第四节 长期趋势和季节变动分析

37.93 36.12 63.21 103.37 203.30 280.96 215.70 114.55
9
10 11
3.4
2.8 1.6
7.3
3.4 2.3
4.9
3.8 2.8
5.0
4.2 3.5
20.6
14.2 10.2
5.150
3.550 2.550
53.15
36.64 26.32
12
年合计 年平均
4.3 3.8 6.5 10.6 21.9 30.3 20.5 10.8
4.5 4.0 4.2 11.0 20.0 32.0 24.0 11.5
14.7 14.0 24.5 40.2 78.8 108.9 83.6 44.4
3.675 3.500 6.125 10.050 19.700 27.225 20.900 11.100
2.1
95.9 7.99
3.0
119.2 9.93
3.1
123.3 10.28
2.8
126.7 10.56
11.0
465.1 38.76
2.750
116.275 9.69
28.38
1200.0 100.0
具体计算如下： （1）求各年同月平均数，如：一月份为14.7÷4 = 3.675,二 月份为14÷4 = 3.5，„ （2）求全部数据总平均数，如：465.1÷48 = 9.69 或 38.76÷4 = 9.69。 （3）用各年月平均数除以总平均数得季节比率，见表5-34中 最后一列。 表中数据表明：季节比率各月平均数为100%,全年12个月合 计为1200%(按季计算为400%)。以大于或小于100%分为经营活动 的“淡”季、“旺”季。该地衬衫销售量旺季是4～8月，其中6 月是最旺季，11月是最淡季。 再如，某地区游客人数资料如表5-35所示，试计算游客人数 季节比率，为该地区接待工作提供依据。
表5-24 某企业2005年产量资料（单位：台）
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 产量 80 85 82 86 84 88 86 85 92 94 92 98
表5-24发展趋势不明显，现采用扩大时期法，即将时间间隔 由月扩大到季，可得到表5-25。
表5-25 某企业2005年季产量资料
表5-34
某地衬衫销售量季节比率计算表（单位：万件）
月份
2002年 2003年 2004年 2005年 四年合计 同月平均 季节比率%
1 2 3 4 5 6 7 8
2.1 2.5 5.5 8.6 17.6 21.1 17.9 10.7
3.8 3.7 8.3 10.0 19.3 25.5 21.2 11.4
25 9 1 1 9 25 70
ty
-428.0
yt
85.6
-273.0 90.9 -96.0 96.2 101.2 101.5 321.0 561.0 186.1 106.8 112.2 593.2
将表中数据代入参数公式得：
值。
将a、b值代入直线方程得：yt=98.85+2.66t 将时间序号依次代入直线方程得yt栏数值，即趋势
6 ty 186.1 2.66 b t 2 70
a
y 593.1 98.85
n
预测以后各年产量： 2006年产量预测值为： yt=98.85+2.66×7=117.47(万吨) 2007年产量预测值为: yt=98.85+2.66×9=122.79(万吨) 需要注意的是偶数项时间间隔为2，因此b =2.66只 表示半年产量的平均增加数量。
季度 产量
一 247
二 258
三 263
四 284
表5-25能明显反映该企业产量呈上升趋势。应用扩大时期法 应注意两点：其一扩大时期法只适用于时期数列；其二扩大时期 后的时期长度要相等。 扩大时期法还可以用序时平均数组成新数列，如表5-26所示。
表5-26 某企业2005季平均产量
季度
一
二
三
四
季平均产量 82.3 86 87.7 94.7 表5-26采用序时平均数构成的新数列能明显反映该企业产量 呈上升趋势。
产量（吨）
2 6 4 5 9 7 8 12 10 11 15 13
三项移动平均
— 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 —
五项移动平均
— — 5.2 6.2 6.6 8.2 9.2 8.6 11.2 12.2 — —
（二）最小平方法 它是配合一个最适当的方程式，使实际值（y）与 用该方程计算出的趋势值（yt）之间的离差平方和最小， 这种方法叫最小平方法。 其直线方程式为：yt = a + bt 式中：t —时间序号，可以是年、季、月、日； a —直线在y轴上的截距，即t为零时的y值； b —直线斜率，表示t每增加一个单位时yt的变 动值； yt —根据直线方程计算的趋势值。
2002年 2003年 2004年 2005年 各季平均数 季节比率%
1.8 2.0 2.5 3.0 2.325 35.87
第一步，计算各年同季平均数和总平均数： 计算结果如表5-35所示。
第二步，计算季节比率，它是季平均数与总平均数之比，公 式为：季节比率（%）= 季平均数÷总平均数×100%。 一季 = 2.325÷6.481×100% = 35.87% 二季 = 12.05÷6.481×100% = 185.93% 三季 = 7.625÷6.481×100% = 117.65% 四季 = 3.925÷6.481×100% = 60.56% 第三步，绘制季节比率图，见下图。
表5-35
某地游客人数季节比率计算表（单位：十万人） 一季 二季
8.0 11.0 14.0 15.2 12.05 185.93
三季
6.0 7.0 8.0 9.5 7.625 117.65
四季
3.0 3.5 4.2 5.0 3.925 60.56
年平均数
4.7 5.875 7.175 8.175 6.481 100.0
1.8 2.0 2.5 3.0
8.0 11.0 14.0 15.2
6.0 7.0 8.0 9.5
3.0 3.5 4.2 5.0
表5-27中资料受季节因素影响长期趋势不明 显，采用移动平均法可以使长期趋势显现出来。 具体方法是每四项求一个平均数，然后每移动一 项计算一个平均数，如（1.8+8+6+3）/4 = 4.7。 使4.7在表中对准1～4季的正中（即2、3季之间）， 然后往下移动一季计算出2、3、4、5季的平均数： （8+6+3+2）/4 = 4.75。使4.75在表中对准2～5 季的正中（即3、4季之间）。全部计算后的结果 如表5-28所示:
9 4 1 0 1 4 9 16 25 110
2.336 2.433 2.530 2.627 2.724 2.821 2.918 3.015 3.112 28.897
将上表资料代入参数公式得： a y 28.9 2.627
n
将a、b代入直线方程得：yt = 2.627+0.097t 将时间序号t依次代入公式可得yt栏数据，即趋势值。 以表5-33为例说明偶数项数列计算方法。
二、季节变动分析 （一）季节变动分析的意义 季节变动是指因受自然条件或社会因素的影响，在 一年内随着季节的更替而引起的比较有规律的变动。本 节将分析现象因季节变动而产生的变化规律。 （二）季节变动的测定 测定季节变动的方法很多，这里只介绍季节指数法， 又称月（季）平均法。这种方法是在不考虑长期趋势的 影响下，而直接通过计算各月（季）平均数、总平均数， 来确定季节比率。通过季节比率可以显示和分析季节变 动的规律性。 进行季节变动分析必须占有较长时期的资料，即至 少应有三个周期（年度）以上的各月（季）资料，才能 测定季节变动。 例如，某地区2002年至2005年各月衬衫销售资料如 表5-34所示。
*第四节 长期趋势和季节变动分析
一、长期趋势分析 长期趋势是时间数列的主要构成因素，是事物受某些根本因 素的影响在较长时期内持续发展变化（增加或减少）的一种趋势 或状态。 例如，由于“三农”即农业、农村、农民是我国国民经济重 中之重，所以我国粮食产量50多年来呈上升趋势持续发展。 （一）扩大时期法 它是在原时间数列不能明显反映现象发展变化趋势时，将其 不同时间单位上的数据加以合并形成一个新的时间数列。例如， 某企业2005年资料如表5-24所示。
y游客的指数(%)
200 150 100 50 0 1 2 3 4 t季节（季）
本节小结： 简单平均法
a a 扩大时距法：
移动平均法：
a a
n
2
n
时 间 数 列 趋 势 分 析
b
n xy x y n x 2 x
最小平均法
y b x a
或
yt a bt
b
n ty t y n t 2 t
n n
2
解联立方程求参数a、b值：
y ห้องสมุดไป่ตู้ b t y bt a
为简化计算，给时间顺序重新赋值使∑t=0。为奇数项时用 中间项为原点“O ”；偶数项时两个中间项的中点为原点“0”。 见表5-30、5-31。
表5-30 奇数项赋值表 表5-31 偶数项赋值表
时间 1 2 3 4 5 ∑
t -2 -1 0 1 2 0
时间 1 2 3 4
t -5 -3 -1 1
5 6 ∑
3 5 0
当以上两种情况出现时，∑t =0。 原方程： ∑y = na +b∑t 简化为 ∑y = na ∑ty = a∑t+b∑t2 ∑ty = b∑t2 因此，a、b 两个参数的计算公式为：
y a
n
ty b t
2
这样处理，可以简化计算过程。以表5-32为例，它是奇数项 数列，以中间项即1998年为原点，计算过程如下。
表5-32
最小平方法计算表（奇数项）
年份 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 合计
t
（二）移动平均法 从时间数列的第一项开始，按一定项数求序时平均 数，然后每次向后推移一项计算一系列序时平均数从而 形成一个新的时间数列。通过移动平均使原数列的长期 趋势显现。如表5-27所示。
表5-27 时 间 某企业各季衬衣销售资料（单位：千件） 一季度 二季度 三季度 四季度
2002年 2003年 2004年 2005年
表5-33 最小平方法计算表（偶数项）
11 ty 10.7 0.097 b t 2 110
年份 2000 2001 2002 2003 2004 2005 合计
t
-5 -3 -1 1 3 5 0
产量y 85.6 91.0 96.1 101.2 107.0 112.2 593.1
t2
—
6
7 8
11.0
7.0 3.5
5.82
5.94 6.38
9
10 11
2.5
14.0 8.0
6.88
7.09 7.24
12
13 14 15 16
4.2
3.0 5.2 9.5 5.0
7.45
7.79 8.08 — —
三、五项移动平均计算法如表5-29所示:
表5-29 三、五项移动平均计算表（2、3栏为趋势值）
表5-28
季节顺序 1 2 3 4 5
四项移动平均计算表(“两项移中”栏为趋势值)
销售量（千件） 1.8 8.0 6.0 3.0 2.0 四项移动平均 — 两项移中 — — 4.73 5.13 5.63
4.70 4.75 5.50 5.75 5.88 6.00 6.75 7.00 7.18 7.30 7.60 7.98 8.18
ty b t y a
2
n
n
第一，先计算各年同季平均数，再计算总平均数 季节变动
n
季平均数 总平均数
4
季节比率（%）
第二，计算季节比率。
季平均数 100% 总平均数
-5 -4
y
2.1 2.3
ty
-10.5 -9.2
t2
25 16
Yt
2.142 2.239
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0
2.5 2.6 2.4 2.3 2.6 2.8 3.0 3.2 3.1 28.9
-7.5 -5.2 -2.4 0 2.6 5.6 9.0 12.8 15.5 10.7