一般形式的柯西不等式 课件

解：设三段绳子的长分别为x，y，z，则x＋y＋z＝
12，三个正方形的边长分别为x4，4y，4z均为正数，三个正
方形面积之和：S＝
x 4
2
＋
y 4
2
＋
z 4
2
＝
1 16
(x2＋y2＋z2)．因
为(12＋12＋12)(x2＋y2＋z2)≥(x＋y＋z)2＝122，即x2＋y2＋
z2≥48.从而S≥116×48＝3，当且仅当x1＝1y＝1z时取等号． 又x＋y＋z＝12，所以x＝y＝z＝4时，Smin＝3. 故把绳子三等分时，围成的三个正方形面积之和最
3．定理3(二维形式的三角不等式) 设x1，y1，x2，y2∈R，那么 x12＋y12＋ x22＋y22≥
（x1－x2）2＋（y1－y2）2. 当且仅当存在非负实数μ及λ，使得μx1＝λy1，μx2＝ λy2时，等号成立．
4．一般形式的柯西不等式 定理 设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn是实数， 则 (_a_21_＋__a_22＋__…__＋__a_2n_)_(b_21_＋__b_22＋__…__＋__b_2n_)_≥__(a_1_b_1_＋__a_2b_2_＋__…__＋__a_n_b_n)2 ，当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个实数k，使 得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．
3．设a＝(－2， 5 )，|b|＝6，则a·b的最小值为
()
A．18
B．6
C．－18
D．12
解析：因为|a·b|≤|a||b|，
所以|a·b|≤18，
所以－18≤a·b≤18，
a·b的最小值为－18，故选C.
答案：C
4. 已知a>b>c，若a－1 b＋b－1 c≥a－k c恒成立，则k的
最大值为________．
因为a2＋b2＝4，c2＋d2＝16， 所以(ac＋bd)2≤64， 因此ac＋bd≤8.
(2)由柯西不等式知：
左边＝ ab2＋ bc2＋ ac2· ba2＋
bc2＋
ac2≥
a b·
ba＋
b c·
bc＋
ac· ac2＝(1＋1＋1)2＝9. 所以原不等式成立．
归纳升华 利用柯西不等式证明某些不等式时，要抓住柯西不 等式的结构特征，有时需将表达式适当地变形，因此必 须善于分析题目的特征，根据题设条件，利用添、拆、 分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法，找到 解决问题的突破口．
答案：4 3
类型1 利用柯西不等式求最值(自主研析) [典例❶] (1)若3x＋4y＝2，求x2＋y2的最小值． (2)设2x＋3y＋5z＝29，求函数u＝ 2x＋1 ＋ 3y＋4 ＋ 5z＋6的最大值． 解：(1)因为3x＋4y＝2， 所以x2＋y2＝215(x2＋y2)(32＋42)≥215(3x＋4y)2＝245，
即x＝
37 6
，y＝
28 9
，z＝
22 15
时等号成立，此时umax＝
2 30.
归纳升华 1．先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯 西不等式求解的先决条件； 2．常用的配凑的技巧有：①巧拆常数；②重新安 排某些项的次序；③适当添项；④适当改变结构，从而 达到运用柯西不等式求最值的目的． 3．有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才 能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立 的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多 次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．
解析：由柯西不等式得：( 2a＋ 2b＋1＋ 2c＋3)2 ＝(1× 2a＋1× 2b＋1＋1× 2c＋3)2≤(12＋12＋12)(2a ＋2b＋1＋2c＋3)＝3(2×6＋4)＝48.
当且仅当 2a ＝ 2b＋1 ＝ 2c＋3 ，即2a＝2b＋1＝ 2c＋3时等号成立．
又a＋b＋c＝6，所以当a＝83，b＝163，c＝76时， 2a ＋ 2b＋1＋ 2c＋3取得最大值4 3.
当且仅当34xx＋＝43yy＝2时，即xy＝＝228655时“＝”成立． 所以x2＋y2的最小值为245. (2)根据柯西不等式 120＝3[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)]≥(1× 2x＋1 ＋ 1× 3y＋4＋1× 5z＋6)2， 故 2x＋1＋ 3y＋4＋ 5z＋6≤2 30.
当且仅当2x＋1＝3y＋4＝5z＋6，
故( －3t＋12＋ t)max＝4.(10分)
归纳升华 根据题设条件的结构特点，恰当选择柯西不等式的 某个形式，获得某个最值，再结合其他数学知识，解决 参数的范围、不等式恒成立等综合问题．
[类题尝试] 把一根长为12 m的细绳截成三段，各
围成三个正方形．问：怎样截法，才能使围成的三个正
方形面积之和S最小，并求此最小值．
[变式训练] 在△ABC中，设其边长分别为a，b，
c，外接圆半径为R，求证：(a2＋b2＋c2)(sin12 A＋sin12 B＋
1 sin2
C)≥36R2.
证明：因为sina A＝sinb B＝sinc C＝2R，
所以(a2＋b2＋c2)
1 sin2
A＋sin12
B＋sin12
C
≥(
a sin
A
类型2 利用柯西不等式证明不等式 [典例❷] (1)(2017·江苏卷)已知a，b，c，d为实 数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明：ac＋bd≤8.
(2)已知a，b，c∈R＋，求证： ab＋bc＋ac ba＋bc＋ac ≥ 9.
证明：(1)由柯西不等式，得(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋ d2)．
＋
b sin
B＋sinc
C)2＝36R2.
类型3 柯西不等式的综合应用(规范解答) [典例3] (本小题满分10分)已知关于x的不等式|x ＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}． (1)求实数a，b的值； (2)求 at＋12＋ bt的最大值． 审题指导：(1)将原不等式去掉绝对值，对比已知的 解集可求得a，b的值．(2)运用柯西不等式求最值．
[变式训练] 已知实数a，b，c，d满足a2＋b2＝1， c2＋d2＝2，求ac＋bd的最大值．
解：因为a2＋b2＝1，c2＋d2＝2， 所以由柯西不等式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2， 得(ac＋bd)2≤1×2＝2. 所以－ 2≤ac＋bd≤ 2. 当且仅当ad＝bc时取最大值 2. 所以ac＋bd的最大值为 2.
[规范解答] (1)由|x＋a|＜b，得－b－a＜x＜b－a，
(2分)
则b－－ba－＝a4＝，2，解得a＝－3，b＝1.(5分)
(2) －3t＋12＋ t＝ 3· 4－t＋ t≤
[（ 3）2＋12]
[（ 4－t）2＋（ t）2] ＝
2 4－t＋t＝4.(7分)
当且仅当
4－t＝ 3
1t，即t＝1时等号成立，(9分)
2 1
＋a
2Biblioteka Baidu2
＋…＋a
2 n
＝b
2 1
＋b
2 2
＋…＋b
2 n
＝1，那么
－1≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤1.( )
(4)如果ai∈R(i＝1，2，…，n)，那么a1＋a2＋n …＋an
≤ a21＋a22＋n …＋a2n.(
)
解析：由定理1易知(1)(2)正确．由一般形式的柯西
不等式可知：当ai，bi取特殊值时，可得(3)(4)，故(3)(4) 正确．
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√
2．函数y＝2x＋1－92xx∈0，12的最小值是(
)
A．20
B．25
C．27
D．18
解析：y＝
2 x
＋
9 1－2x
＝[2x＋(1－2x)]
2x＋1－92x
＝
[(
2x )2＋(
1－2x
)2]
2x2＋
9 2 1－2x
≥
2x·
2x＋
1－2x
答案：B
1－92x2＝(2＋3)2＝25.
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)(a＋b)(c＋d)≥( ac ＋ bd )2(a，b，c，d为非负实
数)，当且仅当ad＝bc时，等号成立．( )
(2) a2＋b2 · c2＋d2 ≥|ac＋bd|(a，b，c，d都是实
数)，当且仅当ad＝bc时，等号成立．( )
(3)如果a
解析：设a＝
a－1 b，
b－c)，
由|a·b|≤|a||b|得2≤
1 b－c
，b＝(
a－b ，
a－1 b＋b－1 c· （a－b）＋（b－c），
即
1 a－b
＋
1 b－c
≥
4 a－c
，当且仅当a－b＝b－c即a＋c
＝2b时，等号成立．故kmax＝4. 答案：4
5．已知a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝6，则 2a ＋ 2b＋1＋ 2c＋3的最大值为________．
小，最小面积为3 m2.
一般形式的柯西不等式
1．定理1(二维形式的柯西不等式) 若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋ bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立． 2．定理2(柯西不等式的向量形式)
设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零
向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．