面面垂直的判定定理
面面垂直的判定定理
面面垂直性质定理
1.若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
2.若两个平面垂直，则过第一个平面内任意一点，向另一平面作这条垂线必在第一个平面内。
3.若两个平面垂直，则两个平面内除了交线的各任意的两条直线都互相垂直。
面面垂直定理证明
证明：任意两个平面关系为相交或平行，设a⊥β，垂足为P，那么P∈β
∵a⊂α，P∈a
∴P∈α
即α和β有公共点P，因此α与β相交。
设α∩β=b，∵P是α和β的公共点
∴P∈b
过P在β内作c⊥b
∵b⊂β，a⊥β
∴a⊥b，垂足为P
又c⊥b，垂足为P
∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角∵c⊂β
∴a⊥c，即∠aPc=90°
根据面面垂直的定义，α⊥β
线线垂直、线面垂直、面面垂直判定和性质
空间中的垂直关系 1．线面垂直 直线与平面垂直的判断定理：假如，那么这条直线垂直于这个平面。 推理模式： 直线和平面垂直的性质定理：假如两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线。 2．面面垂直 两个平面垂直的定义：订交成的两个平面叫做相互垂直的平面。 两平面垂直的判断定理：（线面垂直面面垂直） 假如，那么这两个平面相互垂直。 推理模式： 两平面垂直的性质定理：（面面垂直线面垂直） 若两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们的的直线垂直于另一个平面。 一般来说，线线垂直或面面垂直都可转变为线面垂直来剖析解决，其关系为：线线垂直判断判断 线面垂直面面垂直．这三者之间的关系特别亲密， 性质性质 能够相互转变，以前面推出后边是判断定理，而从后边推出前面是性质定理．同 学们应该学会灵巧应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中 包含着低一级的垂直关系，下边举例说明．
例题： 1．如图， AB 是圆 O 的直径， C 是圆周上一点， PA⊥平面 ABC．（1）求证：平面 PAC⊥平面 PBC； （2）若 D 也是圆周上一点，且与 C 分居直径 AB 的双侧，试写出图中全部相互垂直的各对平面． 2、如图，棱柱ABC A 1 BC 11 的侧面 BCC 1 B 1 是菱形，B1C A1B 证明：平面 AB1C平面 A1 BC1 3、如下图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点 （Ⅰ）求异面直线A1M 和 C1D1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面 A1B1M 1
4、如图，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA平面 ABC．若 AE⊥ PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是 PB 上随意一点，求证：平面 AEF⊥平面 PBC． 5、如图，直三棱柱 ABC— A1B1C1中，AC ＝ BC ＝1，∠ACB ＝ 90°，AA1＝2 ， D是 A1B1中点．（ 1）求证 C1D ⊥平面 A1B ；（2）当点 F 在 BB1上什么地点时，会使得 AB1⊥平面 C1DF 并证明你的结论
证明面面垂直的方法及定理
证明面面垂直的方法及定理 证明面面垂直的方法及定理 面面垂直可不好证明，这是要合适的证明方法的，不然证明就会出错。下面就是店铺给大家整理的证明面面垂直的方法内容，希望大家喜欢。 证明面面垂直的方法 #CD=#BD-#BC,#AC=#BC-#BA,#AD=#BD-#BA. 对角线的点积：#AC·#BD=(#BC-#BA)·#BD=#BC·#BD-#BA·#BD 两组对边平方和分别为： AB2+CD2=AB2+(#BD-#BC)2=AB2+BD2+BC2-2#BD·#BC AD2+BC2=(#BD-#BA)2+BC2=BD2+BA2+BC2-2#BD·#BA 则AB2+CD2=AD2+BC2等价于#BD·#BC=#BD·#BA等价于#AC·#BD=0 所以原命题成立，空间四边形对角线垂直的充要条件是两组对边的平方和相等 证明一个面上的一条线垂直另一个面;首先可以转化成 一个平面的'垂线在另一个平面内,即一条直线垂直于另一个平面 然后转化成 一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线 也可以运用两个面的法向量互相垂直。 这是解析几何的方法。 面面垂直学生如何证明 一、初中部分 1利用直角三角形中两锐角互余证明 由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90° ，即直角三角形的两个锐角互余。 2勾股定理逆定理 3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一
边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。 二、高中部分 线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。 1向量法两条直线的方向向量数量积为0 2斜率两条直线斜率积为-1 3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线 一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边 4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。 3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)： Ⅰ.平行关系： 线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。 线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。 面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。 Ⅱ.垂直关系： 线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。 线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂
线面、面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理 一、线面平行。 1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平 面平行。符合表示： β ββ////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄ 2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 符号表示： b a b a a a ////⇒⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎬⎫=⊂⊄βαβαα 二、面面平行。 1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 符号表示： β α//////⇒⎪⎪⎪⎭ ⎪⎪⎪⎬⎫==N n m M b a a m b n 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。 符号表示： d l d l ////⇒⎪⎭ ⎪⎬⎫==γβγαβα （更加实用的性质：一个平 面内的任一直线平行另一平面） 三、线面垂直。 1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直 线垂直这个平面。 符号表示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭ ⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示： PA a A oA a po oA a ⊥⇒⎪⎪ ⎭ ⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂ααα 2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。） 四、面面垂直。 1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。 βααβ⊥⇒⊂⊥a a , 2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，
面面垂直判定定理的证明
面面垂直判定定理的证明 一、引言 面面垂直判定定理是平面几何中的一个重要定理，它用于判断两个面是否垂直。本文将对面面垂直判定定理进行证明，并详细探讨其原理和应用。 二、面面垂直判定定理的定义 面面垂直判定定理是指：如果两个平面相交于一条直线，且这两个平面与另一平面的两个相交线都是垂直的，那么这两个平面是垂直的。 三、证明过程 为了证明面面垂直判定定理，我们需要先证明两个命题： 1. 命题一：两个平面与同一平面的两个相交线垂直 假设两个平面P和Q相交于直线l，且P与平面R的两个相交线m和n都与l垂直。 首先，我们可以得出m和l在P平面上的一个交点A，以及n和l在Q平面上的一 个交点B。由于m都与P平面垂直，那么P平面上的任意一条直线都与m垂直。同理，n与Q平面垂直，那么Q平面上的任意一条直线都与n垂直。 考虑平面R上的一条直线s，它与m交于点C，与n交于点D。由于m与l垂直， 所以线段AC与线段AD是两条垂直直线上的线段，即AC和AD垂直。又因为n与l 垂直，所以线段AD与线段BD也是两条垂直直线上的线段，即AD和BD垂直。 由于AC和AD垂直，且AD和BD垂直，根据垂直的传递性，可以得出AC和BD垂直。 综上所述，我们可以得到结论：平面P上的任意一条直线与平面Q上的任意一条直线都垂直。即命题一得证。 2. 命题二：两个平面与同一平面的两个相交线垂直，那么这两个平面是垂直的 假设两个平面P和Q相交于直线l，且P与平面R的两个相交线m和n都与l垂直。
为了证明P和Q是垂直的，我们假设有一条直线s在平面P上，且与平面Q相交于点E。要证明P和Q是垂直的，我们需要证明s与l垂直。 通过平面P上s与l的交点F，我们可以找到平面R上与F相交的一条直线g。由 命题一可知，直线g与平面Q的两个相交线都是与l垂直的，即g与平面Q垂直。 考虑平面Q上的一条直线h，它与g交于点I。由于g与平面Q垂直，所以平面R 上与I相交的一条直线j也与g垂直。 假设j与平面Q相交于点K，我们可以发现线段FK和线段IK是相互垂直的。由于 线段FK在平面P上，线段IK在平面Q上，根据垂直传递性，可以得出FK与IK垂直。 综上所述，我们证明了P与Q是垂直的。 四、面面垂直判定定理的应用 面面垂直判定定理在几何学中有广泛的应用，特别是在三维几何中。它允许我们通过一些已知条件来推断两个平面是否垂直，从而简化了很多几何证明的过程。 此外，面面垂直判定定理也为我们提供了一种方法来判断三维物体的垂直关系。我们可以通过判断两个平面与另一平面的两个相交线是否垂直，来确定两个平面是否在垂直的方向上。 五、总结 通过本文的论述，我们证明了面面垂直判定定理，并探讨了该定理的原理和应用。面面垂直判定定理在几何学中有着重要的地位，它为我们提供了一种简便的方法来判断平面的垂直关系。在实际应用中，我们可以利用该定理来简化几何证明的过程，并判断物体之间的垂直方向关系。
高中数学总结归纳 点击面面垂直的判定与性质
点击面面垂直的判定与性质 一、面面垂直的判定与性质 1.两个平面垂直的定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直. 2.两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. 3.两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么过其中一个平面内的一点作它的交线的垂线与另一个平面垂直. 二、证明面面垂直的基本方法有： （1）利用定义证明，即利用两平面相交成直二面角来证明； （2）利用面面垂直的判定定理证明，即若a ⊥β，a α⊂，则α⊥β 在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线，若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加.在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直.解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转化条件和转化应用. 三、典例选析 例1．如下图，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC ⊥平面BSC. 剖析：本题是面面垂直的证明问题.一条是从定义出发的思路，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线.但图中似乎没有现成的这样的直线，故作辅助线.根据已知条件的特点，取BC 的中点O ，连结AO 、SO ，既可证明AO ⊥平面BSC ，又可证明SO ⊥平面ABC.另一条是从定义出发的思路，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，注意到∠AOS 是二面角A —BC —S 的平面角，转化为证明∠AOS 是直角. 证法一：取BC 的中点O ，连结AO 、SO.∵AS=BS=CS ，SO ⊥BC ， 又∵∠ASB=∠ASC=60°，∴AB=AC ，从而AO ⊥BC. 设AS=a ，又∠BSC=90°，则SO= 2 2 a.又AO=22BO AB -=2221a a -=
高中面面垂直的判定定理
高中面面垂直的判定定理 高中面面垂直的判定定理 在平面直角坐标系中，如果两条直线的斜率之积为-1，则这两条直线 互相垂直。这就是高中数学中常见的“面面垂直”的判定定理。下面 将从定义、证明、应用三个方面详细介绍这一定理。 一、定义 在平面直角坐标系中，如果有两条不重合的直线L1和L2，它们的斜 率分别为k1和k2，且k1×k2=-1，则称L1与L2互相垂直。 二、证明 要证明“斜率之积为-1时，两条直线互相垂直”，我们需要用到向量 的知识。设向量a=(x1,y1)和向量b=(x2,y2)，则a·b=x1x2+y1y2表 示向量a和向量b的数量积。同时，向量a和向量b垂直可表示为a·b=0。 现在考虑两条不重合的直线L1:y=k1x+b1和L2:y=k2x+b2 （k1≠k2）。分别取L1上一点A(x0,y0)和L2上一点B(x3,y3)，则有：
AB^→=AO^→+OB^→=(x0-b1,y0)-(x3-b2,y3)=(x0-x3-b1+b2,y0-y3) 其中，^→表示向量，O为坐标系原点。由于L1和L2垂直，所以向量AB^→与向量L1的方向向量a=(1,k1)垂直，即： AB^→·a=0 展开得： (x0-x3-b1+b2)+k1(y3-y0)=0 将L2的斜率k2=-1/k1代入得： (x0-x3-b1+b2)-(y3-y0)/k2=0 也就是： (x0-x3-b1+b2)+k2(y3-y0)=0 这表明向量AB^→与向量L2的方向向量b=(1,k2)垂直。因此，L1和L2互相垂直。
三、应用 面面垂直定理在高中数学中经常用于解决两条直线是否垂直的问题。例如，在解决平面几何中的证明题目时，我们需要判断两条线段是否相互垂直。此时，可以通过计算两条线段所在的直线的斜率之积是否为-1来判定它们是否垂直。 同时，在解决函数图像问题时，也需要运用面面垂直定理。例如，在求解过给定点且与一条已知直线垂直的函数图像时，可以通过计算该函数图像所在直线与已知直线斜率之积是否为-1来确定该函数图像的斜率。 总之，面面垂直定理是高中数学中非常重要的定理之一，它不仅在解决平面几何问题时有广泛应用，在函数图像问题中也有着重要作用。
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质
空间中的垂直关系之青柳念文创作 1．线面垂直 直线与平面垂直的断定定理：如果，那末这条直线垂直 于这个平面. 推理形式： 直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一 个平面,那末这两条直线. 2．面面垂直 两个平面垂直的定义：相交成的两个平面叫做互相垂直的平面. 如果，那末这两个平面互相垂直. 推理形式： 若两个平面互相垂直，那末在一个平面内垂直于它们的的直线垂直于另外一个平面. 一般来讲，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析 面垂 直．这三者之间的关系非常紧密亲密，可以互相转化，从前 面推出后面是断定定理，而从后面推出前面是性质定理．同 学们应当学会矫捷应用这些定理证明问题．在空间图形中， 高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说 明． 例题：1．如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC．
（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ； （2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面． 2 3AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点 （Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1 4 Ｏ的直径，ＣABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证： 平面AEF ⊥平面PBC ． 5、如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 D 是A 1B 1 中点．（1）求证C 1D ⊥平面 A 1 B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1⊥平面 C 1DF ？并证明你的结论 6、S 是△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC,平面SAB ⊥平面SBC,求证AB ⊥BC. 7、在四棱锥中，底面ABCD 是正方形，正面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD S A B
面面垂直的性质定理和结论
面面垂直的性质定理和结论 一、面面垂直的性质定理和结论 1、二面角 （1）半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，每一部分都叫做半平面。 （2）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。 （3）二面角的表示方法 ①棱为$AB$，面分别为$α$，$β$的二面角记作二面角$α—AB—β$。 ②棱为$l$，面分别为$α$，$β$的二面角记作二面角$α—l—β$。 ③棱为$AB$，若在$α$，$β$面内分别取不在棱上的点$P$，$Q$，这个二面角可记作二面角$P—AB—Q$。 （4）二面角的平面角 在二面角$α—l—β$的棱$l$上任取一点$O$，以点$O$为垂足，在半平面$α$和$β$内分别作垂直于棱$l$的射线$OA$和$OB$，则射线$OA$和$OB$构成的∠$AOB$叫做二面角的平面角。 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。平面角是直角的二面角叫做直二面角。 二面角的平面角的取值范围为$[0°,180°]$。 2、平面与平面垂直 定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作$α⊥β$。 判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 平面与平面垂直的一般性质和结论 （1）如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面。
（2）如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一 个平面内。 （3）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。 （4）三个两两垂直的平面的交线也两两垂直。 二、面面垂直的性质定理的相关例题 已知三棱锥$P-ABC$，平面$PAB⊥$ 平面$ABC$，$PA=PB=4$，$AB=4\sqrt{3}$， $∠ACB=120°$，则三棱锥$P-ABC$外接球的表面积为___ A．20π B．32π C．64π D．80π 答案：D 解析：设$△PAB$的外接圆的圆心为$O_1$，半径为$r_1$，$△ABC$的外接圆的圆心为$O_2$，半径为$r_2$，三棱锥$P-ABC$外接球球心为$O$，半径为$R$，过点$P$作$PD⊥AB$，因为平面$PAB⊥$ 平面$ABC$，所以$PD⊥$ 平面$ABC$，又因为$PA=PB=4$，所以$O_1$在$PD$上，因为$AB=4\sqrt{3}$，所以$AD=2\sqrt{3}$，$PD=2$，所以$\cos ∠PAD=\frac{AD}{PD}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，又$∠PAD∈(0,π)$，所以$∠PAD=\frac{π}{6}$，所以$2r_1=\frac{PB}{\sin ∠PAD}=\frac{4}{\frac{1}{2}}=8$，则$r_1=O_1P=4$，所以$O_1D=2$，$OO_2=O_1D=2$， 所以$2r_2=\frac{AB}{\sin ∠ACB}=\frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=8$，则 $r_2=O_2A=4$，所以$R=\sqrt{OO^2_2+O_2A^2}=2\sqrt{5}$，所以三棱锥$P-ABC$外接球 的表面积$S=4πR^2=$$4π×$$(2\sqrt{5})^2=$$80π$。故选D。 感谢您的阅读，祝您生活愉快。
线线垂直线面垂直面面垂直的判定与性质
空间中的垂直关系 1.线面垂直 直线与平面垂直的判定定理：如果,那么这条直线垂直于这个平面。 推理模式： 直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线。 2.面面垂直 两个平面垂直的定义：相交成的两个平面叫做互相垂直的平面。 两平面垂直的判定定理：(线面垂直面面垂直) 如果,那么这两个平面互相垂直。 推理模式： 两平面垂直的性质定理：(面面垂直线面垂直) 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的的直线垂直于另一个平面。 一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线 线垂直二:线面垂直二:面面垂直.这三者之间的关系非常密切， 性质性质 可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理.同 学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明. 例题：1.如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，P/a平面ABC (1)求证：平面PACL平面PBC (2)若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面. 2、如图，棱柱ABC A iB C i的侧面BCM是菱形，BCA1B 证明：平面AB i C平面ABC i 3、如图所示，在长方体ABCD AB1c1D1中，AB=AD=1AA=2,M是棱CC的中点 (I)求异面直线AM和GD所成的角的正切值； (H)证明：平面ABML平面A1B1M 4、如图，AB是圆。的直径，C是圆周上一点，PA平面ABC若AE,PC,E为垂足，F是PB 上任意一点，求证：平面AE吐平面PBC 5、如图，直三棱柱ABC-ABG中，AC=BC=1,/ACB=90°,AA=J2,D 是AB1中点.(1)求证GD，平面A1B；(2)当点F在BB上什么位置时，会使得AB，平面 GDF并证明你的结论 6、S是△ABC所在平面外一点，SA，平面ABC,平面SABL平面SBC求证AB±BC.
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质
空间中的垂直关系之袁州冬雪创作 1．线面垂直 直线与平面垂直的断定定理：如果，那末这条直线垂直 于这个平面. 推理形式： 直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一 个平面,那末这两条直线. 2．面面垂直 两个平面垂直的定义：相交成的两个平面叫做互相垂直的平面. 如果，那末这两个平面互相垂直. 推理形式： 若两个平面互相垂直，那末在一个平面内垂直于它们的的直线垂直于另外一个平面. 一般来讲，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析 面垂 直．这三者之间的关系非常紧密亲密，可以互相转化，从前 面推出后面是断定定理，而从后面推出前面是性质定理．同 学们应当学会矫捷应用这些定理证明问题．在空间图形中， 高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说 明． 例题：1．如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC．
（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ； （2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面． 2 3AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点 （Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1 4 Ｏ的直径，ＣABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证： 平面AEF ⊥平面PBC ． 5、如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 D 是A 1B 1 中点．（1）求证C 1D ⊥平面 A 1 B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1⊥平面 C 1DF ？并证明你的结论 6、S 是△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC,平面SAB ⊥平面SBC,求证AB ⊥BC. 7、在四棱锥中，底面ABCD 是正方形，正面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD S A B
(完整版)面面垂直的判定+性质定理(例题)
面面垂直的判定 1、 如图,棱柱111C B A ABC -的侧面11B BCC 是菱形，且11B C A B ⊥ 证明：平面1AB C ⊥平面11A BC 2、如图，AB 是 ⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是 圆周上不同于A ，B 的任意一点,求证：平面PAC ⊥平面PBC. 3、如图所示，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，求证：平面PBE ⊥平面PAB ； 4、如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ,点E 、F 分别是AB 、BD 的中点．求证：(1）直线EF ∥平面ACD ；(2）平面EFC ⊥平面BCD .
5、如图,在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD，SA=AB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N. (I）求证:SB∥平面ACM；（II）求证:平面SAC⊥平面AMN. 面面垂直的性质 1、S是△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC，求证AB ⊥BC.
2、 在四棱锥中,底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形, 平面VAD ⊥底面ABCD 证明:AB ⊥平面VAD 3、如图,平行四边形ABCD 中，60DAB ︒∠=,2,4AB AD ==将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置，使平面EDB ⊥平面ABD 。求证:AB DE ⊥ w 。w 。w 。k 。s 。5.u 。c 。o 。m 4、如图，在四棱锥ABCD P -中,平面PAD ⊥平面ABCD ，AB=AD ， ∠BAD=60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点 求证：（1）直线EF ‖平面PCD ；（2）平面BEF ⊥平面PAD V D C B A S A C B