第一章第1节概率习题答案

第1节练习题答案

填空题（共100分）

1．同时掷两粒骰子，记录所出现的点数之和，写出

（1）样本空间 S={2,3,4,….,12} （2）用样本点集表示 事件A=“出现点数之和为偶数”，则A= {2,4,6,8,10,12} B=“出现点数之和不超过8”，则B= {2,3,4,5,6,7,8,}

（3）分别用文字和样本点集表示

事件AB 点数之和为不超过8的偶数 ，AB= {2,4,6,8} 事件A-B 点数之和为超过8的偶数 ，A-B= {10,12}

2.（考研题）随机抽检三件产品，A=“三件中至少有一件不合格”，B=“三件中至少有两件不合格”，C=“三件均合格”，用文字说明下列事件

A = {三件均合格} ，C = {三件中至少有一件不合格} A+B= {三件中至少有一件不合格} ，AC= Φ

3.（考研题）某人连续买了五期彩票，i A 表示第i 期中奖，1,2,3,4,5i =，用i A 表示下列事件：

①五期中至少有一期中奖：

51i i A =U ②五期都中奖： 5

1

i i A =I

③五期都不中奖： 5

1

i i A =I

④五期中只有最后一期中奖： 12345A A A A A

4（考研题）.设A,B 为两个事件，判断下列关系式是否正确： ①()A B AB B ⋃=⋃ √ ;②()()A B AB AB ⋃= √ ; ③若A B ⊂，则A AB = √ ;④若A B ⊂，则A B ⊃ √ . 5. 写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点.

（1） 掷一颗骰子，出现奇数点(A)

答案{}{}1123456135A ==（）S ，，，，，，，，；

（2） 掷两颗骰子，

A =“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点.”

B =“出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点.” 答案

{}{}{}(2)(,)|,1,2,,6,

(12),(14),(16),(2,1),(4,1),(6,1),

(22),(24),(26),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)S i j i j A B ====L ，，，，，，

（3）将一枚硬币抛两次，

A =“第一次出现正面.”

B =“至少有一次出现正面.”

C =“两次出现同一面.”

答案{}{}{}{}(3)(,),(,),(,),(,),

(,),(,),(,),(,),(,),

(,),(,),S A B C ====正反正正反正反反正正正反正正正反反正正正反反

6.设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，C 的运算关系式表示下列事件： （1） A ，B ，C 至多有2个发生； A BC ∪A B C

∪AB C ∪AB C ∪A BC ∪A B C ∪ABC =ABC =A ∪B ∪C

（2） A ，B ，C 至少有2个发生.

AB ∪BC ∪CA =AB C ∪A B C ∪A BC ∪ABC

7.指出下列等式命题是否成立，并说明理由:（理由不论述，没有分数）

(1) A ∪B=(AB)∪B ；

(1)不成立.特例：若Α∩B=φ，则ΑB ∪B=B.

所以，事件Α发生，事件B 必不发生，即Α∪B 发生，ΑB ∪B 不发生.故不成立.

(2) A B=A ∪B ；

(2)不成立.若事件Α发生，则A 不发生，Α∪B 发生，

所以A B 不发生，从而不成立.

(3) B A U ∩C=AB C ；

不成立.B A U ，AB 画文氏图如下:

所以,若Α-B 发生,则AB 发生, A B U 不发生,故不成立.

(4) (AB)( AB)= ∅；

成立.因为ΑB与AB为互斥事件.

(5) 若A⊂B，则A=AB；

成立.若事件Α发生,则事件B发生,所以ΑB发生.

若事件ΑB发生,则事件Α发生,事件B发生.故成立.

(6) 若AB=∅，且C⊂A，则BC=∅；

成立.若事件C发生,则事件Α发生,所以事件B不发生,故BC=φ.

(7) 若A⊂B，则B⊃A；

不成立.画文氏图,可知B A

⊂.

(8) 若B⊂A,则A∪B=A.

成立.若事件Α发生,由()

A A B

⊂U,则事件Α∪B发生.

若事件Α∪B发生,则事件Α,事件B发生.

若事件Α发生,则成立.

若事件B发生,由B A

⊂,则事件Α发生.

8.某厂要在职工中挑选一名厂长，记A=“被选职工是大学生”，

B=“被选职工是党员”，C=“被选职工是年轻人”，D=“被选职工是专业技术人员”，回答下列问题：

（1）事件ABCD是表示被选的职工是年轻的大学生党员，也是专业技术人员

事件ABCD表示被选的职工是大学生，是专业技术人员，但不是党员，也不是年轻人

（2）在什么情况下，关系式C D

⊂成立

填空：年轻人都是专业技术人员

分析：年轻人都是专业技术人员是，就能保证被选的职工如果是年轻人（C发生），则也是专业技术人员（D也发生），故C D

⊂成立（3）在什么条件下，ABC C

=

填空：年轻人都是大学生党员

分析：()ABC AB C C C AB ==⇔⊂

（4）什么情况下，关系式A=C 成立

填空： 大学生都是年轻人，同时年轻人也是大学生

分析：A C A C C A ⊂⎧=⇔⎨⊂⎩

（5）什么情况下，事件A 与C 互斥

填空： 所有的大学生都不是年轻人，所有的年轻人都不是大学生 分析：事件A 与C 互斥，就是不能同时发生

（6）什么情况下，事件A 与C 对立

填空： 所有的人员只由大学生和年轻人两部分构成，其中，大学生都不是年轻人

分析：事件A 与C 对立的充分必要条件：事件A 与C 当且仅有一个发生，即所有人员只由大学生和年轻人构成，年轻人中没有大学生

9.对于事件A,B,C ，指出下列各式是否成立，说明理由。

（1）A=(A+B)-B

不成立，右式=()A B B AB BB AB A B +=+=+Φ=-与A 不一定相等

（2）A+(BC)=(A+B)(A+C)

成立，在事件运算中的和与积对应于集合中的并与交，位于同等地位， 和对积也满足分配律。

（3）A-B-C=A-(B+C)

成立，左式=()()ABC A BC AB C A B C ==+=-+=右式

（4）若i A 与()j A i j ≠不相容，则i BA 与j BA 也不相容

成立，i A 与()j A i j ≠不相容i j A A ⇔=Φ

故()()()()()i j i j i j i BA BA BA A B B A A B B B BA ===Φ=Φ⇔与j BA 不相容

（5）如果A=AB ，则A ⊂B

成立，A AB A B AB B =⎫⇒⊂⎬⊂⎭

（6）如果AB =Φ，且C A ⊂，则BC =Φ

成立，AB =Φ⇒事件A 与B 没有公共的样本点，又C A ⊂说明事件C 包含的样本点不会比A 的样本点多，从而事件C 与B 也没有公共的样