非线性时滞差分方程周期解的存在性

１ 引言
考虑非线性时滞差分方程 Ａ （） ｆｘｎ— ） ｘｎ ＝一 （（ ） 其中 ｆ∈Ｃ Ｒ， 是奇函数， （ Ｒ） 即对于任意的 ∈Ｒ，（ ＝一 （）Ｔ为给定的正整数 ． ，一 ） ， ，
方程 （．） 如下 Ｋａ ｌｎＹ ｒｅ型时滞微 分方程 的离散 类似 １１ 是 ｐａ—ｏｋ
显然， 推论 １ ． 由定理 １ １可 ． １直接得到 ． 例 １１ 考 虑方程 ．
Ａ（ ｘ
一
这 ，＝ ． 计可，＝ ２。 掣 ＝ 并 ，足论． 里（ 直 算得。 ） 接 口 墨 ＝ａ ，＝ ｏ ０ 且满推 １ ． １
的一切条件． 从而上述方程存在一个非常数的 ６ 周期解 满足 （ ＋３ ＝一 （） ｎ ） 佗．
考虑 定义在
．
＋ ２上的泛 函
４ ＋２ Ｔ ４ ＋２ Ｔ
，） （ ＝∑ （ ） ｎ ） 一∑ Ｆ （） ＋ 佗 ）
其中 Ｆ ＝ ／ ／ｓ ｓ （ ） （ ｄ． ）
（．） ２２
直接计算可知， Ｉ∈Ｃ （ ４＋ ， ， Ｅ Ｔ ２Ｒ）并且如果 ：｛ （） ∈甄Ｔ ２ 札｝ ＋ 是 的临界点， （） ， 即 ＝０
４Ｔ ＋ ２
＜ （， ＝∑ 【（＋ ） ｘ — ）（ 一 （竹 ） ｚ ｘ） ｌ） ｋ （礼 ＋ （ ）ｎ ， （）钆 ｎ ） ）（】
记
ｚｎ ＝ｘｎ＋Ｔ ＋ｘｎ— 一， 礼） （） （ ） （ ） （（）
贝 （ （） ） ｚＹ． ０ ， ＝（，） 由于 ‘ Ｊ Ｙ 厂 是奇函数， （＋ Ｔ １ ＝ ３ ＋ ） 礼 ） ， 礼 ２ ＋１ ＝ ｚｎ ２ ＋ ） （＋ Ｔ １＋ （＋ ＋１～ （（＋ ） ）
牙：｛ （） ∈Ｅ Ｔ ２ ｎ） ４＋ 是 的临界点．
记
Ｘ ＝ ｘ∈Ｅ Ｔ ２ （ ４ ＋ １ ｎ＋２ ｘ Ｔ＋１ ＝－ （） Ｖ ） ｘｎ ， ｎ∈Ｎ｝
则 是 Ｔ ２的一个 线性 子 空间 ．自然地 可 以视 为 Ｒ 。的一 个子 空间， 时 ∈Ｘ 理解 为 ＋ ＋ 此
的正交补空间． 则对于任意的 Ｙ∈Ｘ上 （Ｉ （） ） ． ， ， ＝０ 从而对于任意的 Ｙ Ｔ ２ （Ｉ（） ） ． Ｙ ∈ ＋ ， ， ＝０ Ｙ
因 此
ｘｎ ） （ （ ＋Ｔ ＋ｘｎ—Ｔ 一． ｎ） ， Ｖ ） 厂 （）：０ （ ｎ：１２ 一，Ｔ＋１ ，・ ４
６ ４
（） ｆ ４
（． １） ４
ｆｘ ＝ａｘ （ 当 一 ０时 （） ｏ ＋ｏ１） ｘ， Ｊ
其中ａ ０与 口。是实数 ． 。 当 Ｔ 为奇 数时， 记
２ｃ ｓ ｏ 丌， ｖ ｊ＝ ｏ ｌ ２ … ， ， １，
（． １） ５
当 为偶数 时， 记
２ｃ ｏ 丌， ＝ ０， ， ， １２ … ，
－
ｘｎ （ ＋Ｔ ～ｚ ） （ —Ｔ 一， 一 （） ：－ （ ） （ ｎ） ｘｎ＋Ｔ 一ｘｎ ） （（） ＝一 （） 即有 ∈Ｘ． ） （ — ＋， ｎ） 竹 ． 因此
Ｉ， １ ． Ｉ（ ｋ￣Ｅ －
假设 ＸＥＸ 是 Ｚ ｌ ｘ的临界点， 即对于任意的 Ｙ （Ｉ（） ） ． Ｘ， ， ＝０ 记 上为 关于 Ｔ ２ Ｅ Ｙ ＋
第 １ 卷第 １ ４ 期
２ １年 ３月 ０２
应用泛 函分析学报
ＡＣ ＡＮＡＬ Ｉ ＴＡ ｙＳ Ｓ ＦＵＮＣＴＩ ＯＮＡＬＩ Ｓ ＡＰＰＬＩ ＣＡＴＡ
Ｖｏ ． ４ Ｎｏ １ １ ， １ ． Ｍａ ． ０ ２ ｒ，２ １
ＤＯＩ： ０３ ２ ／ ＰＪ１６ ． １ ．０ ６ １ ．７４ Ｓ ．．１ ０２ ２０ ０ １ ０
理论研究差分方程周期解的相关文献已有很多 （ 如文献 ［ 一２ 等）但还未见到有文献应用临界点 １ １］ ， ｌ 理论研究时滞差分方程周期解的存在性 ． 因此， 本文的主要 目的就是应用临界点理论研究方程 （． １） １
的周 期解 的存在性 ．
收稿 日期： ０８１—５ ２０—２１ 资助项 目： 国家 自然科学基金 （０ ７０３ １０ １０） 广州市教育局科技计划项 目 （２０） １８ １５ ， １３ ０２； ６ ０６ ｔ通讯作者： － ｉｇ ｏｍ￣ ｚ ｕｅｕａ Ｅ ｍａ ： ｚ ｇｈ ． ．ｌ ｌｕ ｄ ｌ
则对 于任 意的 ｎ＝ １２ … ，Ｔ十２ ，， ４ ，
ｎ＋Ｔ
从 而 ＝ 是 差分 方程
（ ｎ－Ｔ Ｈ
（
＝０
ｘｎ＋Ｔ ＋ｘｎ ） 厂 （）：０ （ ） （ —Ｔ 一． ｎ） （
（． ２） ３
的以 ４ ＋ ２为周 期 的周期 解 ． 之， 反 若 ＝ 是 差 分方 程 （． ２３ 以 ４ ）的 Ｔ＋２为周 期的周 期解 ， 则
易知 （ ａ＋ ， ，＞ 是有限维 Ｈｌ ｒ 空间， Ｅ Ｔ ２＜． ） ． ｉ ｅｔ ｂ 并且与 Ｒ Ｔ ＋ 线性同胚 ． 因此， 以下我们将 ∈ ４＋ Ｅ Ｔ２ 与 ∈Ｒ Ｔ 。 ＋ 视为等同， 在后一种情况， ＝（（ ，（）… ，４＋ ）． １ ２， ＸＴ ２ ） Ｔ
＝
（１ １） ．
， ） （（—ｒ） Fra bibliotek（． １） ２
早在 １７ 年， ａｌ 与 Ｙ ｒｅ］ ９４ Ｋ ｐ ｎ ａ ｏｋ ［就曾系统地研究过该方程的周期解． 随后， 许多中外学者对此方
程产生了浓厚的兴趣， 并且得到了大量的研究成果， 例如温立志［ｊ ２ 陈永劭［ｊ ］ ３ 葛渭高［ｊ ｏａａ ｙ］ 】 ４Ｇ ｐｌ ｍ ［． 】 ｓ ５
应 用 泛 函 分 析 学 报
第 １ 卷 ４
义 ｘｎ一 ） 一 （ （ ’＝ ｘｎ＋Ｔ＋１， ）
Ａｘｎ＋Ｔ ＝－ （（） （ ） ｆｘｎ） 由 佗 的周期性， （） 对任意的 ｎ＝１２… ， ，， ４ Ｔ＋２ Ａ （） 一 （（ ， ｘｎ ＝ ， 礼一Ｔ ） 即 是方程 （． 的以 ）． １） １ ４ Ｔ＋２ 为周期的满足 （ 佗＋２ Ｔ＋１ ＝一 （） ） 佗 的周期解． 反之， Ｘ是方程 （ １ 的以 ４ 若 １） ． Ｔ＋２为周期的满足 ｘｎ＋２ （ Ｔ＋１ ）＝ 一 （）的周期解， ｘｎ 则 Ａ （） ｆｘｎ—Ｔ ）Ａｘｎ＋Ｔ ＝一 （（） ｘｎ ＝－ （（ ） ， （ ） ， ｎ） ， ｘｎ＋Ｔ ＋ｘｎ— 一． 佗） ，ｎ＝１ … ，Ｔ＋２ （ ） （ ） 厂 （） ＝０Ｖ （ ， ２ ４
则 Ｅ ２为 Ｓ的线性 子空 间并且 与 Ｒ ＋ ４＋ 同构 ． 定义 Ｅ Ｔ ２ 的 内积 为 ４＋ 上
＜ ，＞ ２ ｚ 跏＋ Ｙ ：∑ （ ，Ｖ Ｙ Ｅ ＋ ） ） ｘ ∈ ４ ２ ， Ｔ
由此内积可以诱导出空间 Ｅ ２ ４＋ 上的范数 Ｉ Ｉ４ 。 Ｉ Ｉ ．Ｅ ＋ …。 ： ∽ ～
第１ 期
邢秋萍， 非线性时滞差分方程周期解的存在性 等：
６ ３
将 改写为 ＝（ （ ｎ，（ 礼＋１，一，（ １，（） （ ，（） ，（） ・） 定义 － 一， 一 ） 一 ） ・ ｚ一 ） ０， １ ２， 竹， ・． ） … ・
Ｅ Ｔ ２ ＝｛ （） ∈Ｓｘ￣＋４ ４＋ ＝｛ ｎ） ｌ （ Ｔ＋２ ＝ ｎ ，ｎ∈ｚ ） （） ）
：
、（ ） 一 、， ’ ， ）
然后对上述方程在一个特殊的函数空间建立适当的变分结构， 并应用伪指标理论得到了向量形式的 方程组 （ ３ 的周期解的多重性． １） ． 相关的结论还可参阅文献 【 １］ ． ８ ０等 —
我 们注意到 ， 对于 方程 （．） １ 的离散 类似 （． 还 没有相 应 的结论 ． 一般 地， ２ １） １ 更 虽然应 用 临界点
本文的基本假设是 （ ） 函数 ｆ∈ｃ（ Ｒ） ｆ １ Ｒ， 是奇函数， 即对于任意的 ∈Ｒ ．一 ） ， ； ， （ ＝一 （） 厂 （ ） 对于任意的 ≠０ ， ） ； ｆ ２ ， （ ＞０
（） ｆ ３
ｆｘ ＝口。 （） ｏ ＋ｏＩＪ （ ｘ） ，当 Ｉ 一 ＋ 。时 Ｘ Ｊ 。
１９ ， ９８年 李继 彬与 何学 中［ 首 次应用 临界 点理 论研 究方 程 （．） ］ １ 的周期 解 的存在性 ． ０５年 ， 志 ２ ２０ 郭 明与庾建设 ［ 应用 临界点理 论研 究了时 滞微分 方程组 ７ ］
ｆ ＡＸ
＝
ｆｘｔ ） （（一１）
（．） １３
以 ４为周期 的周期解 的存在 性与 多解性 ． 其主要 方法是 将方 程 （． 变形 为 １） ３
我们 的主要结论是 ：
定理 １ 假设函数 ，满足条件 （１ ｆ ， ． １ ｆ 一（）如果存在 ｆ （ Ｔ一１， ） ４ ∈ｚ ｏ ， ）使得 ＋ ＜ａ ＜ ≤ １ ０ ０ 。 或 ｆ１ ｏ ＜ ≤ ＜ａ ， ＜ａｏ ＋ ＜ａ。 ０ ｏ则方程 （ １ 至少存在一个非常数的 ４ １） ． ＋２ 周期解 ， 满足 ｘｎ＋２ （ Ｔ＋１ ＝－ （） ） ｘｎ ． 推论 １１ 当 Ｔ＝１ 假设函数 ，满足条件 （） （４ 如果 ａ ＜１ ｏ 或 ａ。 ． 时， ｆ 一 ｆ， １ ） ０ ＜ａ。 ｏ ＜１ ０则 ＜ａ， 方程 （． 至少存在一个非常数的 ６ １） １ 周期解 ， 满足 ｘｎ＋３ ＝一 （） （ ） ｎ ．
文章编号： ０ ９１２ （０２０—０ １１ １０—３７２１）１０６—０
非线性时滞差分方程周期解的存在性
邢秋 萍 ， 王其 如 ， 郭志 明 ｓ ｔ
１ 广州大学 土木 工程 学院， ． 广州 ５ ０ ０ １０６
２ ．中山大学 数学与计算科 学学院， 广州 ５０ ７ １２ ５ ３ ．广』 大学 数学与信 息科 学学院， １ 、 【 广州 ５ ０ ０ １０ ６
６ ２
应 用 泛 函 分 析 学 报
第 １ 卷 ４
受文献 ［ 的启发， ７ ］ 将方程 （． 改写为 １） １ Ａ （ －Ｔ ＝一 （（） ｘｎ Ｆ ） ． ｎ） 厂
通过 讨论定 义在适 当空间上泛 函
４ ＋２ ４ Ｔ＋ ２
） ＝∑ ＋ ）ｎ一∑ Ｆ （） １（ ） （札 ）
：
（（ ，（ ， ，（ １ ２ … ｘ２ ） ） Ｔ＋１， １， ２，一， ｘ２ ） （ 一（ ・ 一（ 一 ） ） Ｔ＋１ Ｔ ） ． ） 引理 ２１ 假设 ｔ∈Ｃ（ Ｒ 是奇函数， ∈ 是泛函 在 上的限制 Ｉ ． 厂 Ｒ， ） Ｘ Ｉ ｘ的临界点当且仅
当 是方程 （． 满足 （ １） １ ＋２ Ｔ＋１ ＝－ （） ） ｘｎ 的以 ４ ＋２ 为周期的周期解． 证明 首先证明对于任意的 ＸＥ ｌ（） ． ∈ Ｘ， 注意到对于任意的 Ｙ ， ∈Ｘ，
本 文将 在第二 节给 出变分框 架与 一些必 要的 引理 ．第三 节主要 证 明定 理 １１ ．．在第 四节对 非 自
治时滞差 分方程
Ａ （） ，他ｘｎ— ） ｘｎ ：一 （，（ ） 周期解的存在性作一简单讨论 ．
（． １） ６
２ 变分框架与引理
设 Ｓ表示一切实数序列 ＝｛（） ∈ 佗） ｚ所组成的向量空间． Ｓ：｛ ｎ｝ （） 即， ｛ （）Ｉ 扎 ∈Ｒ， ｎ∈ｚ ）
的临界点， 其中 Ｆ ｘ ＝ ．ｓ ｓ寻求方程 （ １ 的满足 ｘｎ Ｔ＋１ ＝一 ） ４ （） ｆ ） ， （ｄ １） ． （ ＋２ ） 的 Ｔ＋２ 周期解 ． 为方便起见， 分别记 Ｎ， ， Ｃ 为 自然数集 、 ｚ Ｒ， 整数集、 实数集与复数集． 对于任意的 ａｂ∈Ｚ ， ，
记 Ｚ ａ ＝｛， ＋ｌ… ｝ａ≤ｂ （） ｎａ ， ， 时记 ｚａｂ ＝（， ＋１… ，） （，） ｎａ ， ６．
摘要：主要研究一阶非线性时滞差分方程
Ａｘｎ ＝～ｆｘｎ—Ｔ ） （） （（ ）
的非平凡周期 解的存在性与多解性． 应用临界点理论 ， ，满足一定的增 长性条件下， 在 得到了上述方程
存在非平凡周 期解 的一系列充分条件．另外， 还通过若干例子 阐明结论的可行性 ． 关键词：时滞差分方程； 周期解； 存在性； 临界点理论 中图分类号 ： Ｏ１ ６３ Ｏ１ ５７ ７ ．； ７ ． 文献标志码： Ａ