基于反演的二阶滑模控制

基于反演的二阶滑模控制
赵红超 顾文锦 于进勇
海军航空工程学院，山东烟台，264001
摘要：二阶滑模控制能够有效地削弱抖振现象，增强系统的鲁棒性。反演设计方法能够保证系统的渐近稳定 性，但在应用中存在“计算膨胀”的问题。为了简化控制器的设计，提出了一种基于反演的二阶滑模控制方 法。该控制方法不仅保证了系统的渐近稳定性，而且使系统具有强鲁棒性。最后，通过仿真实例证明该控制 方法是很有效的。
近稳定的。
3 基于反演的二阶滑模控制
给定仿射型非线性系统
416
⎧x& = f (x) + g(x)u
⎨ ⎩
y
=
h(x)
式中 x = (x1, x2 , L, xn )T ，当系统在 x = x0 点处的相对度为 r = n 时，可以通过坐标变换
[ ] z
=
h(
x),
L
f
h( x),
L,
Ln−1 f
n−1
∑ σ (z) = zn + ci zi = 0 i =1
式中 ci ( i = 1, L, n −1) 均为正常数。如果σ 有直到 r 阶的导数，则高阶（ r 阶）滑模控制
的滑模流形由如下方程组确定
σ = σ& = L = σ (r−1) = 0 二阶滑模控制以控制信号 v(t) = u&(t) 作为控制输入代替实际的控制信号 u(t) ，考察σ (z) 求
⎜⎜⎝⎛
x&1 x& 2
⎟⎟⎠⎞
=
⎜⎜⎝⎛
f1
+ g1x2 f2
⎟⎟⎠⎞
+
⎜⎜⎝⎛
0 g
2
⎟⎟⎠⎞ x3
x&3 = u2
同理，根据公式（3）求得控制量 u2 为
[ ] u2
= − ∂V2 ∂ x2
g 2 (x1,
x2 ) − k2
x3
− φ2 (x1,
x2 )
+ φ&2
（8）
式中， φ&2
=
∂φ 2 ∂ x1
稳定此平衡点。
对于 z& 子系统，将 xn 作为虚拟控制输入，设计状态反馈控制 xn = φ (z) ，φ (0) = 0 ，因 此， z& 子系统变为
z& = f (z) + g(z)φ (z)
构造 Lyapunov 函数V1 (z) 能保证 z& 子系统的原点是渐近稳定的，即构造函数V1 (z) ≥ 0 （当
− φ1 (x1 )]+
∂φ ∂ x1
[ f1 (x1 )
+
g1 (x1 )
x2
]
（6）
它可使 (x1, x2 ) 子系统的原点渐近稳定。相应的 Lyapunov 函数为：
[ ] V2
( x1 ,
x2
)
=
V1 (x1
)
+
1 2
x2
− φ1 (x1 )
2
将（6）式代回（5）式可得 (x1, x2 ) 子系统的虚拟控制输入
子系统的原点 x1 = 0 为渐近稳定，其 Lyapunov 函数为V1 (x1 ) ，满足
[ ] V&1
=
∂V1 ∂x1
f1 (x1 ) + g1 (x1 )φ1 (x1 ) ≤ −W1 (x1 )
416
第 2 步：考虑 (x1, x2 ) 子系统，将 x3 作为虚拟控制输入，并选取
[ ] x3
甚至导致系统的不稳定。另外，传统的滑模变结构控制要求切换函数对控制输入的相对阶为 1。为了克服上述缺陷，国内外一些学者提出了高阶滑模控制[1-3]，高阶滑模控制是对传统滑
模变结构控制理论的进一步发展，目前的研究重点是二阶滑模控制。二阶滑模控制就是将实
际控制信号的微分信号作为控制输入，设计为不连续信号，而相应的实际控制信号是连续的， 从而有效地削弱了传统滑模控制所存在的抖振现象[4]。
g(z)
− kζ
，k
>
0
，则V&2
≤
−W1 (z)
−
kζ
2 ，系统的原点是渐近稳定的。
相应的控制律为
u(z,
xn )
=
ζ&
+ φ&
=
−
∂V1 ∂z
g(z)
−
k[xn
− φ (z)] +
∂φ ∂z
[f
(z)
+
g(z)xn ]
（3）
对于严格反馈非线性系统
⎧ ⎨ ⎩
x&i x& n
= =
fi (x1, fn (x)
关键词：反演，二阶滑模控制，渐近稳定性，鲁棒性
Second-Order Sliding Mode Control Based on Backstepping
Zhao Hongchao Gu Wenjin Yu Jinyong
Naval Aeronautical Engineering Institute, Yantai, Shandong, 264001
Σ = σ& + µσ
（10）
下面首先应用反演设计方法推导系统（9）的控制律，当推导到第 n-1 步时停止，设此步
的 Lyapunov 函数为Vn−1 (z1, L, zn−1 ) ，且V&n−1 ≤ −W (z1, L, zn−1 ) ，W (z1, L, zn−1 ) 为正定
函数。
第 n 步：在反演中应用二阶滑模控制策略，构造 Lyapunov 函数为：Vn (z) = Vn−1 + Σ 2 2 ，
(
f1
+
g1x2 ) +
∂φ 2 ∂ x2
( f2
+
g 2 x3 ) 。该控制能渐近稳定 (x1,
x2 ,
x3 )
子系统的
[ ] 原点。相应的
Lyapunov
函数为：V3 (x1,
x2
,
x3
)
=
V2
( x1 ,
x2
)
+
1 2
x3 − φ2 (x1, x2 )
2 。将（8）
式代回（7）式即可得 (x1, x2 , x3 ) 子系统的虚拟控制输入 x4 。 依此类推，直到第 n 步即可确定控制律 u = φn (x) ，使得整个闭环系统的原点 x = 0 是渐
h(
x)
T
和非线性反馈变换为如下式的标准形式
⎧ ⎨ ⎩
z& z&
i n
= zi+1 i = 1, 2 , L , = V = b(z) + a(z)u
n −1
（9）
式中 z = (z1, L, zn ) ，具体内容可参考文献[8]，它属于严格反馈型系统。
对于系统（9），传统的滑模变结构控制在设计时，一般选取切换函数形式如下
−
1 a(z)
⎧ ⎨F (z, ⎩
u)
+
µ
⎡ ⎢⎣b(
z)
+
a( z )u
+
n−1 i =1
ci
⎤ zi+1 ⎥⎦
+
k1sign(Σ)
+
⎫ k2Σ⎬
⎭
（12）
416
∫ 而实际控制信号为 u = v dt 。此控制信号可保证系统（9）的原点是渐近稳定的，而且 u(t)
是连续的，系统不会有抖振现象。通过合理的选取参数 ci 可使得当 z → ∞ 时， Σ → ∞ ，
且仅当 z = 0 时V1 (z) = 0 ），使得
V& 1
=
∂V1 ∂z
[f
(z)
+
g(z)φ (z)] ≤
−W 1(z)
式中W1 (z) 为正定函数。重写系统方程（1）为如下形式
z& = f (z) + g(z)φ (z) + g(z)[xn − φ (z)]
x&n = u
引入新的误差变量ζ = xn − φ (z) ，则系统（1）变为 z& = f (z) + g(z)φ (z) + g(z)ζ
Vn → ∞ ，从而使原点为全局渐近稳定的平衡点。
综上所述，可以得到如下定理：
=
1 g 2 (x1,
x2 )
u1
−
f 2 (x1,
x2 )
（5）
则 (x1, x2 ) 子系统变为
x&1 = f1 (x1 ) + g1 (x1 ) x2 x&2 = u1
其形式与前面系统（1）相同，根据前面的推导可知控制量 u1 按公式（3）求得，
u1
=
−
∂V1 ∂ x1
g1 (x1 )
−
[k1 x2
ζ& = u − φ&(z)
构造 Lyapunov 函数
V2 (z, ζ ) =V 1(z) + ζ 2 2
则
V&2
=
∂V1 ∂z
[f
(z) +
g(z)φ (z)]+
∂V1 ∂z
g ( z )ζ
+ ζ ζ&
（2）
≤
−W1 (z) +
∂V1 ∂z
g ( z )ζ
+ ζ ζ&
因此选取 ζ&
=
−
∂V1 ∂z
1 引言
近十多年来，滑模变结构控制受到了国内外控制界的普遍重视。它具有许多优点，如响
应速度快、控制精度高、结构简单等，而且，由于滑动模态的存在，使得它对于外界干扰和
参数摄动具有很强的鲁棒性。但是，滑模变结构控制为了保证系统状态沿滑模面运动而需要
在不同的控制逻辑间来回切换，容易引起对系统不利的抖振现象，造成系统硬件部分的损坏，
Abstract: The second-order sliding mode control can effectively weaken the chattering phenominon and strengthen the robustness of system. The method of backstepping design can ensure the asymptotic stability of system, but it has the problem of the “explosion of calculation” in application. In order to simplify the controller, this paper proposes a method of second-order sliding mode control based on backstepping. It makes the system not only to be asymptotically stable, but also to have strong robustness. In the end of the paper, a simulation example is illustrated to prove that the control method is very effective. Keywords: backatepping, second-order sliding mode control, asymptotic stability, robustness
x3
= φ2 (x1,
x2 )
=
1 g2
⎢⎡− ⎣
∂V1 ∂ x1
g1
− k1 (x2
− φ1 ) +
∂φ ∂ x1
( f1
+
g1x2 ) −
⎤ f2 ⎥
⎦
第 3 步：考虑 (x1, x2 , x3 ) 子系统，将 x4 作为虚拟控制输入，并选取
x4
=
1 g3
(u2
−
f3)
（7）
则 (x1, x2 , x3 ) 子系统变为
反演设计[5，6]是一种非线性反馈控制设计方法，近年来的研究主要是应用于一些具有特
定结构的非线性系统，例如严格反馈非线性系统。它利用李雅普诺夫稳定性理论，从系统的
第一个状态子系统开始设计，通过“一步一步”的设计过程来推导控制律，结构严密，所得
到的控制律能够保证系统的渐近稳定性，在具有不匹配不确定性的非线性系统设计中获得了 重大的成功。但是此方法在应用中存在“计算膨胀”的问题[7]，使控制器变的复杂而难以实
现，为了简化控制器设计，本文提出一种基于反演的二阶滑模控制，该控制方法可充分发挥
二者的优势，不仅能保证系统的渐近稳定性，而且使系统具有强鲁棒性，因而是一种有效的
非线性系统设计方法。
2 反演设计方法
考察一类非线性系统
⎧ z& = f ( z )
⎨ ⎩
x&
n
=
u
+
g (z)
xn
（1）
415
式中 z = (x1 L xn−1 )T ， f (0) = 0 ， g(z) ≠ 0 。系统的原点是一个平衡点，控制的目的是要
一阶和二阶导数
n−1
∑ σ& (z) = b(z) + a(z) u + ci zi+1
i =1
∑ σ&&(z)
=
d dt
b(z)
+
d dt
a( z) u
+
a(z) u&
+
[ cn−1 b(z)
+
a( z )u ] +
wenku.baidu.com
n−2
ci zi+2
i =1
= F(z, u) + a(z)v
σ&&(z) 中出现了 v 的显示表示，因此，切换函数对控制输入的相对阶为 2。二阶滑模流形由 σ = σ& = 0 确定，本文选取为：
L, xi ) + gi + gn (x)u
( x1 ,
L,
xi
)
xi+1
(1 ≤ i ≤ n −1)
（4）
式中 x = (x1, L, xn ) ， fi ( ⋅ ) 、 gi ( ⋅ ) 均为光滑函数，且 fi (0) = 0 ， gi ( ⋅ ) ≠ 0 。利用
反演设计来推导控制律。
第 1 步：考虑系统（4）第一个子系统，将 x2 作为虚拟控制输入，选取 x2 = φ1 (x1 ) 使该
参考文献[1，9]，选取滑模到达律为
Σ& = −k1sign(Σ) − k2Σ , (k1, k2 > 0)
（11）
则
V&n = V&n−1 + Σ Σ& ≤ −W (z1, L, zn−1 ) − k1 Σ − k2Σ 2 = −Wn (z)
对（10）式求导并与（11）式联立可求得控制律为
∑ v
=