功率谱密度的性质.ppt

24
如果X(n)为连续随机序列，则
随机序列X (n)的统计均值(数学期望)定义为:
mX (n) E[X (n)] xf X (x, n)dx
X (n)的函数g(X (n))的统计均值可由下式求出:
E[g(X (n))] g(x) f X (x, n)dx
如果X(n)为离散随机序列，则上面的公式变为：
S XY ()
lim
T
1 2T
E[
X
T
(
)YT
()]
SYX
()
lim
T
1 2T
E[YT () XT
()]
SXY ()
RXY
(
)
e
j
d
SYX ()
RYX
(
)
e
j
d
RXY
(
)
1
2
S
XY
(
)
e
j
d
RYX
(
)
1
2
SYX
(
)
e
j
d
8
实随机过程X(t)和Y(t)的互谱密度的性质
1、S
2.4.1 高斯过程 如果对于任意时刻ti (i 1,2, , n),随机过程 的任意n维随机变量X i X (ti )(i 1,2, , n) 服从高斯分布,则X (t)就是高斯过程.
性质1: 宽平稳高斯过程一定是 严平稳高斯过程
11
性质2 : 若平稳高斯过程在任意两个不同时刻 是不相关的, 那么也一定是互相独立的
2、自相关和自协方差序列的幅度满足：
RX (m) RX (0)
CX
(m)
CX
(0)
2 X
30
3、对于非周期随机序列
lim
m
RX
(m)
mX2
lim
m
CX
(m)
0
lim
m
RXY
(m)
式估计:
mˆ X
1 N
N 1
x(n)
n0
Rˆ X
(m)
1 N
N m 1
x(n)x(n
n0
m)
28
2.5.2 相关序列与协方差序列性质
如果两个实随机序列X(n)和Y(n)是平稳的 ，并且是联合平稳的，则有：
RX (m) E[X (n)X (n m)] CX (m) E[{X (n) mX }{X (n m) mX }]
mX (n) E[ X (n)] xi P( X (n) xi ) i 1 E[g( X (n))] g(xi )P( X (n) xi ) i 1
25
E[ X 2 (n)]
x2
f
X
(
x,
n)dx
D[
X
(n)]
2 X
(n)
E[{
X
(n)
mX
(n)}2
]
RX (n, m) E[X (n)X (m)]
S
X
()
FT[RX
(
)]
FT[
1 2
(1
cos0
)]
FT[
1 2
]
FT[
1 2
c
os0
]
1 2
2
()
1 2
[
(
0
)
(
0 )]
()
2
[
(
0
)
(
0
)]
6
单边功率谱GX(w)与双边功率谱SX(w)的关 系 只用正频率部分来表示功率谱密度
0GX () 2SX ()
0 0
S X
()
2
0
RX
(
) cos
RN ( )
P
S
N
()
0
为其它
RN
(
)
P
sin(
)
P Sa( )
20
二、带通白噪声
如果N (t)的功率谱密度在 0附近是常数,则
称N (t)为带通限带白噪声,简称带通白噪声.
P
S
N
(
)
0
0
2
为其它
0
RN
(
)
P
Sa(
2
) cos0
a( ) cos0
21
RN
( )
P Sa(
XY ()
SYX
()
SYX
Biblioteka Baidu
()
S
XY
()
S XY
()
lim
T
1 2T
E[
X
T
(
)YT
()]
SYX
()
lim T
1 2T
E[YT () XT ()]
XT
()
X
T
()
X
T
()
XT
()
2、 互谱密度的实部是偶函数,虚部是奇函数,并且有 :
Re[SXY ()] Re[SYX ()] Re[SYX ()] Re[SXY ()] Im[ SXY ()] Im[ SYX ()] Im[ SYX ()] Im[ SXY ()]
1 16
e2
]
FT[ 1 ] FT[ 1 e2 ]
4
16
FT[e
t
]
2 2
2
1 2 () 1 2 2
4
16 (2)2 2
2
()
1 4
42
2
5
例2.3.3
已知随机过程的自相关
函数RX
( )
1 2
(1
cos
0
)
求功率谱密度 .
RX () 0, 且呈振荡形式,也可引入 函数解决
(3) 该函数虽满足非负的实函数, 但它不是偶函数, 故它不能成为功率谱密度的正确表达式.
2
例2.3.1
已知平稳随机过程的功率谱密度为S
X
()
4
2
3
2 2
2
求自相关函数RX ( )和平均功率W.
RX
(
)
1
2
SX
()e j d
1
2
4
2
3
2 2
2
e
j
d
1
2
( 2
2 2 1)( 2
2)
e
两个高斯变量X1和X 2的联合概率密度f X (x1, x2 )
1
e
1 2(1r
2
[ )
(
x1
m1
2 1
)2
2
r
(
x1
m1 )(x2
1 2
m2
)
(
x2
m2
2 2
)2
]
2 1 2 1 r 2
f X (x1, x2 , ) 2 2
1
e
(
x1
m)
2
2
r
( )( 2
x1 m 2 [1r
)( x2 2 ( )]
d
GX
RX
() 4 0
( ) 1 2
RX
RX ( ) cos d
0 GX () cos d
(
)
1
0 SX () cos d
工程实际中经常 要用单边功率谱
7
2.3.3 联合平稳随机过程的互功率谱密度
定义 : 联合平稳过程X (t)和Y (t)的互功率谱
密度(简称互谱密度)定义为 :
2
) cos0
a( ) cos0
带通白噪声的平均功率： W RN (0) P
RN ( )的包络
高斯状的色噪声是指色噪声的功率谱密度的 形状是高斯形的，它的分布可以是任意的。
22
2.5 随机序列
随机过程是以t为参变量的随机函数, 而随机序列则是以离散的时间n作为 参变量的, 一般记为 :
{X (n), n 0,1,2, ,N} 或简写为X (n).
m
)
(
x2
m)
2
1 r 2 ( ) 当两个时刻不相关时
也一定独立
fX
(x1, x2, )
1
2
2
e
(
x1
m)2 ( x2 2 2
m)
2
f X1 (x1) f X2 (x2 )
12
高斯过程的宽平稳性与严平稳性是等 价的，不相关性与独立性也是等价的
平稳高斯过程与确定时间信号之和也是 高斯过程，确定时间信号可认为是高斯 过程的数学期望。除非确定时间信号是 不随时间变化的，否则将不再是平稳过 程。
j d
1
2
1 2
1
e
j
d
1 1
2 2
2 2
1
e
j
d
FT[e
t
]
2 2
2
1 e 2
RX
(
)
1 2
e
3
例2.3.1
已知平稳随机过程的功率谱密度为S
X
()
4
2
3
2 2
2
求自相关函数RX ( )和平均功率W.
RX
(
)
1 2
e
W
E[ X
2 (t)]
RX
(0)
1
2
SX ()d
1 W RX (0) 2
9
3、 如果X (t),Y(t)互相正交,互谱密度为零.
RXY ( ) 0 SXY () FT[RXY ( )] 0
4、 如果X (t)和Y (t)是互不相关的两个随机过程,且数学 期望不为零,则有 : SXY () SYX () 2mX mY ()
CXY ( ) RXY ( ) mX mY
声
若平稳过程N(t)在有限频带上的功率谱密度为常数， 在频带之外为零，那么称N(t)为理想限带白噪声。
18
一、低通白噪声
低通白噪声的功率谱密度集 中在低频端，且分布均匀。
SN ()
P
S
N
(
)
0
为其它
RN
(
)
P
sin(
)
P Sa( )
19
SN ()
白噪声的平均功率 W RN (0) P
色噪声的功率谱密度中各频率分量的大小不同。
白噪声过程是服从一定分布的随机过 程，它的特点是功率谱密度为常数。
16
如果平稳过程N (t)的数学期望为零,并在整个频率
范围内的功率谱为常数SN
()
N0 2
( )
则称它是白噪声过程, 简称白噪声.
白噪声的自相关函数为:
RN
( )
N0 2
( )
白噪声的相关系数为:
14
2.4.2 噪声
一般把那些使信号产生失真的误差源称 为噪声。来自外部的噪声也称为干扰。
内部噪声是指系统本身的元器件及电路产 生的噪声。
外部噪声是指电子系统之外的所有噪声。
15
从噪声的分布角度看，具有高斯分布的噪 声就称为高斯噪声，具有均匀分布的噪声 就称为均匀噪声。
从功率谱密度的角度看，如果噪声的功率 谱密度是常数，无论具有什么样的分布， 都称它为白噪声。
如果高斯过程的积分存在，它也将是 高斯分布的随机变量或随机过程。
13
平稳高斯过程导数的一维概率密度也是高斯
分布的,其数学期望为零,方差为 2 r''(0) ,即:
fX '(x')
1
e
2
x'2 2 r ''(
0)
2 2 r''(0)
平稳高斯过程导数的二维概率密度是高 斯分布的，平稳高斯过程与其导数的联 合概率密度也是高斯分布的。
23
2.5.1 统计均值和时间均值
一、一般序列
fX
( x1 ,
x2 ,
,
xN ;1,2,
,
N)
N FX
(x1, x2 , , xN ;1,2, x1x2 xN
,
N)
如果N个随机变量相互独立，则有：
f X (x1, x2, , xN ;1,2, , N ) f X1 (x1,1) f X2 (x2,2) f XN (xN , N )
2.3.2 功率谱密度的性质
1、S X ()为非负实函数,即: SX () 0
SX
()
lim
T
1 2T
E[
XT () 2 ]
XT () 2 0, 故SX () 0
2、 若X (t)实平稳,则SX ()是偶函数,即: SX () SX ()
SX
()
lim
T
1 2T
E[
XT
()
2]
XT () 2 XT ()XT (), 故SX () SX ()
RXY ( ) RYX ( ) mX mY
SXY () FT[RXY ( )] FT[mX mY ] 2mX mY ()
5、 互谱密度的幅度平方满足 : SXY () 2 SX ()SY ()
10
2.4 高斯过程与白噪声
高斯过程是从概率密度的角度来定义的，而 白噪声则是从功率谱密度的角度来定义的。
CX (n, m) E[{X (n) mX (n)}{ X (m) mX (m)}]
E[aX (n)] aE[ X (n)] E[ X (n) Y (n)] E[ X (n)] E[Y (n)]
如果序列X (n)与Y (n)不相关,则有 E[ X (n) Y (n)] E[ X (n)] E[Y (n)]
1
例: 下列函数哪些是功率谱密度的正确表达式?为什么?
(1)
2 6 32 3 ;
(2)
cos(3) 12 ;
(3)
exp[( 1)2 ]
根据功率谱密度的性质来判断
(1) 该函数非负的实函数且为偶函数, 故它是功率 谱密度的正确表达式.
(2) 该函数虽为实偶函数,但它可为负数, 故不可能 成为功率谱密度的正确表达式.
X (n) X (n m) lim 1
N
X (n)X (n m)
N 2N 1 nN
27
如果X (n)是平稳的,且满足各态历经性,则有 X (n) mX X (n)X (n m) RX (m)
若各态历经序列X (n)的一个样本有N个数据
{x(0), x(1), , x(N 1)},那么X (n)的均值由下
rN
(
)
1 0
0 0
17
白噪声是一种理想化的模型， 实际上，白噪声是不存在的。
W
RN
(0)
N0 2
( ) 0
, 这在实际中是不可能的
在实际中，当所研究的随机过程通过某一系统 限 时，只要过程的功率谱密度在一个比系统带宽 带 大得多的频率范围内近似均匀分布，就可以把 白 它作为白噪声来处理，不会带来多大的误差。 噪
W 1 arctan
2
1 [ ( )] 1 2 2 2 2
W 1
2
4
2
3
2 2
2
d
1
2
1 2
1
d
4
例2.3.2
已知随机电报信号的自
相关函数 RX
( )
1 (1 4
1 e2 4
)
求其功率谱密度 .
RX () 0, 不满足条件,可引入函数解决
SX
()
FT[RX
(
)]
FT[ 1 4
RXY (m) E[X (n)Y (n m)] CXY (m) E[{X (n) mX }{Y (n m) mY }]
29
相关序列的性质
1、自相关和自协方差序列为偶函数，而互相 关和互协方差序列是非奇非偶的。
RX (m) RX (m) RXY (m) RYX (m)
CX (m) CX (m) CXY (m) CYX (m)
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二、平稳序列
mX E[ X (n)]
2 X
E[{X (n) mX }2 ]
RX (n, n m) RX (m) CX (n, n m) CX (m)
三、各态历经序列
随机序列X (n)的时间均值定义为
X (n) lim 1
N
X (n)
N 2N 1 nN
随机序列X (n)的时间自相关定义为