第三章 扭转 材料力学
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材料力学
教材选用：
哈尔滨建筑大学 重庆建筑大学 张如三 王天明
中国建筑工业出版社
课件制作：陶钦贵
第三章 扭转
第一节 概述 第二节 外力偶矩T与内力扭矩M 第三节 等直圆杆扭转时的应力与变形 第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算 第五节 切应力互等定律的证明 第六节 矩形截面等直杆在自由扭转时的应力和变形
第一节 概述
扭转实例
F
Me
F
第一节 概述
扭转及其特点
外力特征：作用面垂直于杆轴的力偶 变形特征：各横截面间绕轴线作相对旋转，轴线 仍为直线－扭转变形 扭转与轴：以扭转变形为主要特征的变形形式－扭转 以扭转为主要变形的杆件－轴 扭 力 偶：作用面垂直于杆轴的力偶－扭力偶 扭力偶矩：扭力偶之矩－扭力偶矩或扭力矩
目 录
第二节 外力偶矩T和内力偶矩M
外力偶矩计算－轴的动力转递 • 已 知 ： 动 力 装 置 的 输 出 功 率 Nk （ kW ） , 转 速 n （r/min）。 • 试求：传递给轴的扭力偶矩 M（kN.m）。
2πn N k M M 60
设角速度为 (rad/s)
Nk M 9.55 (kN m) n 例: Nk＝5 kW, n=1450 r/min, 则： 5 kW M＝ 9.55 (kN m) 32.9 N m 1450r/min
第二节 外力偶矩T和内力偶矩M
扭矩与扭矩图 扭矩：
扭矩定义－矢量方向垂直于横截面的内力偶 矩，并用 T 表示。 符号规定－矢量方向与横截面外法线方向一 致的扭矩为正，反之为负。
第二节 外力偶矩T和内力偶矩M
扭矩图:
试分析轴的扭矩 （m－轴单位长度内的扭力偶矩）
M A ml
T M A mx
T m( l x )
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图
第二节 外力偶矩T和内力偶矩M
例 题 例1 : MA=76 Nm, MB=191 Nm, MC=115 Nm, 画扭矩图. 解：
T1 M A 76 N m T2 M C 0
T2 M C 115 N m
第二节 外力偶矩T和内力偶矩M
例2: 轴在MA作用下旋转，飞轮转动惯量为J,画扭矩图
解：
MA J
惯性力偶矩:
Mε J M A T1 M A T2 0 Tmax M A
目 录
面积对转轴的平方矩。 从另一个角度说, 力矩/角加速度=转动惯量
第二节 外力偶矩T和内力偶矩M
观察变形现象:
各圆周线的形状不 变,仅绕轴线作相对转 动. 当变形很小时，各 圆周线的大小与间距 均不改变.
扭转平面假设: 各横截面如同刚性平面，仅绕轴线作相对转动
第三节 等直圆杆扭转时的应力与变形
扭转
第三节 等直圆杆扭转时的应力与变形
扭转应力分析
取楔形O1O2ABCD 为研究对象.
微段扭转变形 dj
第三节 等直圆杆扭转时的应力与变形
几 tan dd' 物 d G ad 何 dx 理 方 d 方 d / dx－扭转 dx 面 面 角变化率
静 力 学 方 面
A
dA T
第三节 等直圆杆扭转时的应力与变形
G d 2dA T dx A d T dx GIp
应力与变形公式:
最大剪应力:
I p 2dA －极惯性矩 A T Ip
max TR T
Ip T max Wp IP R
Ip Wp －抗扭截面系数 R
第三节 等直圆杆扭转时的应力与变形
扭转应力
结
论:
研究方法：从试验、假设入手，综合考虑 几何、物理与静力学三方面。
d T 扭转变形基本公式： dx GI p
T 扭转切应力公式： Ip T max 最大扭转切应力： Wp
公式的适用范围：圆截面轴: max≤p
第三节 等直圆杆扭转时的应力与变形
圆轴扭转变形 圆轴扭转一般情况:
d T dx GI p
T ( x) d dx GI p ( x )
T ( x) dx l GI ( x ) p
GIp－圆轴截面扭转刚度，简称扭转刚度。 对于常扭矩、等截面圆轴:
Tl GIp
第三节 等直圆杆扭转时的应力与变形
薄壁圆管扭转切应力
◆应力公式:
假设:
2π
切应力沿壁厚均匀分布
2 T 0 R0 R0d 2πR0 T 2 2πR0 δ
第三节 等直圆杆扭转时的应力与变形
◆适用范围:
适用于所有匀质薄壁杆，包括弹性、非弹
性、各向同性与各向异性情况。
◆公式精度:
T 2 2πR0
在线弹性情况下，精确解：
max
16T πD3(1 4 )
当 ≤RO /10 时，误差≤4.53
第三节 等直圆杆扭转时的应力与变形
极惯性矩与抗扭截面系数
空心圆截面 dA 2πd
Ip
d / 2
D/ 2
2 2π d
πD 4 Ip 1 4 32 πD 3 Wp 1 4 16
d D
实心圆截面
πd 3 Wp 16
πd 4 Ip 32
目 录
第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算
圆轴扭转强度条件
max [ ]
变截面圆轴:
T max W p max
[ ]
u
n
Tu---材料的扭转极限应力
n ---安全因数
等截面圆轴:
Tmax max Wp
塑性材料： [] =（0.5~0.577）[]
脆性材料： [] = （0.8~1.0）[t]
第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算
圆轴合理强度设计
1.合理截面形状
空心截面比实心截面好
若 Ro/ 过大，则将产生 皱褶（即局部失稳）
第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算
2.采用变截面轴与阶梯形轴
注意减缓应力集中
第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算
例 题: 例1: 已知 T=1.5 kN . m，[ ] = 50 MPa，试根据强度条件设
计实心圆轴与 = 0.9 的空心圆轴。
解： 1.确定实心圆轴直径 T max [ ] max [ ] 3 πd
16
16T 3 16(1.5 103 N m) 0.0535 m d 6 π[ ] π(50 10 Pa)
3
取： d 54 mm
第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算
2.确定空心圆轴内、外径
3 πdo Wp 14 16
16T π 3 do (1 4) 16
[ ]
do
3
16T 76.3 mm 4 π (1 )[ ]
di do 68.7mm
取：do 76 mm， di 68 mm
3.重量比较
π 2 2 (do di ) 4 39.5% π 2 d 4
空心轴远比 实心轴轻
第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算
例2: R0＝50 mm的薄壁圆管，左、右段的壁厚分别为 1 5
mm，2 4 mm，m = 3500 N . m/m，l = 1 m，[] 50 MPa，试 校核圆管强度。
解： 1.扭矩分析 2.强度校核
危险截面：A、B处
B
A
TA ml 44.6 MPa [ ] 2 2 2πR0 1 2πR0 1 ml TB 2 27.9 MPa [ ] B 2 2 2πR0 2 2πR0 2
第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算
例3：密圈螺旋弹簧应力分析 解： 1.内力分析
F＝F S
FD T 2
第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算
2.应力分析
4FS 4F 2 2 πd πd
" max
T FD 16 8 FD 3 Wp 2 d d 3
" max
max
8FD d 3 1 πd 2D
3.应力修正公式
8FD 4m 2 max 3 πd 4m 3 （当 m D 10 时） d
第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算
圆轴扭转变形
d T dx GI p
圆轴扭转一般情况:
T ( x) d dx GI p ( x )
T ( x) dx l GI ( x ) p
GIp－圆轴截面扭转刚度，简称扭转刚度
对于常扭矩、等截面圆轴:
Tl GI p
第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算
圆轴扭转刚度条件
d T dx GI p
T GI p [ ] max
--圆轴扭转刚度条件
[ ]－单位长度的许用扭转角 一般传动轴， [ ] = 0.5 ~1 ()/m 注意单位换算: 1 rad / m
180 ( )/m π
第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算
例 题: 例4: 已知：MA = 180 N.m， MB = 320 N.m， MC = 140 N.m，
Ip= 3105 mm4，l = 2 m，G = 80 GPa，[] = 0.5 ()/m 。 AC=? 校核轴的刚度.
1 1 2 2
解：1.变形分析
T1 M A 180 N m
T1l AB 1.50 10-2 rad GI p
T2 MC 140 N m
T2l BC 1.17 10-2 rad GI p
第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算
b′
AC AB BC 1.50 10-2 1.17 10-2 0.33 10-2 rad
2.刚度校核
T d 1 dx 1 GIp
180 N m 180 d 0.43 ( ) / m [ ] 9 5 -12 4 dx max (80 10 Pa)(3.0 10 10 m ) π
T d 2 dx 2 GI p
因 T1 T2
T d d 故 1 dx max dx 1 GI p
注意单位换算！
第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算
例5 : 试计算图示圆锥形轴的总扭转角。
x d(x)
解：
l
T dx GI p ( x )
d d πd 4 ( x ) d ( x ) d1 2 1 x TM Ip ( x ) l 32 32Ml 1 1 32M l 1 0 d2 d1 4 dx 3Gπ(d2 - d1) d13 d23 Gπ d1 x 2
第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算
扭转静不定问题分析 问题: 试求图示轴两端的支反力偶矩
问题分析: M x 0,
M A MB M 0
(a)
未知力偶矩－2个，平衡方程－1个，一度静不定
第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算
M
x
0,
M A MB M 0
(a)
建立补充方程:
AB AC CB 0
AC
T1a ( M A )a GI p GI p
CB
T2b M B b GI p GI p
(b)
M Aa MBb 0
计算支反力偶矩: 联立求解方程(a)与(b)
MA Mb Ma ， MB ab ab
第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算
例 题
例 6 : 图示组合轴，承受集度为 m 的均布扭力偶，与矩
为 M = ml 的集中扭力偶。已知： G1 = G2 = G，Ip1 = 2Ip2 。 试求：圆盘的转角。
解：1.建立平衡方程 沿截面 B 切开,画受力图
第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算
M
x
0, T1 B T2 B ml
(a)
未知力偶矩－2个，平衡方程－1个，一度静不定
2.建立补充方程 1B 2 B －变形协调条件
1 B
lT ( x ) 1 dx 0 GI p1
T1 ( x ) T1 B m( l x )
教材选用：
哈尔滨建筑大学 重庆建筑大学 张如三 王天明
中国建筑工业出版社
课件制作：陶钦贵
第三章 扭转
第一节 概述 第二节 外力偶矩T与内力扭矩M 第三节 等直圆杆扭转时的应力与变形 第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算 第五节 切应力互等定律的证明 第六节 矩形截面等直杆在自由扭转时的应力和变形
第一节 概述
扭转实例
F
Me
F
第一节 概述
扭转及其特点
外力特征：作用面垂直于杆轴的力偶 变形特征：各横截面间绕轴线作相对旋转，轴线 仍为直线－扭转变形 扭转与轴：以扭转变形为主要特征的变形形式－扭转 以扭转为主要变形的杆件－轴 扭 力 偶：作用面垂直于杆轴的力偶－扭力偶 扭力偶矩：扭力偶之矩－扭力偶矩或扭力矩
目 录
第二节 外力偶矩T和内力偶矩M
外力偶矩计算－轴的动力转递 • 已 知 ： 动 力 装 置 的 输 出 功 率 Nk （ kW ） , 转 速 n （r/min）。 • 试求：传递给轴的扭力偶矩 M（kN.m）。
2πn N k M M 60
设角速度为 (rad/s)
Nk M 9.55 (kN m) n 例: Nk＝5 kW, n=1450 r/min, 则： 5 kW M＝ 9.55 (kN m) 32.9 N m 1450r/min
第二节 外力偶矩T和内力偶矩M
扭矩与扭矩图 扭矩：
扭矩定义－矢量方向垂直于横截面的内力偶 矩，并用 T 表示。 符号规定－矢量方向与横截面外法线方向一 致的扭矩为正，反之为负。
第二节 外力偶矩T和内力偶矩M
扭矩图:
试分析轴的扭矩 （m－轴单位长度内的扭力偶矩）
M A ml
T M A mx
T m( l x )
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图
第二节 外力偶矩T和内力偶矩M
例 题 例1 : MA=76 Nm, MB=191 Nm, MC=115 Nm, 画扭矩图. 解：
T1 M A 76 N m T2 M C 0
T2 M C 115 N m
第二节 外力偶矩T和内力偶矩M
例2: 轴在MA作用下旋转，飞轮转动惯量为J,画扭矩图
解：
MA J
惯性力偶矩:
Mε J M A T1 M A T2 0 Tmax M A
目 录
面积对转轴的平方矩。 从另一个角度说, 力矩/角加速度=转动惯量
第二节 外力偶矩T和内力偶矩M
观察变形现象:
各圆周线的形状不 变,仅绕轴线作相对转 动. 当变形很小时，各 圆周线的大小与间距 均不改变.
扭转平面假设: 各横截面如同刚性平面，仅绕轴线作相对转动
第三节 等直圆杆扭转时的应力与变形
扭转
第三节 等直圆杆扭转时的应力与变形
扭转应力分析
取楔形O1O2ABCD 为研究对象.
微段扭转变形 dj
第三节 等直圆杆扭转时的应力与变形
几 tan dd' 物 d G ad 何 dx 理 方 d 方 d / dx－扭转 dx 面 面 角变化率
静 力 学 方 面
A
dA T
第三节 等直圆杆扭转时的应力与变形
G d 2dA T dx A d T dx GIp
应力与变形公式:
最大剪应力:
I p 2dA －极惯性矩 A T Ip
max TR T
Ip T max Wp IP R
Ip Wp －抗扭截面系数 R
第三节 等直圆杆扭转时的应力与变形
扭转应力
结
论:
研究方法：从试验、假设入手，综合考虑 几何、物理与静力学三方面。
d T 扭转变形基本公式： dx GI p
T 扭转切应力公式： Ip T max 最大扭转切应力： Wp
公式的适用范围：圆截面轴: max≤p
第三节 等直圆杆扭转时的应力与变形
圆轴扭转变形 圆轴扭转一般情况:
d T dx GI p
T ( x) d dx GI p ( x )
T ( x) dx l GI ( x ) p
GIp－圆轴截面扭转刚度，简称扭转刚度。 对于常扭矩、等截面圆轴:
Tl GIp
第三节 等直圆杆扭转时的应力与变形
薄壁圆管扭转切应力
◆应力公式:
假设:
2π
切应力沿壁厚均匀分布
2 T 0 R0 R0d 2πR0 T 2 2πR0 δ
第三节 等直圆杆扭转时的应力与变形
◆适用范围:
适用于所有匀质薄壁杆，包括弹性、非弹
性、各向同性与各向异性情况。
◆公式精度:
T 2 2πR0
在线弹性情况下，精确解：
max
16T πD3(1 4 )
当 ≤RO /10 时，误差≤4.53
第三节 等直圆杆扭转时的应力与变形
极惯性矩与抗扭截面系数
空心圆截面 dA 2πd
Ip
d / 2
D/ 2
2 2π d
πD 4 Ip 1 4 32 πD 3 Wp 1 4 16
d D
实心圆截面
πd 3 Wp 16
πd 4 Ip 32
目 录
第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算
圆轴扭转强度条件
max [ ]
变截面圆轴:
T max W p max
[ ]
u
n
Tu---材料的扭转极限应力
n ---安全因数
等截面圆轴:
Tmax max Wp
塑性材料： [] =（0.5~0.577）[]
脆性材料： [] = （0.8~1.0）[t]
第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算
圆轴合理强度设计
1.合理截面形状
空心截面比实心截面好
若 Ro/ 过大，则将产生 皱褶（即局部失稳）
第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算
2.采用变截面轴与阶梯形轴
注意减缓应力集中
第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算
例 题: 例1: 已知 T=1.5 kN . m，[ ] = 50 MPa，试根据强度条件设
计实心圆轴与 = 0.9 的空心圆轴。
解： 1.确定实心圆轴直径 T max [ ] max [ ] 3 πd
16
16T 3 16(1.5 103 N m) 0.0535 m d 6 π[ ] π(50 10 Pa)
3
取： d 54 mm
第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算
2.确定空心圆轴内、外径
3 πdo Wp 14 16
16T π 3 do (1 4) 16
[ ]
do
3
16T 76.3 mm 4 π (1 )[ ]
di do 68.7mm
取：do 76 mm， di 68 mm
3.重量比较
π 2 2 (do di ) 4 39.5% π 2 d 4
空心轴远比 实心轴轻
第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算
例2: R0＝50 mm的薄壁圆管，左、右段的壁厚分别为 1 5
mm，2 4 mm，m = 3500 N . m/m，l = 1 m，[] 50 MPa，试 校核圆管强度。
解： 1.扭矩分析 2.强度校核
危险截面：A、B处
B
A
TA ml 44.6 MPa [ ] 2 2 2πR0 1 2πR0 1 ml TB 2 27.9 MPa [ ] B 2 2 2πR0 2 2πR0 2
第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算
例3：密圈螺旋弹簧应力分析 解： 1.内力分析
F＝F S
FD T 2
第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算
2.应力分析
4FS 4F 2 2 πd πd
" max
T FD 16 8 FD 3 Wp 2 d d 3
" max
max
8FD d 3 1 πd 2D
3.应力修正公式
8FD 4m 2 max 3 πd 4m 3 （当 m D 10 时） d
第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算
圆轴扭转变形
d T dx GI p
圆轴扭转一般情况:
T ( x) d dx GI p ( x )
T ( x) dx l GI ( x ) p
GIp－圆轴截面扭转刚度，简称扭转刚度
对于常扭矩、等截面圆轴:
Tl GI p
第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算
圆轴扭转刚度条件
d T dx GI p
T GI p [ ] max
--圆轴扭转刚度条件
[ ]－单位长度的许用扭转角 一般传动轴， [ ] = 0.5 ~1 ()/m 注意单位换算: 1 rad / m
180 ( )/m π
第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算
例 题: 例4: 已知：MA = 180 N.m， MB = 320 N.m， MC = 140 N.m，
Ip= 3105 mm4，l = 2 m，G = 80 GPa，[] = 0.5 ()/m 。 AC=? 校核轴的刚度.
1 1 2 2
解：1.变形分析
T1 M A 180 N m
T1l AB 1.50 10-2 rad GI p
T2 MC 140 N m
T2l BC 1.17 10-2 rad GI p
第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算
b′
AC AB BC 1.50 10-2 1.17 10-2 0.33 10-2 rad
2.刚度校核
T d 1 dx 1 GIp
180 N m 180 d 0.43 ( ) / m [ ] 9 5 -12 4 dx max (80 10 Pa)(3.0 10 10 m ) π
T d 2 dx 2 GI p
因 T1 T2
T d d 故 1 dx max dx 1 GI p
注意单位换算！
第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算
例5 : 试计算图示圆锥形轴的总扭转角。
x d(x)
解：
l
T dx GI p ( x )
d d πd 4 ( x ) d ( x ) d1 2 1 x TM Ip ( x ) l 32 32Ml 1 1 32M l 1 0 d2 d1 4 dx 3Gπ(d2 - d1) d13 d23 Gπ d1 x 2
第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算
扭转静不定问题分析 问题: 试求图示轴两端的支反力偶矩
问题分析: M x 0,
M A MB M 0
(a)
未知力偶矩－2个，平衡方程－1个，一度静不定
第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算
M
x
0,
M A MB M 0
(a)
建立补充方程:
AB AC CB 0
AC
T1a ( M A )a GI p GI p
CB
T2b M B b GI p GI p
(b)
M Aa MBb 0
计算支反力偶矩: 联立求解方程(a)与(b)
MA Mb Ma ， MB ab ab
第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算
例 题
例 6 : 图示组合轴，承受集度为 m 的均布扭力偶，与矩
为 M = ml 的集中扭力偶。已知： G1 = G2 = G，Ip1 = 2Ip2 。 试求：圆盘的转角。
解：1.建立平衡方程 沿截面 B 切开,画受力图
第四节 圆杆扭转时的强度与刚度计算
M
x
0, T1 B T2 B ml
(a)
未知力偶矩－2个，平衡方程－1个，一度静不定
2.建立补充方程 1B 2 B －变形协调条件
1 B
lT ( x ) 1 dx 0 GI p1
T1 ( x ) T1 B m( l x )