函数值域(最值)求法小结

函数值域(最值)求法小结

西华师范大学数学与信息学院

函数是中学数学的一个重点,而函数值域(最值)的求解方法更是一个常考点,因此能熟练掌握其值域(最值)求法就先得十分的重要,本节旨在通过对典型例题的讲解来归纳函数值域(最值)的求法,希望对广大读者有所帮助。

一、 配方法

适用类型：二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。

例1、 求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。

分析与解：本题中含有二次函数可利用配方法求解,为便于计算不妨设:)0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得:][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得][4,0)(∈x f ,从而得出：][2,2-∈y 。

说明：在求解值域(最值)时,遇到分式.根式.对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制,本题为：0)(≥x f 。

例2、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。

分析与解：本题可看成一象限动点),(y x p 在直线42=+y x 上滑动时函数xy y x lg lg lg =+的最大值。利用两点(4,0),(0,2)确定一条直线,作出图象易得:

)]24(lg[lg lg lg ),2,0(),4,0(2

-==+∈∈y y xy y x y x 而y x lg lg +取最大值2lg 。

二、 观察法

适用类型：根据函数图象.性质能较容易得出值域(最值)的简单函数。

例:求242-+-=x y 的值域. 分析与解：由绝对值函数知识及二次函数值域的求法易得：)[)[∞+-∈∞+∈-+-=,2,,024)(2y x x g 所以

三、 部分分式法

适用类型：分式且分子.分母中有相似的项,通过该方法可将原函数转化为为)(x f k y ±=(为k 常数)的形式。

例：求函数1

22+--=x x x x y 的值域。 分析与解:观察分子、分母中均含有x x -2项,可利用部分分式法；则有

43)21(11111122222+--=+--+-=+--=x x x x x x x x x y 不妨令：)0)(()(1)(,43)21

()(2≠=+-=x f x f x g x x f 从而)∞+⎢⎣⎡∈,4

3)(x f 注意：在本题中若出现应排除0)(=x f ,因为)(x f 作为分母.所以 ⎝

⎛⎥⎦⎤∈43,0)(x g 故)1,3

1⎢⎣⎡-∈y 另解：观察知道本题中分子较为简单,可令x x x x x x y -+=-+-=222'

111,求出'y 的值域,进而可得到y 的值域。

四、 反函数法

适用类型：分子.分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型),也可用于其它易反解出自变量的函数类型。

例：求函数12+=

x x y 的值域。 分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出x,从而便于求出反函

数。 12+=

x x y 反解得y y x -=2 即x x y -=2 知识回顾：反函数的定义域即是原函数的值域。

故函数的值域为：),2()2,(+∞-∞∈ y 。

五、判别式法

适用类型：分子.分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为0)()()(2=++y C x y B x y A 的形式，再利用判别式加以判断。

例：求函数3

274222++-+=x x x x y 的值域。

分析与解：由于本题的分子、分母均为关于x 的二次形式，因此可以考虑使用判别式法，将原函数变形为：7423222-+=++x x y xy y x 整理得：073)2(2)2(2=++-+-y x y x y 当2≠y 时，上式可以看成关于x 的二次方程，该方程的x 范围应该满足032)(2≠++=x x x f 即R x ∈此时方程有实根即△0≥,

△[].2,2

9[0)73)(2(4)]2(22-∈⇒≥+---=y y y y 细心的读者不难发现，在前面限定2≠y 而结果却出现：2=y 我们是该舍还是留呢？

注意：判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是2

9,2-==y y ）代回方程检验。 将29,2-==y y 分别代入检验得2=y 不符合方程，所以)2,2

9[-∈y 。 六、 换元法

适用类型:无理函数、三角函数（用三角代换）等。

例1、 求函数x x y 41332-+-=的值域。

分析与解：由于题中含有x 413-不便于计算，但如果令：x t 413-=注意0≥t 从而

得：)0(32

134132

2≥+--=∴-=t t t y t x 变形得)0(8)1(22≥++-=t t y 即：]4,(-∞∈y

点评：在使用换元法换元时一定要注意新变量的范围，否则将会发生错误。

例2、 已知),(y x p 是圆422=+y x 上的点，试求xy y x t 32

2-+=的值域。 分析与解：在三角函数章节中我们学过：

1cos sin 22=∂+∂注意到422=+y x 可变形为：1)2()2(22=+y x 令 ,0[,sin 2

,cos 2∈∂∂=∂=y x 2π)则∂-=∂⨯∂⨯-=2sin 64sin 2cos 234t 4,0[2∈∂又π)即]1,1[2sin -∈∂故]10,2[-∈t 例3、试求函数x x x x y cos sin cos sin ++=的值域。

分析与解：题中出现x x sin cos +而x

x x x x x cos sin 21)cos (sin ,1cos sin 222+=+=+由此联想到将x x sin cos 视为一整体，令]2,2[cos sin -∈+=x x t 由上面的关系式易得

21cos sin cos sin 2122-=⇒+=t x x x x t 故原函数可变形为：