高等数学：第1节：多元函数的概念

单值分支: z a2 x2 y2
o
y
x
z a2 x2 y2.
三、多元函数的极限
一元函数极限回顾： 如果在 x x0 的过程中， f (x) 无限接近一个确定常数 A ，就称 A 是 f (x)
当 x x0 时的极限，记为 lim f ( x) A x x0
语言 : 0, 0, 当 0 | x x0 | 时,
x
y2
所求定义域为 D {( x, y) | 2 x2 y2 4, x y2 }.
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二元函数 z f ( x, y) 的图形
设函数z f ( x, y)的定义域为 D，对于任意取定 的 P( x, y) D ，对应的函数值为z f ( x, y)，
这样，以 x 为横坐标、y 为纵坐标、z 为竖坐标 在空间就确定一点M ( x, y, z)，
例如，{( x, y) | 1 x2 y2 4}
有界闭区域；
U(O, 3) {( x, y) | x2 y2 9}
y
{( x, y) | x y 0}
无界开区域．
o
x
（3）聚点
如果对于任意的 > 0 , 点 P 的去心邻域 U(P, )
内总有 E 中的点，则称点 P 是点集 E 的聚点
y
E
•P
o 1x
思考题：边界点是否一定是聚点？反之，聚点是否 一定是边界点？
二、多元函数的概念
定义:设 D 是 R2的一个非空子集. 如果 P( x, y) D,
按照某种法则 f,都有唯一确定的实数 z 与之对应, 则称 f 是 D 上的二元函数, 记为
z f (x, y),(x, y) D 或 z f (P),P D. 其中 D 称为函数的定义域， x, y 称为自变量， z 为因变量.
E
•P
且该折线上的点都属于 D，
•
则称开集 D 是连通的．
•
连通的开集称为开区域，简称区域．
例如， {( x, y) | 1 x2 y2 4}. y
o
x
开区域连同它的边界一起称为闭区域.
例如，{( x, y) | 1 x2 y2 4}. y
o
x
对于点集 E 如果存在正数 r ，使得 E U(O, r), 则称 E 为有界点集，否则称为 无界点集．
f 称为对应规则或函数，f ( x , y ) 称为 f 在点 ( x , y ) 处的函数值。
函数值的全体所构成的集合称为函数 f 的值域，记作
f (D) z | z f ( x, y), ( x, y) D
函数与选用的记号无关，如 z ( x, y), z z( x, y)
类似地可定义三元及三元以上函数．
说明： I： 内点一定是聚点；
II： 在 U ( P, 内) ，总有 E 的无穷多个点；
III： 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．
例如, E {( x, y) | 0 x2 y2 1}
y
(0,0) 是聚点但不属于E．
•
x
又如, E {( x, y) | x2 y2 1} • E中任何一点都是 E 的边界点， • E 中的任何一点都是 E 的聚点。
当n 2时，n 元函数统称为多元函数.
n 元函数通常记为 u f ( x1, x2 xn ), ( x1, x2 xn ) D Rn 或简记为 u f ( x), x ( x1, x2 xn ) D Rn
u f (P), P ( x1, x2 xn ) D Rn 其中 u f ( P ) 又称为点函数. 当点P R时, u f (P )即为一元函数.
有 | f ( x) A | , 则记 lim f ( x) A x x0
二元函数的极限： 如果在 P( x, y) P( x0, y0 )的过程中 f (x, y ) 无限接近一个确定常数 A ，就称 A 是 f (x, y )
也有不属于 E 的点（点 P 本身可以属于E ， 也可以不属于E），则称 P 为 E 的边界点．
E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记为E．
外点：如果存在 U( P ) , 使得 U(P ) E ,
•P
则称点P 为 E 的外点
连通集：设 D 是开集．如果对于 D 内
任何两点，都可用折线 连结起来，
（2）区域
内点：设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的一个点
如果存在点 P 的某一邻域 U(P) E ，
则称Ｐ为Ｅ的内点． Ｅ的内点属于Ｅ．
如果点集Ｅ的点都是内点，
•P
则称Ｅ为开集．
例如，E1 {( x, y)1 x2 y2 4}
E
即为开集．
•
边界点： 如果点 P 的任一个邻域内既有属于 E 的点，
第一节 多元函数的基本概念
• 一、平面点集 • 二、多元函数概念 • 三、多元函数的极限 • 四、多元函数的连续性 • 五、小结 练习题
一、平面点集
（1）邻域
设 P0 ( x0 , y0 )是 xoy平面上的一个点， 是某一正数，
与点 P0 ( x0 , y0 )距离小于 的点 P( x, y)的全体，
当 P ( x, y ) 取遍 D 上一切点时, 得到空间点集
{( x, y, z) | z f ( x, y), ( x, y) D}，
这个点集称为二元函数的图形. （如下页图）
二元函数的图形通常是一张曲面.
例如, z sin xy
x2 y2 z2 a2
z
D {( x, y) x2 y2 a2 }.
称为点 P0 的 邻域，记为 U ( P0 , )，简记为 U (P0 )
U(P0 , ) P | PP0 |
{ ( x, y) | ( x x0 )2 ( y y0 )2 }.
U(P0 , ) {P | 0 | PP0 | }
•P
• P0
{ ( x, y) | 0 ( x x0 )2 ( y y0 )2 }.
当点P R2时, u f ( P )即为二元函数.
与一、二元函数一样，多元函数中同样有定义 域、值域、自变量、因变量等概念.
例1 求 f ( x, y) arcsin(3 x2 y2 ) 的定义域． x y2
解
3 x2 y2 1
x y2 0
x y2
2 x2 y2 4