多元统计分析第5章层次分析法

若取重量向量W＝ [W1，W2，… ， Wn]T ，则有： AW＝n•W W是判断矩阵A的特征向量，n是A的一个特征值。根据线性代数 知识可以证明，n是矩阵A的唯一非零的，也是最大的特征值。

上述事实告诉我们，如果有一组物体，需要知道它们的重量，而又 没有衡器，那么就可以通过两两比较它们的相互重量，得出每一对 物体重量比的判断，从而构成判断矩阵；然后通过求解判断矩阵的 最大特征值λ max和它所对应的特征向量，就可以得出这一组物体 的相对重量。
5.3 层次分析法的步骤

1 建立层次结构模型
将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策 对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层 和最低层，绘出层次结构图。 最高层—目标层：决策的目的、要解决的问题。
中间层—准则层：考虑的因素、决策的准则。


最低层—方案层或措施层：决策时的备选方案。
n
归一化：
T
i
Wi W
T
W
i 1
n
i
(i 1,2,n)
则W W1,W2 ,,Wn 即为所求得特征向量

计算最大特征根
max
( AW ) i nWi i 1
n
( AW )i 表示向量AW的第i个分量
5.3 层次分析法的步骤


一致性检验
判断矩阵中的aij是根据资料数据、专家的意见和系统分析人 员的经验经过反复研究后确定。应用层次分析法保持判断思 维的一致性是非常重要的，只要矩阵中的aij满足三条关系式 （aii = 1；aji = 1/ aij；aij = aik/ ajk (i,j,k=1,2,….n) ）时，就说 明判断矩阵具有完全的一致性。
1 2 500
500 n 1
n
下表给出了1-16阶正互反矩阵计算500次得到的平均随机一 致性指标 。
2 0 3 0.58 4 0.9 5 1.12 6 1.24 7 1.32 12 1.54 13 1.56 14 1.58 15 1.59 16 1.6
1 0
5.3 层次分析法的步骤
5.3 层次分析法的步骤
目标层
w1 准 则 层 准 则 1 准 则 2 w2 目标A
w3 准 则 3
w4
准 则 4
w5 准 则 5
w6 准 则 6
方案层
甲
乙
丙
以选拔干部为例
目标层 选拔干部
准 则 层
品德 x1
才能 x2
资历 x3
年龄 x4
群众关系 x5
方案层
y1
y2
y3

常见的多级递阶结构：
健 全 医 疗 体 制
充 实 残 疾 人 治 疗 培 训 体 制

混合结构
特点：是上述两种结构的结合，是一个既非完全相关又非完 全独立的结构。
引进技术的综合效益
提高技术水平
提高经济效益
提高装备水平
提高企业素质
研究开 发能力
产品竞 争能力
国产化 水平
节汇创 汇水平
国内经 济效益
人的技 术素质
经营管 理水平
( AW )i 表示向量AW的第i个分量
n
5.3 层次分析法的步骤


方根法
计算判断矩阵每一行元素的乘积
M i aij (i 1,2,, n)
j 1 n
计算M i 的n次方根
将向量 W W 1 , W 2 , , W

： W i n M i (i 1,2,, n)
完全相关性结构：上一层次的每一要素与下一层次 的所有要素完全相关
完全独立性结构：上一层要素都各自有独立的、完 全不同的下层要素。 混合性结构：是上述两种结构的结合，是一个既非 完全相关又非完全独立的结构。



完全相关性结构
特点：上一层次的每一要素与下一层次的所有要素完全相关 eg 购一台满意的 设备 功能 强 价格 低 容易维 修

Cs
p1
p1 a11
p2 a12
… …
… …
pn a1n
p2
…
a21
…
a22
…
…
…
…
…
a2n
…
pn
an1
an2
…
…
ann
判断矩阵A中的元素aij表示依据评价准则C,要素ai对aj的相对重要性。 aij的值是根据资料数据、专家意见和评价主体的经验，经过反复研究后确定的。
5.3 层次分析法的步骤

为了使判断定量化，关键在于设法使任意两个方案对于某一 准则的相对优越程度得到定量描述。一般对单一准则来说， 两个方案进行比较总能判断出优劣，层次分析法采用1-9标度 方法，对不同情况的评比给出数量标度。 标 度 1 定义与说明 两个元素对某个属性具有同样重要性
第5章 层次分析法（AHP）
duoyuanfenxi@ 曲阜师范大学经济学院
第5章 层次分析法（AHP）

5.1 AHP概述
5.2 AHP的基本原理
5.3 AHP的步骤 5.4 AHP的应用案例分析
5.1 AHP概述

层次分析法（Analytical Hierarchy Process，简称AHP方法)是 由美国运筹学家萨蒂（A.L.Saaty）于20世纪70年代提出，是 一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的多目 标属性决 策方法。AHP的特点是：
A
B
C

完全独立性结构
特点：上一层要素都各自有独立的、完全不同的下层要素。
减少交通事故损失
防止事故发生
减少事故损失
促进恢复
提 高 司 机 的 安 全 责 任 感
提 高 车 辆 的 操 作 技 能
改 善 道 路 设 施
提 高 车 辆 安 全 保 障 功 能
加 强 十 字 路 口 交 通 管 理
充 实 急 救 医 疗 体 制

5.2 基本原理——先分解后综合的系统思想

层次分析法根据问题的性质和要达到的总目标，将 问题分解为不同的组成因素，并按照因素间的相互 关联影响以及隶属关系将因素按不同层次聚集组合， 形成一个多层次的分析结构模型，从而最终使问题 归结为最低层(供决策的方案、措施等)相对于最高 层(总目标)的相对重要权值的确定或相对优劣次序 的排定。
5.3 层次分析法的步骤

判断矩阵一致性指标C.I.(Consistency Index)： CI n 1 一致性指标C.I.的值越大，表明判断矩阵偏离完全一致性 的程度越大， C.I.的值越小，表明判断矩阵越接近于完全 一致性。一般情况下，若C.I. ≤0.10,就认为判断矩阵具有一 致性。据此而计算的值是可max n，其余特征根为零； 当矩阵A不具有完全一致性时， 则有1 max n，其余特征根之和 n - max

若A为一致阵,则对应于特征根n的,归一化的特征向量(即分量 之和为1)即表示各因素对上一层因素Z的权向量,各分量即为 各因素对于Z的权重
系 统 要 素 层 次 矩 阵 权 重
AHP决策分析方法的基本原理，可以用以下 的简单事例分析来说明。 假设有n个物体A1，A2，…，An，它们的重量 分别记为W1，W2，…，Wn。现将每个物体的重量 两两进行比较如下：

若以矩阵来表示各物体的这种相互重量关系，
W1 / W1 W2 / W1 A W / W 1 n W1 / W2 W2 / W2 Wn / W2 W1 / Wn W2 / Wn A称为判断矩阵。 Wn / Wn

当 n<3时，判断矩阵永远具有完全一致性。但随着 n的增加判断误差就会增加，因此对于多阶判断矩 阵，判断一致性时应考虑到n的影响，使用随机性 一致性比值C.R. =C.I./ R.I.，即使用判断矩阵一致性 指标 C.I. 与同阶平均随机一致性指标R.I. 之比来确 定A的不一致性的容许范围。 当 C.R.< 0.10 时，便认为判断矩阵具有可以接受 的一致性，此时可用A的特征向量作为权向量。 当C.R. ≥0.10 时，就需要调整和修正判断矩阵，使 其满足C.R.< 0.10 ，从而具有满意的一致性。
a ij aij
a
n
kj
(i 1,2,, n)


n

T
归一化：
Wi a ij (i 1,2,, n)
j 1
n
Wi W
i
W
i 1
n
i
(i 1,2,n)
则W W1,W2 ,,Wn 即为所求得特征向量
T
( AW )i 计算最大特征根： max i 1 nW i
max n

引入平均随机一致性指标 R.I.(Random Index),随机构造 500个成对比较矩阵： A1, A2 ,, A500 ，可得一致性指标
CI1, CI 2 ,, CI500

CI1 CI 2 CI 500 RI 500
平均随机一致性指标
8 1.41 9 1.45 10 1.49 11 1.52
wi wj
相对于准则层，候选人之间的对比矩阵 成对比较三个候选人的品德 ，得成对比较矩阵B1
成对比较三个候选人的才能 ，得成对比较矩阵B2
1 成对比较三个候选人的资历 B3 1 1 ，得成对比较矩阵B3 3
成对比较三个候选人的年龄 ，得成对比较矩阵B4
1 3 1 3 1 1 3


其中 wi 0, wi 1 ，则 w1 , w2 ,..., wn叫各因素对于目标Z的 i 1 权重, w (w1 , w2 ,..., wn )T 叫权向量.
n
1 1
2
2
n
n
5.3 层次分析法的步骤


求和法步骤
每一列归一化： k 1 对按列归一化的判断矩阵，再按行求和： 将向量 W W ,W ,,W 1 2
3 1 1
4 1 1
5.3 层次分析法的步骤

3 层次单排序及其一致性检验 层次单排序就是把本层所有各元素对上一层来说，排出评比 顺序。 层次单排序可归结为计算判断矩阵的特征向量：先求出最大 特征根，然后再计算最大特征向量Ｗ。最常用的方法是求和 法、迭代法、方根法和特征根法。 AＷ＝λmaxＷ，其中Ｗ的分量（Ｗ１，Ｗ２，· · · ，Ｗn）就是对 应于n个要素的相对重要度，即权重系数。 在决策问题中，通常要把变量Z表成变量x1,x2, … , xn的线性 组合: z w x w x w x
5.3 层次分析法的步骤


0 明确问题 1 建立层次结构模型 2 构造（两两比较的）判断矩阵 3 层次单排序及其一致性检验（单一准则下的排序） 4 层次综合排序及其一致性检验
5.3 层次分析法的步骤

0 明确问题
在分析社会、经济的以及科学管理等领域的问 题时，首先要对问题有明确的认识，弄清问题的范 围，了解问题所包含的因素，确定出因素之间的关 联关系和隶属关系。

分析思路清楚，可将系统分析人员的思维过程系统化、数学化 和模型化；

分析时需要的定量数据不多，但要求对问题所包含的因素及其 关系具体而明确；
适用于多准则、多目标问题的决策分析，广泛用于地区经济发 展方案比较、科学技术成果评比、资源规划和分析、企业人员 素质测评、环境整治与污染控制、能源政策和分配、军事指挥、 运输、农业、教育、医疗等社会、经济以及科学管理领域的较 为复杂、较为模糊的问题分析中。在目标因素结构复杂且缺乏 必要数据的情况下使用更为方便。
5.3 层次分析法的步骤


2 建立（两两比较的）判断矩阵
判断矩阵表示针对上一层次某元素，本层次与它有关元素之 间相对重要性的比较。 判断矩阵A具有如下特征：①aij >0; ②aii = 1（对角线上的元 素）；③aji = 1/ aij（以对角线对称的元素互为倒数）；④aij = aik/ ajk (i,j,k=1,2,….n)。满足前三个条件的矩阵为正互反矩阵。
1 1 B2 2 1 5
2 1 1 2
5 2 1
成对比较三个候选人的群众关 系，得成对比较矩阵B5
1 B5 1 4
1 1 4
1 1 B4 3 1 1 4
4 1 4 1
品 才 资 岁 群
xi 比 xj 同样重要 a ij 值 1
才 资 岁 群
稍重要
重要 很重要 极重要
3
5 7 9
①aij >0; ②aii = 1（对角线上的元素）；③aji = 1/ aij（以对角线 对称的元素互为倒数）；④aij = aik/ ajk (i,j,k=1,2,….n)。 设第 i个因素的重要性指标为 wi , 则有 a ij wi w j aik 易知 aij a jk aij = aik/ ajk w j wk ：
3
5 7 9 2,4,6,8 1/aij
两个元素比较，一元素比另一元素稍微重要
两个元素比较，一元素比另一元素明显重要 两个元素比较，一元素比另一元素重要得多 两个元素比较，一元素比另一元素极端重要 表示需要在上述两个标准之间拆衷时的标度 两个元素的反比较
例：干部选拔
(行比列) 品
判断矩阵1：相对于目标层，准则层间的对比矩阵