余弦定理(一)

先求较短的 两边的对角 比较方便！
题型二
已知三角形的三边解三角形
限时训练
当 堂 练 习 巩 固 新 知
1、在△ABC中，符合余弦定理的是（ A ） A、c2=a2+b2－2abcosC B、c2=a2+b2－2abcosA C、c2=a2-b2－2abcosC D、c2=a2+b2+2abcosC
明 确 目 标 有 的 放 矢
学习目标：
（1）会证明余弦定理及其推论 ； （2）会利用余弦定理解决简单的解三角形问题.
重点：余弦定理的证明过程和定理的应用. 难点：余弦定理的证明.
余弦定理的内容是什么？
预 学 检 测
文字语言：
三角形任何一边的平方等于其他两边平方 的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
c
2
a
2
b 2 ab cos C
2
a
2
b c 2bc cos A
2
合 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA 的夹角为C， 求边c. 作 设 CB a , CA b , AB c 探 由向量减法的三角形法则得 c a b 究 收 获 新 知
又 B∈(0，π)，∴B＝3.
π 3 .
已知三边的关系， 也可以求角！
总 结 反 思
三角形中的边角关系
a b c 2bc cos A
2 2 2
余弦定理
(2) (1) 求已 其知 余两 的边 边和 和它 角们 。的 夹 角 ， 已 知 三 边 ， 求 三 个 角
b2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b 2 2ab cos C
余弦定理如何证明？ 合 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA 的夹角为C， 求边c. 作 向量法 探 设 CB a , CA b , AB c 究 1.向量减法的三角形法则是什么？ 收 获 新 知
知 CB CA AB 识 准 2.向量的数量积的定义是什么？ 备 a b a b cos
实 例
引
入
（1）该问题属于什么样类型的解三角形的问题？
（2）该问题能直接用正弦定理求解吗？ 不能 已知两边及其夹 角，求第三边.
1.1.2 余弦定理(一)
明 确 目 标 有 的 放 矢
三维目标
1.知识与技能： （ 1 ） 会推证余弦定理
及其推论 ； （ 2 ） 会利用余弦定理 解决简单的解三角形问 题.
1.1.2 余弦定理(一)
正弦定理
复 习 旧 知
a b c 2R (1) 正弦定理： sin A sin B sin C
(2)什么叫解三角形？ 由三角形中已知的边和角求出未知的边和角的过程， 就叫解三角形. (3)正弦定理可以解决解三角形中的哪两类问题？
① 已知两边和其中一边的对角，求其余的边和角; ② 已知两角和任一边，求其余的边和角.
2.过程与方法： （ 1 ） 使学生经历公式
的推导过程，培养严谨 的逻辑思维 ； （ 2 ） 培养学生归纳总 结能力以及运用所学知 识解决实际问题的能力 .
3. 情感态度与价值 观： （1）让学生感受数学
的美，激发学生学习数 学的兴趣 ； （2）通过主动探索， 合作交流，感受探索的 乐趣和成功的体验，体 会数学的理性和严谨 。
2 2 2
余弦定理
公 式 剖 析
另外两边
a2=b2+c2-2bc cosA
一组对应的边和角Fra Baidu bibliotek
三个式子为轮换式，其余类似!
余弦定理
2 2 2 a =b +c -2bccosA 2 2 2 b =c +a -2cacosB
变形
推论
c2=a2+b2-2abcosC
思考:1、用余弦定理及其推论能解决哪些解三角形的问题？
内 cosA= b2+c2 - a2 2bc 化 2+c2 - b2 a 新 cosB= 2ac 知 cosC= a2+b2 - c2
2ab
定 理 内 容
定 理 证 明
向量法
定 理 应 用
课 后 作 业 强 化 新 知
1.教材P8:练习题第1、2题
2.思考如何利用其他方法证明余弦定理？
感谢各位评委老师！ 祝同学们学习愉快，天天进步！
符号语言：
推论： b2+c2 - a2 cosA= 2 2 2 2bc a b c 2bc cos A 2+c2 - b2 a 2 2 2 cosB= b a c 2ac cos B 2ac 2+b2 - c2 2 2 2 a c a b 2ab cosC cosC= 2ab
﹚
余弦定理如何证明？ 合 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA 的夹角为C， 求边c. 作 向量法 探 设 CB a , CA b , AB c 由向量减法的三角形法则得 c a b 究 c c c ( a b) ( a b)
25 75 75 25
题型一 已知两边及其夹角解三角形
a 5, 又 b 5 B A 30

C 180 30 30 120 .
合 例2.在Δ ABC中， a 2, b 2 2, c 6 2, 解此三角形. 作 探 解： 究 理 解 新 知
新 知 应 用
解 解：由余弦定理，得 决 2 2 2 0 BC AB AC 2 AB AC cos 120 问 1 2 2 4 5 2 4 5 ( ) 题 2
61(km)
合 在△ABC中，已知b =5,c= 5 3 ,A=300,解三角形. 作 解：由余弦定理得， a2＝b2＋c2－2abcos A 探 2 2 5 5 3 2 5 5 3 cos30 究 理 解 新 知
(1)已知两边及夹角解三角形；(2)已知三边解三角形. 思考:2、余弦定理和勾股定理有什么关系？
在△ABC中, A=900 cosA=0 a2＝b2＋c2－2abcos A ＝b2＋c2 余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例.
2+c2 - a2 b cosA= 2bc 2+c2 - b2 a cosB= 2ac 2+b2 - c2 a cosC= 2ab
解析: 由余弦定理知只有A正确.
当 堂 检 测 巩 固 新 知
2 19 2.在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c =______
解析
2
由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C
2
1 ＝4 ＋6 －2×4×6×(－2)＝76，
∴c＝2 19.
当 3.在△ABC中，若a2＋b2－c2＝ab，则角C的大小为 堂 a2＋b2－c2 ab 1 检 解析 cos C＝ ＝ ＝ ， 2ab 2ab 2 测 π 巩 固 新 知
谢谢
c
在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA 的夹角为C， 求边c.
c c ( a b) ( a b)
2
﹚
收 获 新 知
a a b b 2a b
a b
2
2 a b cos C
2
a 2 b 2 2 ab cos C
c
2
c c ( a b) ( a b)
﹚
a a b b 2a b 2 2 a b 2 a b cos C
a b 2 ab cos C
2 2
c a b 2 ab cos C 2 2 2 a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2 ac cos B
2
收 获 新 知
a a b b 2a b
a
2
b
2
2 a b cos C
﹚
a 2 b 2 2 ab cos C
c 2 a 2 b 2 2 ab cos C
合 设 CB a , CA b , AB c 作 由向量减法的三角形法则得 探 c a b 究 2