,
将以上三式相加得
故 .
(1)求 的最大值;
(2)求 的最小值.
7.求函数 的最大值.
8.(1)设 为正数,且不全相等.求证: .
(2)设 ,求函数 的最大值.
9.设正数a,b,c满足 ,求证 .
10.若a,b, ,且
(1)证明:
(2)求 的最小值.
11.若x,y,z为实数,且x+2y+2z=6,求 的最小值.
12.已知正数 满足 ,求 的最小值.
故 ,
当且仅当 时,等号成立.
方法二: ,
所以 ,
当且仅当 时,等号成立.
15.(1)因为
根据柯西不等式可知: ,
故: ,当且仅当 时等号成立,所以 ;
(2)由(1)可知: , ,
即 ,
当且仅当 时,等号成立.
16.(1)根据柯西不等式可得: ,
则 ,当且仅当 取等号,故 的最小值为 .
(2)根据柯西不等式得: ,
故 ,当 时, 取得最小值为 .
法二: ,当且仅当 时等号成立,
即 的最小值为 .
(2)由 ,当且仅当 时等号成立,
由于a,b是正实数,所以 的最大值为 .
14.(1)方法一由于 ,
则 ,
又因为 , , ,
故
.
即 ,当且仅当 时,等号成立.
方法二: ,
所以 ,当且仅当 时,等号成立.
(2)方法一:
,
,
法二(基本不等式法):∵ ,
.
(2)要证 ,只需证 ,
,
同理, , ,
全部加起来得 ,①
又 ,∴ ,∴ ,
同理可得 , ,
全部加起来有 ,②
①+②得 ,
即 。
3.(1)由 , , ,故由柯西不等式得
.
又因为 .
故
(2)
由均值不等式 ,当且仅当 时“=”成立
∵ .
∴ 当且仅当 时取“=”
∴ ,当且仅当 , 时等号成立,即
的最小值为6.
4.证明:(1) ,
,
,
(当且仅当 时取ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ号).
(2) , , , ,
,
,
,
.
5.根据柯西不等式,得
,
故 ,即 ,
所以 ,当且仅当 ,
故当 时, 取最小值 .
6.(1)由 ,
又
所以 ,
即有 ,
所以 ,当且仅当“ ”时等号成立,
故 的最大值为 .
(2)根据柯西不等式可得:
,
所以 ,当且仅当“ ”时等号成立,
因为 ,所以 ,当且仅当 取等号.
17.(1)( )2≤(12+12+12)(a+b+c)=3,
故 ≤ ,
当且仅当 取“=”.所以, 的最大值为
(2)
当且仅当 取“=”
18.(1)∵ ,
又 ,当且仅当 时,等号成立,
即
∴ ,
∴ 的最大值是 .
(2)∵ ,
当且仅当 时,等号成立,
∴ ,∴ 的最小值是 .
18.已知函数 的最小值为 .
(1)求 的最大值;
(2)求 的最小值.
19.设 为正实数, ,求证: .
20.已知 均为正实数,函数 的最小值为 .证明:
(1) ;
(2) .
参考答案
1.根据柯西不等式得 ,
即 , ,
当且仅当 , , 时,等号成立,
即 的最小值为 .
2.证明:(1)法一(柯西不等式法):∵ ,
(1)若 ,求 的最小值;
(2)若 ,求 的最大值.
14.已知 , , ,且 .
证明:(1) ;(2) .
15.已知
(1)求 的最小值 ;
(2)若 , ,求证:
16.设a,b,c都是正数,满足 .
(1)求 的最小值;
(2)证明 .
17.已知 ,且 .
(1)求 的最大值;
(2)证明: .
则 ,又因为 ,
所以 ,即
当且仅当 时取等号.
(2)由于
得
所以
即 ,当且仅当 , , 时取等号
的最小值为 .
11.证明:由 .
因为 ,所以 ,
当且仅当 时,不等式取等号,此时 ,
故 的最小值为4.
12.由于 都为正数,且 ,根据柯西不等式得,
,
当且仅当 时等号成立,即 的最小值为3.
13.(1)法一:由 得, ,
柯西不等式经典猜题20道
1.已知 ,求 的最小值.
2.已知正实数 , , 满足 .
证明:(1) ;
(2) .
3.已知正数 , , 满足 .
(1)求证: ;
(2)求 的最小值.
4.已知 , , , ,证明:
(1) ;
(2) .
5.已知 ,且 ,求 的最小值.
6.已知实数 , , ,均大于零,且满足 .
故 的最小值为 .
7.由
,
故 .
等号当且仅当 ,即 时成立.
即 的最大值为 .
8.(1)因为 , , 为正数且各不相等,
则
.
故 .
(2)根据柯西不等式可得
,
,
,
,
的最大值为 .
9.证明:因为a+b+c=1,
则 ,
对于正数a,b,c,由柯西不等式
,
故 ,
即 ,
当且仅当 时取等号,
10.解:(1)由 , , ,
19.证明:由于 为正实数, ,
即
故 ,当且仅当 ,即 , , 时取等号,
故 。
20.1)由已知 ,则函数
,
又函数 的最小值为 ,即 ,
根据柯西不等式得 ,
当且仅当 时取“=”.
即 .
(2)根据基本不等式可得 , , ,
(以上三式当且仅当 时同时取“=”)
由(1)知, ,
将以上三式相加得
故 .
(1)求 的最大值;
(2)求 的最小值.
7.求函数 的最大值.
8.(1)设 为正数,且不全相等.求证: .
(2)设 ,求函数 的最大值.
9.设正数a,b,c满足 ,求证 .
10.若a,b, ,且
(1)证明:
(2)求 的最小值.
11.若x,y,z为实数,且x+2y+2z=6,求 的最小值.
12.已知正数 满足 ,求 的最小值.
故 ,
当且仅当 时,等号成立.
方法二: ,
所以 ,
当且仅当 时,等号成立.
15.(1)因为
根据柯西不等式可知: ,
故: ,当且仅当 时等号成立,所以 ;
(2)由(1)可知: , ,
即 ,
当且仅当 时,等号成立.
16.(1)根据柯西不等式可得: ,
则 ,当且仅当 取等号,故 的最小值为 .
(2)根据柯西不等式得: ,
故 ,当 时, 取得最小值为 .
法二: ,当且仅当 时等号成立,
即 的最小值为 .
(2)由 ,当且仅当 时等号成立,
由于a,b是正实数,所以 的最大值为 .
14.(1)方法一由于 ,
则 ,
又因为 , , ,
故
.
即 ,当且仅当 时,等号成立.
方法二: ,
所以 ,当且仅当 时,等号成立.
(2)方法一:
,
,
法二(基本不等式法):∵ ,
.
(2)要证 ,只需证 ,
,
同理, , ,
全部加起来得 ,①
又 ,∴ ,∴ ,
同理可得 , ,
全部加起来有 ,②
①+②得 ,
即 。
3.(1)由 , , ,故由柯西不等式得
.
又因为 .
故
(2)
由均值不等式 ,当且仅当 时“=”成立
∵ .
∴ 当且仅当 时取“=”
∴ ,当且仅当 , 时等号成立,即
的最小值为6.
4.证明:(1) ,
,
,
(当且仅当 时取ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ号).
(2) , , , ,
,
,
,
.
5.根据柯西不等式,得
,
故 ,即 ,
所以 ,当且仅当 ,
故当 时, 取最小值 .
6.(1)由 ,
又
所以 ,
即有 ,
所以 ,当且仅当“ ”时等号成立,
故 的最大值为 .
(2)根据柯西不等式可得:
,
所以 ,当且仅当“ ”时等号成立,
因为 ,所以 ,当且仅当 取等号.
17.(1)( )2≤(12+12+12)(a+b+c)=3,
故 ≤ ,
当且仅当 取“=”.所以, 的最大值为
(2)
当且仅当 取“=”
18.(1)∵ ,
又 ,当且仅当 时,等号成立,
即
∴ ,
∴ 的最大值是 .
(2)∵ ,
当且仅当 时,等号成立,
∴ ,∴ 的最小值是 .
18.已知函数 的最小值为 .
(1)求 的最大值;
(2)求 的最小值.
19.设 为正实数, ,求证: .
20.已知 均为正实数,函数 的最小值为 .证明:
(1) ;
(2) .
参考答案
1.根据柯西不等式得 ,
即 , ,
当且仅当 , , 时,等号成立,
即 的最小值为 .
2.证明:(1)法一(柯西不等式法):∵ ,