高考数学一轮复习教案(含答案)：选修4-4 第1节 坐标系

选修4－4 坐标系与参数方程

第一节 坐标系

[考纲传真] 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．

1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换

φ：⎩

⎨⎧

x ′＝λ·x (λ＞0)，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．

2．极坐标系的概念

(1)极坐标系

如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

(2)极坐标

①极径：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ.

②极角：以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.

③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．一般不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．

3．极坐标与直角坐标的互化

设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们

之间的关系为：⎩⎨⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0).

4．简单曲线的极坐标方程

1．(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系． ( )

(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝ ⎛⎭

⎪⎫2，－π3.( ) (3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．

( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．

( )

[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×

2．(教材改编)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )

A.⎝ ⎛⎭

⎪⎫1，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2 C ．(1,0) D ．(1，π) B [法一：由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标

为⎝ ⎛⎭

⎪⎫1，－π2. 法二：由ρ＝－2sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2，知圆心的极坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫1，－π2，故选B.] 3．(教材改编)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )

A ．ρ＝

1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2 B ．ρ＝1cos θ＋sin θ

，0≤θ≤π4 C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2

D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4

A [∵y ＝1－x (0≤x ≤1)，

∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)，

∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝

⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.] 4．在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2 θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为________．

(1,1) [由ρsin 2θ＝cos θ⇒ρ2sin 2θ＝ρcos θ⇒y 2＝x ，又由ρsin θ＝1⇒y ＝1，联立⎩⎨⎧ y 2＝x ，y ＝1⇒⎩⎨⎧

x ＝1，y ＝1.

故曲线C 1和C 2交点的直角坐标为(1,1)．] 5．在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R )距离的最大值是

________．

6 [圆ρ＝8sin θ即ρ2＝8ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2＋(y －4)2＝16，直线θ＝π3，则tan θ＝3，化为直角坐标方程为3x －y ＝0，圆心(0,4)到直线的距离为|－4|4＝2，所以圆上的点到直线距离的最大值为2＋4＝6.]

1．求椭圆x 24＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝12x ，y ′＝y 后的曲线方程．

[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝12x ，y ′＝y ，得到⎩⎨⎧

x ＝2x ′，y ＝y ′. ① 将①代入x 24＋y 2＝1，得4x ′24＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.

因此椭圆x 24＋y 2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝1.

2．将圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 29＋y 24＝1的一个伸缩变换公式为φ：

⎩

⎨⎧ X ＝ax (a ＞0)，Y ＝by (b ＞0)，求a ，b 的值． [解] 由⎩⎨⎧ X ＝ax ，Y ＝by 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1a X ，y ＝1b Y ，代入x 2＋y 2

＝1中得X 2a 2＋Y 2b 2＝1， 所以a 2＝9，b 2＝4，即a ＝3，b ＝2.

[规律方法] 伸缩变换后方程的求法，平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：

的作用下的变换方程的求法是将代入y ＝f (x )，得

，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程.

易错警示：应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x ，y )与变换后的点

【例1】 (2020·合肥质检)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴