常微分方程论文,变系数线性微分方程的解法

变系数线性微分方程的解法

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摘 要：文章通过对一些变系数线性微分方程的经典题目总结一下解决这类问题的基本方法。

关键词：变系数线性微分方程，基本解法。

1 引 言

整体回顾了一下第三章，我想感慨一下现在数学发展得真是完备。我们学的95%以上的知识数学书上都给出了一般的解。比如说可降阶的高阶方程，我们用一个变量代换最低阶的自变量那项就可以解出所有的这类题目了；又比如说线性常系数微分方程，使用常数变易法和待定系数法也可以解决所有的题目，特别是待定系数法，实在是解决线性非齐次常系数微分方程的利器！在这几块，我觉得实在是难以补充什么了。当下我觉得最需要我们去探索和挖掘的应该是那些目前不能够有普适解法的题目，比如说接下来要讲的变系数线性微分方程。下面，我们通过几个例题来总结一下解决这类问题的基本方法。

2 几个变系数线性微分方程的基本方法

2.1 化为常系数法

2.1.1形如0222

=++x dt dx bt dt x d at 的常微分方程。 这类题目是书上明确告诉我们的解法的，其实这类方程叫欧拉方程，虽然书上讲过了，但是也是这部分很重要的一类题，这边放在第一类。

因为这类题目的形式统一，所以直接求解带未知数的微分方程了。

解：作变换u

e t =，即t u ln =，则： du dx t dt du du dx dt dx 1==，)(122222du

dx du x d t dt x d -= 用上式带入原方程，得0)(22=++-x du

dx b du dx du x d a 这样的话我们得到了一个自变量为u,应变量为x 的一个常系数线性齐次微分方程，显

然，用待定指数函数法（书本p123给出的名字）求它再合适不过了。

特征方程为01λ )(λ a 2=+-+a b ，求出λ 之后，通解自然而然也就出来了。

心得：这类题目主要是抓住了通过u

e t =这个变量代换，恰好可以把这类形式的变系数方程化成常系数方程的这个特性。牢记即可。

2.2.2线性变换法

（这个方法书上提到过，但是只是讲了其中一种情况，这里对之进行些补充）

先给出一个二阶变系数线性方程：0)()(=+'+''x t q x t p x

我们需要进行线性变换，现在怎么变换我们还不知道。线性其次变换为)()(t y t a x =。 代入，原式变为：

0)]()()()()([)]()()(2[)(=+'+''+'+'+''y t a t q t a t p t a y t a t p t a y t a

我们现在需要达到的是y ''，'y 以及y 的系数为常数，这样的话就能够得到一个可解的常系数齐次微分方程。

书上只是分析了其中的一种情况，当y ''之前的系数为0时，可以求出⎰=-dt t p e t a )(21)(，这样进行的代换就可以保证'y 的系数为0，代换后如果满足y 的系数为0时，就能够把它转换成常系数齐次微分方程。

我们现在对更一般的情况进行说明：

我们现在需要y ''，'y 以及y 的系数为常数，刚开始在尝试阶段我把y ''记为1，然后让y ’和y 系数为1c 和2c ，结果发现虽然结果可以算出来，但是公式实在太麻烦，特殊性太大，没有记的必要。经过网上查询资料，我发现了线性变换这一类的衍生的一种结论，这种结论的方程要求比一般方程严格一点,形式如下：

0)()()(=+'+''x t q x t p x t a

)(t a 已是x ''的系数。这样的话通过之前的推导方法所得到的结论更简洁：

只要存在21c c 和，满足)()(')()(),()('2)(211x a c x a c x a x q x a c x a x p ++''=+=，这样的话就可以把式子左边通过t x a y )(=化为如下的微分方程：

021=+'+''y c y c y .这样就可以用待定指数函数法来计算微分方程的通解了。

例：求x

e x y x y x y =+'-''cos 3sin 2cos 的通解。

解：因为存在常数1c =0和2c =4,使得：

x x x cos 0s co 2sin 2+'=-，

x x x x cos 4s co 0s co cos 3+'+''=，

所以，令x y u cos =，原方程可化为x e u u =+''4

之后我们就可以使用待定系数法求出通解。

2.2.2 X,Y 置换法

这个方法其实是使用了以前我们解一阶常微分方程的一种思想（交换自变量和应变量） 首先，我们需要一些预先的准备：

y x dx dy '=1，1='dx dy x y ，两边对y 求导，得：0222='+''dx y d x dx dy x y y ，所以322)

('"-=y y x x dx y d 下面我们来用这个方法求解一道例题：

例：求2324)42(y y x e y y '-='-+''=0的通解。

这道题目可以看到虽然x 只有一个，但是我们可以注意到，e 的次数里面包含y ，所以不应该把y 看成应变量。我们现在可以尝试一下用预先准备里面给出的公式来对方程进行变换，可得：

y e x dy

dx dy x d 222244=+- 这才就是我们熟悉的常系数微分方程！用待定系数法可以轻易求解了。

2.2降阶法

这类题目是书上给的第二类经典的方法。

这类题目的解法也非常的统一，所以现在我们不从例题开始讲起，直接边说原理边讲过程。

首先，我们有需要求一个n 阶的线性齐次微分方程。

0)()(n )1(1)(=+⋯++-x t a x t a x n n

我们需要知道它的其中一个解)(1t x ,作线性变换y t x x )(1=，这样，我们得到以下的方程：

0)()()1(1)(=+⋯++-y t b y t b y n n n

因为)(1t x x =是方程的解，所以y=1是上式方程的解，所以可以得到0)(=t b n ， 方程变为：