一类分数阶微分方程初值问题的奇摄动
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高校应用数学学报
２ １，６１： １４ ０ １２ （） ４—５
一
类分数阶微分方程初值 问题 的奇摄动
吴钦 宽
（ 南京工程学院 数学研究所，江苏南京 ２１６） １１７
摘 要 ：研 究 了一类非线性分数阶微分 方程加权 初值 问题的奇 异摄动． 适 当的条件 在 下， 首先求 出了原问题的外部解， 然后利用边界层 函数法构造 出解的初始层项 ， 由此 并 得到解的形式渐近 展开式， 最后利用微 分不等式理论 ， 讨论 了问题解的渐近性 态 得到 了原 问题 解 的 一致 有 效 的 渐 近 估 计 式 ． 关键词 ： 奇异摄动； 线性； 非 分数 阶微分 方程 中图 分类号： ７ ． Ｏ１ ５１ ４
＝
ｏ ～ 下 ＝ｏ一 兰，ｉ ， … ， （‰ ） （‰ ） ＝０１ ，
（） １ ０
其 中‰＋ ｋ， ：０ １… ， １ ｔｉ ， ， 为某正常数．
由（） （）上面确定 的 ， ， ：０１… ， ３，４， ｉ ，， 代人（）便得到 了原 问题 （） （） 的形式渐近估 ４， １，２解
Ｃ ，
，
７
￡
例
考虑奇摄动分数阶Ｌ ｇｓ ｃ ｍ的初值 ＩＮ［ ］ ｏ ｉ ｉ方程 ｔ ； ２ － ０ ｊ
ｅ （） ，￡（ ～札 ） Ｄ乱 ＝ “ ）１ （ ， （ ） 钆０ ＝ｕ， （） ０
其 中 ：ｔ ０ ０＜ ｓ ＞ ， １＜ １ ｇ＞ ０ ， ．
＋
（７ １） （８ １）
将（ 代人（ ， 的幂展开． ￡， ３ ） １ 按￡ ） ， ，）合并Ｅ （ 的同次幂项， 并分别令其系数为零， 可得 （ ）
其 中
Ｇ １ ０ｉｆ￣
１
。
（ ３ ）
（ １ ｔ ＝ ２… ， Ｄ） 一Ｇ ］ ， ，，
一
￡】 ，ｌ ，， ． ） 咖 ＿１２…
将上述依次得到的ｕ（代人（）便得到了原问题的外部解． 由（） ｔ） ￡ ３， 显然 ３得到的外部解未必满
ｃｚ Ｔ ＋ ～ ５ Ｅ ＋ ２
选取， ｙ
立
．
，
定理证毕．
（） １ 成立．同理可证（ ） ６ １ 成立． 和 ５ 故 分别为问题（）（） １，２的下解和上解． 由定 问 １，２有一解ｕｔ ）满足Ｑｔ￡ 札ｔｇ ）（ ） （ ￡， ， （ ） （ ） （ ￡． ， ， ｔ ） 再由（３， １） 关系式（２成 ， １） （ ４ １） ＋
高 校 应 用 数 学 学 报
第２ 卷第１ ６ 期
Hale Waihona Puke 故选 取 同 理 可 得
１ 就可得到 ，
（，） ０
（ ￡ ）
（， Ａ（） ０ ） Ｅ．
下面来证 明
￡ Ｄ） （ ，） ０ （ 一，Ｑ ￡ ， ｅ （ 一ｆＺＥ ０ ＬＤ） （，） ． 事实上， 由假设和 （０， １）存在一个正常数 使得
钆 ＝
于Ｅ 的一致有效的渐近 展开 式：
∑［ ＋ （ ， ＜ 《１ ＋ ｏＥ 州） ０ Ｅ ．
（） １ ２
证
首先构造两个辅助函数 （ ￡， ｔ￡： ｔ ） ，） ， （
（ ） ∑ ＋ 一ｙ “ ｚ ＝ ， Ｅ ， ， Ｅ
ｉ ０ ＝
ｍ
（３ １）
（４ １）
） ∑［ ＋ｙ ＋ ＝ ＋ ， Ｅ ，
计 式
ｕ
∑ ＋
０￡ ． ＜ 《１
§ 主 要结果 ３
下面来证 明上述关 系式为关于￡ 的一致有效的渐近展开式． 定 义 设存在两个光滑函数面 笪 面 ｕ并分别满足： ，， ，
￡ （ 面一ｆｕ ） ０ （， ≥ （ ， Ｄ） （， ，百０ｇ ） ） ｅ （ ｕ一，笪￡ ０ （ Ｅ Ｌ Ｄ） （， ，丝０ ） ） ， ） ， 则分别称面 为 问题（）（） 和型 １，２的上解 和下解 ．
足初始条件（） 为此 ， ２， 我们还需要构造初始层校正项 ．
设问题（）（ 的解 １，２ ） Ｕ—ｕ ｔ ） （ ） （ ￡ ＋ ￡， ， （） ４
其中 ， ｒ＝ 为伸长变量［ 而 ６ ］ ＇
（Ｅ 丁） ， ∑Ｖ丁 ， ｉ） （
可 得
（ ５ ）
（） ６ （） ７ （ ８ ） （） ９
修 回 日期： ０ ００ — ６ ２ １ —９２
基金项 目 ：国家 自然科学￣ （１７２ ５； １０ １０ ）江苏省 自然科学基￣（ Ｋ２０３ ６ Ｂ ０８ ６１
高 校 应 用 数 学 学 报
第２ 卷第１ ６ 期
§ 构造 形式渐近 解 ２
现构造原 问题 的外解 ， 设
ｕｔ） ∑ ｕｔ ． （ 一 ｔ ， （ ）
（５ １） （６ １）
￡（） ｆ ， ＝ Ｌ ） Ｌ 一 （￡ ｃ（ （ Ｄ ｆ ） Ｄ Ｅ［ ｌ
ｉ ０ ＝
～
， ０） ∑ Ｄｕ １ ，ｕ０ （一 ４ （） ） ｆ ｏ ， （， ＋ （）一一＋ 。） ｔ － Ｄ（ ～ （ ＋ ０ ｕ０ ｔ ｕ， ） （ Ｌ Ｕ ）
＝ ｌ
化学、工程等．非线性奇异摄 动问题在 国际学术 界是一个十分关注 的研 究对 象［ ， ６ 近年来 许多 ｌ 学者做 了大 量的工作［１ ．莫嘉琪［ 首先用奇异摄动理论研 究了一类 自治的稳态 奇摄动 阶微 ７６ －］ 】
分方程 Ｃ ｕｈ 问题， 到了相应 自治分数 阶微 分方程Ｃ ｕｈ 问题一致有 效的渐近解． ａ ｃｙ 得 ａ ｃｙ 本文考虑 更 一般 形式的奇异摄动 分数 阶微分方程 的加权初 值问题， 运用奇摄动 理论和 方法构造 了分数 阶 微分方程 的渐近解， 并用微分不等式理论对它 的渐近性态作 了一致有效的估 计． 函数 的 （ ） 阶Ｒ ｅ ｎ — ｊ ｖｌ 的分数阶导数Ｄａ 的定义 ［ 】 ｉ ｍａ ｎＬｏ ｉｅ ｕ ｌ （ ） １ 为 ８
由 上述讨论， ￣ ｒｅ 定理知， 再ｌＡ ｚｌ ａ 问题（ ，２有一个解ｕｔ ）使得型ｔ ） ｕｔ ） 西ｔＥ． １ （ ） ） （ Ｅ， ， （￡ ， （ｓ ， （ ） ，
引 理证 毕 ．
定理
在假设［ ｌ［３ 分数阶奇摄动方程初值问题（）（） ｍ － ］ Ｕ 下， １，２ 有一个解ｕｔＥ， （ ）具有如下关 ，
ｍ
．
＋ （） ｆ ｏ Ｖ０ Ｌ ）一＋ ｔ ∑ Ｄ — ￣ ＋ ｏ） （ Ｕ １ Ｇ￡ （ Ｕ ， ＋ Ｄ ｉ ］ ｔ ～
ｉ ０ ＝
，Ｊ
＋（ ［∑ ＋ ，一 （ ， ￡∑ ）， 仇ｌ） Ｅ ｌ ，卜 ｍ ｍ ∑ ＋ ＋ ＋￡ 。 ＋
ｉ ０ ＝ ｉ Ｏ ＝
＋
假设 ：
『１ Ｈ ］退化方程ｆｕ０ ：０ （，） 存在一个根 ＝ ； ０ 【２ 厂 ， ， （） Ｈ ］．乱ｇ Ａ Ｅ （ ） 是关于其变量在其变化区域内为足够光滑的函数； ［３ （， ０＾ 一 ＜０ 其中ｃ Ｈ 】， ￡ ） ， Ｃ ， 为正常数．
收稿 日期： ０ ００ ．８ ２ １ ．３０
ｎ
于是可
０即面 ， 面＋， １ １ｎ ．
面： 一 面 。 ・ Ｕ ０ １ ・ ≥ Ｕ ＋ ・ ｎ１ 一．
故 由归纳法 知： 同理可得 ：
ｕ ＝ Ｕｏ
ｕｘ
＿
‘・・
ｕｎ
Ｕ ｎ＋ １
＿
・＿． ．
同理 还 可得 到：
面ｎ２ 塑 ， ｎ ＝ ０ １ … ． ，，
于 是可 ｎ≥ ０即瓦 西 ． ， ０ １
若 一 １
，， １ Ｔ ／ ， 并设 ＝ 一 ＋， １因此有
ｅ （ ） 厂 ， ＝Ｅ （ ） ～￡ （ ） １ （ １ ） Ｌ Ｄ ｙ 一． Ｅ （ ） ＬＤ 面 Ｌ Ｄ 面 ＋ ～，瓦 一面 ＋ ， Ｅ
＝
，面 一，） （ ，） （礼 ＋ ，） （ １ 一，瓦 ￡ 一，－ 一 ￡ １￡ ｃ １ ０ （ ～ 一面 ） ， 瓦 Ｉ ０＝ Ｉ ０ ｎ １ ＝ ｔ ＝ ｔ 一面 ＋ Ｉ ０＝０ ＝ ｔ ．
将（ ，５代人（）（ ， 的幂展开ｆｕ＋ ￡和 （ ， ４ （） ） １，２ 按Ｅ ） （ ） Ｅ 合并￡ ） 的同次幂项， 并分别令其系数为零，
￡Ｄ）ｏ：， ｇ ＋Ｙ ，） （ Ｙ （ｏ ｏ０， （） Ａ ， ０＝ ｏ （ ） ＝厶（ ＋ ，） — Ｄ） １ ，ｉ ，， ， Ｄ ０ （ 一 一 ＝１２… （） ｔ ０＝ ．
文献标识码： Ａ
文章编 号：００４２（０ １０—０ １０ １０—４４２１）１０４—５
§ 引 言 １
近年 来， 有关非线性分数阶微分方程的研究 已经在 国内外 引起人们极大 的兴趣［引 之所 以 ． 一 这样， 一是基于分数算子 自身理 论的发展 ， 二是分数算子在各个领域 中的应用 ， 如物理 、机械 、
证 构造函数 列， 由如下递推 关系决 定
ｅ （ ｕ ＋ ＝ｆｕ ，） １ ，） （ ，扎＝０１… ． ＬＤ） １ （ ￡，牡 ＋ （ ￡ ＝ ０ ） ，，
（１ １）
分别以＿ ＝瓦 ｏ 为（１ ０ 和型 ＝堑 １） 的初始迭代函数， 可分别依次地构造 和 ， 佗＝１２・ ． ，，一 于 是有函数列： ） 笪 ） 现讨论它们的收敛性态． ｛ 和｛ ． 设Ｙ ＝ 一型 ， ｏ １ 因此由 假设［３ Ｈ］ 有 ｅ （ ｆ 一，Ｙ，） Ｌ Ｄ）ｏ ＬＤ）Ｉ （ｏ Ｕ ，） Ｌ Ｄ） ｏ （ ＝ｅ （ ￣ —ｅ （ ￣ —ｆｕ 一＂ Ｅ ｏ ｌ ≥－ｆ￣ 一面 ，） ， （ｏ １￡ ≥０ Ｊ ０：－ Ｉ ０一瓦 ０≥０ ｔ ： ０： ｔ １＝ Ｊ ｔ ．
１ 一 ， ｔ
Ｄ（ 。）
／ｔ旷 ）， ｏ一 。ｓ （ （ｓ ｄ
（） １ （） ２
其 中ｒ 为Ｇａ ｍｍａ 函数 ， ０＜Ｏ ＜１ Ｌ ． 本文考虑 一般形式 的奇异摄动分数阶微分方程 的加权初值 问题
￡ （ ｔ ＝，， ，０ ＜Ｔ Ｄ）（ ） （（ ，） ＜ｔ ， “） ｕｏ ） （ ， （， ＝ Ｅ ） 其中 （ ＝ Ｄ 一ａ 一 Ｄ 一 Ｄ） ｎ１ 一・ … ａ Ｄ ，０＜８ ＜８ ｘ １ ２＜・ ・ ｎ＜１ ０ ・ ＜８ ．ａ ．
其中
Ａ １ｄ 仁 ０， 【＊ Ａ叫
０， ， １… ，
而 为关于 ， ， 一 ； ０ ， ， 一 的逐次 己知 的函数， ． ， ｖ， … １ 其结构从略．
由（ 一 ） ６ （ 可依次地得到 ， … ， 由 ）９ Ⅵ， 且 假设［３ ，＝０１… ， Ｈ】 知， ｉ ，， 具有性质【】 ９
吴钦宽： 一类分数 阶微分 方程初值 问题的奇摄动
引理 在假设［１ Ｈ 】 瓦ｔ ） （ ￡分别为分数阶奇摄动方程初值问题（）（ 的上， Ｈ 卜［３下， （ ￡， ｔ ） ， 型， １，２ ） 下 解， 则问题（）（） １，２ 有一解ｕｔ ）满足关系式： （ Ｅ ｕｔ ） 瓦 ） （ ￡， ， 笪ｔ ） （ ￡ ， ， （ ． ，
容易验证（ ） （ ） １ ，１ 满足［１ Ｈ ］因此初值问题（ ）（８的解乱 有如下近似 ７ ８ Ｈ 卜［３， １ ，１） ７ （ ）
（ ＝１ （） （ ， ） ＋ 三 ＋０ ）
其 中： （） 丁 满足如下初值 问题：
Ｄ （） ４ ＋ （） １ 。 ｏ ７ ＝（０ 丁） 一札 一Ｖ） － （ （） “ —１ ０ ＝ｒ ０ ．
其中 为适 当大 的正常数， 它将在下面选定． 显然有
（ ｓ Ｚｔ ） ｔ ） （ Ｅ， ， ，
并且， 存在一个 正常数 使得 １
ｍ ｍ
Ｚ， ＝ ＋ （￡ ∑［ ｏ）
ｉ ０ ＝
＋ｅ＋＝ ｉ ＋＋ ｅ＋ ７ ∑Ａ ７ ｅ ｍ
ｉ ０ ＝
Ａ ￡ 一５ｅ ＋ ＋７ （ ） １ Ｅ ＋ ＝Ａ ￡ ＋（ ） ＋ ． （ ） — １
２ １，６１： １４ ０ １２ （） ４—５
一
类分数阶微分方程初值 问题 的奇摄动
吴钦 宽
（ 南京工程学院 数学研究所，江苏南京 ２１６） １１７
摘 要 ：研 究 了一类非线性分数阶微分 方程加权 初值 问题的奇 异摄动． 适 当的条件 在 下， 首先求 出了原问题的外部解， 然后利用边界层 函数法构造 出解的初始层项 ， 由此 并 得到解的形式渐近 展开式， 最后利用微 分不等式理论 ， 讨论 了问题解的渐近性 态 得到 了原 问题 解 的 一致 有 效 的 渐 近 估 计 式 ． 关键词 ： 奇异摄动； 线性； 非 分数 阶微分 方程 中图 分类号： ７ ． Ｏ１ ５１ ４
＝
ｏ ～ 下 ＝ｏ一 兰，ｉ ， … ， （‰ ） （‰ ） ＝０１ ，
（） １ ０
其 中‰＋ ｋ， ：０ １… ， １ ｔｉ ， ， 为某正常数．
由（） （）上面确定 的 ， ， ：０１… ， ３，４， ｉ ，， 代人（）便得到 了原 问题 （） （） 的形式渐近估 ４， １，２解
Ｃ ，
，
７
￡
例
考虑奇摄动分数阶Ｌ ｇｓ ｃ ｍ的初值 ＩＮ［ ］ ｏ ｉ ｉ方程 ｔ ； ２ － ０ ｊ
ｅ （） ，￡（ ～札 ） Ｄ乱 ＝ “ ）１ （ ， （ ） 钆０ ＝ｕ， （） ０
其 中 ：ｔ ０ ０＜ ｓ ＞ ， １＜ １ ｇ＞ ０ ， ．
＋
（７ １） （８ １）
将（ 代人（ ， 的幂展开． ￡， ３ ） １ 按￡ ） ， ，）合并Ｅ （ 的同次幂项， 并分别令其系数为零， 可得 （ ）
其 中
Ｇ １ ０ｉｆ￣
１
。
（ ３ ）
（ １ ｔ ＝ ２… ， Ｄ） 一Ｇ ］ ， ，，
一
￡】 ，ｌ ，， ． ） 咖 ＿１２…
将上述依次得到的ｕ（代人（）便得到了原问题的外部解． 由（） ｔ） ￡ ３， 显然 ３得到的外部解未必满
ｃｚ Ｔ ＋ ～ ５ Ｅ ＋ ２
选取， ｙ
立
．
，
定理证毕．
（） １ 成立．同理可证（ ） ６ １ 成立． 和 ５ 故 分别为问题（）（） １，２的下解和上解． 由定 问 １，２有一解ｕｔ ）满足Ｑｔ￡ 札ｔｇ ）（ ） （ ￡， ， （ ） （ ） （ ￡． ， ， ｔ ） 再由（３， １） 关系式（２成 ， １） （ ４ １） ＋
高 校 应 用 数 学 学 报
第２ 卷第１ ６ 期
Hale Waihona Puke 故选 取 同 理 可 得
１ 就可得到 ，
（，） ０
（ ￡ ）
（， Ａ（） ０ ） Ｅ．
下面来证 明
￡ Ｄ） （ ，） ０ （ 一，Ｑ ￡ ， ｅ （ 一ｆＺＥ ０ ＬＤ） （，） ． 事实上， 由假设和 （０， １）存在一个正常数 使得
钆 ＝
于Ｅ 的一致有效的渐近 展开 式：
∑［ ＋ （ ， ＜ 《１ ＋ ｏＥ 州） ０ Ｅ ．
（） １ ２
证
首先构造两个辅助函数 （ ￡， ｔ￡： ｔ ） ，） ， （
（ ） ∑ ＋ 一ｙ “ ｚ ＝ ， Ｅ ， ， Ｅ
ｉ ０ ＝
ｍ
（３ １）
（４ １）
） ∑［ ＋ｙ ＋ ＝ ＋ ， Ｅ ，
计 式
ｕ
∑ ＋
０￡ ． ＜ 《１
§ 主 要结果 ３
下面来证 明上述关 系式为关于￡ 的一致有效的渐近展开式． 定 义 设存在两个光滑函数面 笪 面 ｕ并分别满足： ，， ，
￡ （ 面一ｆｕ ） ０ （， ≥ （ ， Ｄ） （， ，百０ｇ ） ） ｅ （ ｕ一，笪￡ ０ （ Ｅ Ｌ Ｄ） （， ，丝０ ） ） ， ） ， 则分别称面 为 问题（）（） 和型 １，２的上解 和下解 ．
足初始条件（） 为此 ， ２， 我们还需要构造初始层校正项 ．
设问题（）（ 的解 １，２ ） Ｕ—ｕ ｔ ） （ ） （ ￡ ＋ ￡， ， （） ４
其中 ， ｒ＝ 为伸长变量［ 而 ６ ］ ＇
（Ｅ 丁） ， ∑Ｖ丁 ， ｉ） （
可 得
（ ５ ）
（） ６ （） ７ （ ８ ） （） ９
修 回 日期： ０ ００ — ６ ２ １ —９２
基金项 目 ：国家 自然科学￣ （１７２ ５； １０ １０ ）江苏省 自然科学基￣（ Ｋ２０３ ６ Ｂ ０８ ６１
高 校 应 用 数 学 学 报
第２ 卷第１ ６ 期
§ 构造 形式渐近 解 ２
现构造原 问题 的外解 ， 设
ｕｔ） ∑ ｕｔ ． （ 一 ｔ ， （ ）
（５ １） （６ １）
￡（） ｆ ， ＝ Ｌ ） Ｌ 一 （￡ ｃ（ （ Ｄ ｆ ） Ｄ Ｅ［ ｌ
ｉ ０ ＝
～
， ０） ∑ Ｄｕ １ ，ｕ０ （一 ４ （） ） ｆ ｏ ， （， ＋ （）一一＋ 。） ｔ － Ｄ（ ～ （ ＋ ０ ｕ０ ｔ ｕ， ） （ Ｌ Ｕ ）
＝ ｌ
化学、工程等．非线性奇异摄 动问题在 国际学术 界是一个十分关注 的研 究对 象［ ， ６ 近年来 许多 ｌ 学者做 了大 量的工作［１ ．莫嘉琪［ 首先用奇异摄动理论研 究了一类 自治的稳态 奇摄动 阶微 ７６ －］ 】
分方程 Ｃ ｕｈ 问题， 到了相应 自治分数 阶微 分方程Ｃ ｕｈ 问题一致有 效的渐近解． ａ ｃｙ 得 ａ ｃｙ 本文考虑 更 一般 形式的奇异摄动 分数 阶微分方程 的加权初 值问题， 运用奇摄动 理论和 方法构造 了分数 阶 微分方程 的渐近解， 并用微分不等式理论对它 的渐近性态作 了一致有效的估 计． 函数 的 （ ） 阶Ｒ ｅ ｎ — ｊ ｖｌ 的分数阶导数Ｄａ 的定义 ［ 】 ｉ ｍａ ｎＬｏ ｉｅ ｕ ｌ （ ） １ 为 ８
由 上述讨论， ￣ ｒｅ 定理知， 再ｌＡ ｚｌ ａ 问题（ ，２有一个解ｕｔ ）使得型ｔ ） ｕｔ ） 西ｔＥ． １ （ ） ） （ Ｅ， ， （￡ ， （ｓ ， （ ） ，
引 理证 毕 ．
定理
在假设［ ｌ［３ 分数阶奇摄动方程初值问题（）（） ｍ － ］ Ｕ 下， １，２ 有一个解ｕｔＥ， （ ）具有如下关 ，
ｍ
．
＋ （） ｆ ｏ Ｖ０ Ｌ ）一＋ ｔ ∑ Ｄ — ￣ ＋ ｏ） （ Ｕ １ Ｇ￡ （ Ｕ ， ＋ Ｄ ｉ ］ ｔ ～
ｉ ０ ＝
，Ｊ
＋（ ［∑ ＋ ，一 （ ， ￡∑ ）， 仇ｌ） Ｅ ｌ ，卜 ｍ ｍ ∑ ＋ ＋ ＋￡ 。 ＋
ｉ ０ ＝ ｉ Ｏ ＝
＋
假设 ：
『１ Ｈ ］退化方程ｆｕ０ ：０ （，） 存在一个根 ＝ ； ０ 【２ 厂 ， ， （） Ｈ ］．乱ｇ Ａ Ｅ （ ） 是关于其变量在其变化区域内为足够光滑的函数； ［３ （， ０＾ 一 ＜０ 其中ｃ Ｈ 】， ￡ ） ， Ｃ ， 为正常数．
收稿 日期： ０ ００ ．８ ２ １ ．３０
ｎ
于是可
０即面 ， 面＋， １ １ｎ ．
面： 一 面 。 ・ Ｕ ０ １ ・ ≥ Ｕ ＋ ・ ｎ１ 一．
故 由归纳法 知： 同理可得 ：
ｕ ＝ Ｕｏ
ｕｘ
＿
‘・・
ｕｎ
Ｕ ｎ＋ １
＿
・＿． ．
同理 还 可得 到：
面ｎ２ 塑 ， ｎ ＝ ０ １ … ． ，，
于 是可 ｎ≥ ０即瓦 西 ． ， ０ １
若 一 １
，， １ Ｔ ／ ， 并设 ＝ 一 ＋， １因此有
ｅ （ ） 厂 ， ＝Ｅ （ ） ～￡ （ ） １ （ １ ） Ｌ Ｄ ｙ 一． Ｅ （ ） ＬＤ 面 Ｌ Ｄ 面 ＋ ～，瓦 一面 ＋ ， Ｅ
＝
，面 一，） （ ，） （礼 ＋ ，） （ １ 一，瓦 ￡ 一，－ 一 ￡ １￡ ｃ １ ０ （ ～ 一面 ） ， 瓦 Ｉ ０＝ Ｉ ０ ｎ １ ＝ ｔ ＝ ｔ 一面 ＋ Ｉ ０＝０ ＝ ｔ ．
将（ ，５代人（）（ ， 的幂展开ｆｕ＋ ￡和 （ ， ４ （） ） １，２ 按Ｅ ） （ ） Ｅ 合并￡ ） 的同次幂项， 并分别令其系数为零，
￡Ｄ）ｏ：， ｇ ＋Ｙ ，） （ Ｙ （ｏ ｏ０， （） Ａ ， ０＝ ｏ （ ） ＝厶（ ＋ ，） — Ｄ） １ ，ｉ ，， ， Ｄ ０ （ 一 一 ＝１２… （） ｔ ０＝ ．
文献标识码： Ａ
文章编 号：００４２（０ １０—０ １０ １０—４４２１）１０４—５
§ 引 言 １
近年 来， 有关非线性分数阶微分方程的研究 已经在 国内外 引起人们极大 的兴趣［引 之所 以 ． 一 这样， 一是基于分数算子 自身理 论的发展 ， 二是分数算子在各个领域 中的应用 ， 如物理 、机械 、
证 构造函数 列， 由如下递推 关系决 定
ｅ （ ｕ ＋ ＝ｆｕ ，） １ ，） （ ，扎＝０１… ． ＬＤ） １ （ ￡，牡 ＋ （ ￡ ＝ ０ ） ，，
（１ １）
分别以＿ ＝瓦 ｏ 为（１ ０ 和型 ＝堑 １） 的初始迭代函数， 可分别依次地构造 和 ， 佗＝１２・ ． ，，一 于 是有函数列： ） 笪 ） 现讨论它们的收敛性态． ｛ 和｛ ． 设Ｙ ＝ 一型 ， ｏ １ 因此由 假设［３ Ｈ］ 有 ｅ （ ｆ 一，Ｙ，） Ｌ Ｄ）ｏ ＬＤ）Ｉ （ｏ Ｕ ，） Ｌ Ｄ） ｏ （ ＝ｅ （ ￣ —ｅ （ ￣ —ｆｕ 一＂ Ｅ ｏ ｌ ≥－ｆ￣ 一面 ，） ， （ｏ １￡ ≥０ Ｊ ０：－ Ｉ ０一瓦 ０≥０ ｔ ： ０： ｔ １＝ Ｊ ｔ ．
１ 一 ， ｔ
Ｄ（ 。）
／ｔ旷 ）， ｏ一 。ｓ （ （ｓ ｄ
（） １ （） ２
其 中ｒ 为Ｇａ ｍｍａ 函数 ， ０＜Ｏ ＜１ Ｌ ． 本文考虑 一般形式 的奇异摄动分数阶微分方程 的加权初值 问题
￡ （ ｔ ＝，， ，０ ＜Ｔ Ｄ）（ ） （（ ，） ＜ｔ ， “） ｕｏ ） （ ， （， ＝ Ｅ ） 其中 （ ＝ Ｄ 一ａ 一 Ｄ 一 Ｄ） ｎ１ 一・ … ａ Ｄ ，０＜８ ＜８ ｘ １ ２＜・ ・ ｎ＜１ ０ ・ ＜８ ．ａ ．
其中
Ａ １ｄ 仁 ０， 【＊ Ａ叫
０， ， １… ，
而 为关于 ， ， 一 ； ０ ， ， 一 的逐次 己知 的函数， ． ， ｖ， … １ 其结构从略．
由（ 一 ） ６ （ 可依次地得到 ， … ， 由 ）９ Ⅵ， 且 假设［３ ，＝０１… ， Ｈ】 知， ｉ ，， 具有性质【】 ９
吴钦宽： 一类分数 阶微分 方程初值 问题的奇摄动
引理 在假设［１ Ｈ 】 瓦ｔ ） （ ￡分别为分数阶奇摄动方程初值问题（）（ 的上， Ｈ 卜［３下， （ ￡， ｔ ） ， 型， １，２ ） 下 解， 则问题（）（） １，２ 有一解ｕｔ ）满足关系式： （ Ｅ ｕｔ ） 瓦 ） （ ￡， ， 笪ｔ ） （ ￡ ， ， （ ． ，
容易验证（ ） （ ） １ ，１ 满足［１ Ｈ ］因此初值问题（ ）（８的解乱 有如下近似 ７ ８ Ｈ 卜［３， １ ，１） ７ （ ）
（ ＝１ （） （ ， ） ＋ 三 ＋０ ）
其 中： （） 丁 满足如下初值 问题：
Ｄ （） ４ ＋ （） １ 。 ｏ ７ ＝（０ 丁） 一札 一Ｖ） － （ （） “ —１ ０ ＝ｒ ０ ．
其中 为适 当大 的正常数， 它将在下面选定． 显然有
（ ｓ Ｚｔ ） ｔ ） （ Ｅ， ， ，
并且， 存在一个 正常数 使得 １
ｍ ｍ
Ｚ， ＝ ＋ （￡ ∑［ ｏ）
ｉ ０ ＝
＋ｅ＋＝ ｉ ＋＋ ｅ＋ ７ ∑Ａ ７ ｅ ｍ
ｉ ０ ＝
Ａ ￡ 一５ｅ ＋ ＋７ （ ） １ Ｅ ＋ ＝Ａ ￡ ＋（ ） ＋ ． （ ） — １