转动球体的全空间磁场分布
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转动球体的全空间磁场分布
作者：钱士才 西南交通大学 机械茅以升班 学号：20090794 指导老师：李元杰
摘要
求绕对称轴转动的带电体的磁场是一类典型的静磁场边值问题，传统的解法是用磁矢势或磁标势结合边界条件解拉普拉斯方程或泊松方程，其过程复杂，计算冗长;采用磁场叠加法对旋转球面、球体、柱体的磁场进行了分析.本文以转动球体为例，根据(连带)勒让德多项式的性质和加法公式，利用矢势叠加法方便快捷地导出了转动球体的空间磁场分布。
关键词:矢势；勒让德多项式；磁感应强度；DTP 编程
一、 前沿
球体现实生活中具有高度对称性的一类物体，应用广泛。摩擦等一些方式会使其带电，而这种球体一旦旋转起来，就会使其周围空间形成一定的磁场分布，从而对其他电子设备形成一定程度的破坏或干扰。因此，研究带电球体转动的磁场分布具有一定的现实意义。
二、方程及求解
2.1.转动球体的矢势
电荷量Q 均匀分布在半径为a 的球体内，当球体以匀角速度ω绕它的直径旋转时，求其空间矢势和磁场分布.以球心为原点O ，转轴为极轴，建立如图1所示球坐标系.根据电流产生矢势的式，可得到空间任意点()ϕθ,,r P 的矢势为：
()()⎰
'
-'=
V
dV r r r J r A π
μ40
（1）
其中
()()y x e e r a Q
r a Q r J ϕϕθωπωπ'+'-''='⨯=
'cos sin sin 434333 （2）
ψcos 222r r r r r r '-'+='-
（3）
ψ为()ϕθ,,r r 与()ϕθ'''',,r r
之间的夹角。
由空间夹角的公式可得：
()ϕϕθθθθψ'-'+'=cos sin sin cos cos cos （4）
图1 坐标系
由电流分布对称性可知，在空间任一个过Z 轴的平面的磁场分布均相同，即矢势A
与方位角ϕ无关。为计算方便，取P 点的方位角
0=ϕ （5）
将（2）、（3）、（4）、（5）代入式（1）整理可得磁矢势为：
()()()()⎰⎰⎰''+''-'+⋅'+⋅'-''∙'''=a y x r r r r e e r d d r d a Q r A 00202223320cos sin sin cos cos 2cos sin sin 43ππ
ϕθθθθϕϕθϕθπωμ
（6） 又因为又特殊条件，即：
()
cos sin sin cos cos 2sin 20
2
2
=''+''-'+'
'⎰
π
ϕθθθθϕϕr r r r d
（7）
以及在球坐标中()0,,θr P 的ϕe e y
=，则式（6）可简化为：
()()⎰⎰⎰'-'+'''⋅'''=a r r r r d d r d r e a Q r A 00202223320cos 2cos sin 43ππϕψ
ϕθϕθπωμ
（8）
则式（8）即为转动球体的矢势积分表达式.
2.2.利用勒让德多项式计算转动球体的积分矢势