材料力学 组合变形的强度问题

Fy l 3
f
F

fy
大小为：
f
f y fz
2
2
设总挠度与y轴夹角为 ：
一般情况下，I y I z 而不是平面弯曲。
f z Fz I z I z tan tan tan f y Fy I y I y
即挠曲线平面与荷载作用面不相重合，为斜弯曲，
§8-3
③将各基本变形应力进行叠加(主要对危险截面的危险点)
④对危险点进行应力分析(1≥2≥3) ⑤用强度准则进行强度计算
将组合变形分解成若干个基本变形，分别计算出每个基本变
形下的内力和应力，然后进行应力叠加。
Байду номын сангаас
求解步骤 ①外力分解和简化。 ②内力分析——确定危险面。 ③应力分析：确定危险面上的应力分布， 建立危险点的强度条件。
4）若截面为曲线周边时， 可作//于中性轴的切线， 切点为 max处

z
中性轴
y
强度计算
1）危险截面：当x=0时，M Z M Y 同时取最大
故固定端截面为危险面
2）危险点：危险截面上 D1 D2 点 强度计算式：
max M (
cos sin
Iz
y1, 2
sin cos z1, 2 ) Iy
重申基本研究步骤
1、分解：简化荷载：用静力等效的载荷， 使每一组只引起一种基本变形。 2、分别计算：按基本变形求解每组载荷作 用下的应力、位移。
3、叠加：按叠加原理叠加求出组合变形的 解。
§8-2 非对称弯曲（斜弯曲） 教材12-1
平面弯曲：对于横截面具有对称轴的梁，当横向外力或
外力偶作用在梁的纵向对称面内时，梁发生对称弯曲。这时， 梁变形后的轴线是一条位于外力所在平面内的平面曲线。
矩形截面梁的斜弯曲
应力计算
中性轴的位置
1、简化外力：
Pz P sin Py P cos
z
Pz
C
x面上的弯矩： M ( x) P(l x)

Py
y
如何求C点的正 应力？
x面上的弯矩： M ( x) P(l x)
Pz P sin 以y为中性轴弯曲 Py P cos 以z为中性轴弯曲
曾经请同学们复习2-6章关于基本变形的论述，并自行总结： 1、轴向拉（压）
2、扭转 3、弯曲 4、剪切 这四种基本变形的： 内力的名称及符号、内力及内力图； 应力的计算公式和分布规律； 最大应力的公式和强度条件； 变形和应变的公式和刚度条件。
第8章
组合变形
§8-1 组合变形的概念
一、概念
1.组合变形：
A截面中性轴确定后可绘出总应力分布图（见图）。 最大和最小正应力为： Mz M y max a 70.2 MPa min b Wz W y
（五）改为圆截面时的计算 矩形截面改为圆截面后，受力图不变，内力图也不变。 此时对于圆截面来说，不存在斜弯曲问题，两个平面弯曲合 成后，还是一个平面弯曲的问题。危险截面A截面上弯矩的 合成由矢量来表示（见图）。总弯矩的矢量方向与中性轴重 合，说明总弯矩是绕中性轴弯曲（荷载作用平面与中性轴垂 直）离中性轴最远的两点（c,d）是正应力最大和最小的点。

Myz Iy

M z Iy
sin
z
y
Py Mz
z
y
Pz
My
C点总应力：
y z c M cos sin I I y z
确定中性轴的位置
设中性轴上某一点的坐标为 y0 、 z0，则由 中性轴上
0即
y0 z 0 0M cos sin I I y z
杆件在外力作用下，同时发生两种或两种以上基本变形的组合。 2.分类------①两个平面弯曲的组合(斜弯曲)
②拉伸(或压缩)与弯曲的组合，以及偏心拉、压
③扭转与弯曲或扭转与拉伸(压缩)及弯曲的组合 3.一般不考虑剪切变形；含弯曲组合变形，一般以弯曲为主，
其危险截面主要依据Mmax，一般不考虑弯曲剪应力。
b
hb 2 Wy 6 bh 2 Wz 6 h/b=3/2
请注意计算单位！
Wy
Wz
h=0.131m
h=135mm
斜弯曲梁的位移——叠加法 中性轴 z y
Fz l 3 F sin l 3 fz , 3EI y 3EI y
总挠度：
fz

3 F cos l fy 3EI z 3EI z f f y j fzk
梁在P1作用下绕z轴 弯曲（平面弯曲），在 P2作用下绕y轴弯曲 （平面弯曲），故此梁 的弯形为两个平面弯曲 的组合——斜弯曲。受 力简图如图示。
受力简图
（二）内力分析
受力简图
分别绘出Mz(x) 和My(x)图如图示。 两个平面内的最大 弯矩都发生在固定 端A截面上，A截面 为危险截面。
M z 1 KN m M y 1 KN m
Mz 在图中a点；My引起 Wz
例：矩形截面木梁跨长l=3.6m,截面尺寸h/b=3/2,分布荷载集度 q=0.96KN/m,试设计该梁的截面尺寸。许用应力 10MPa
q
h
30
q max 你知道危险 点在何处吗？
z
解:
跨中为危险截面

max
qz l 2 0.96 sin 30 3.62 y M y max 0.78KN m 8 8 qyl 2 0.96 cos30 3.62 M z max 1.35KN m 8 8 M y max M z max b=0.0876m, 可选b=90mm, max
轴向拉（压）与弯曲的组合变形
q A F L q B F
A
B
弯曲
+
拉伸
A F B F
1.求内力
q A x L B
Fs FAy qx(剪力),
1 M FAy x qx 2 (弯矩 ), 2
FAy
FBy
FN F (轴力),
A F x L
B
F
2.求应力
FN (均布 ), A
sin M y Pz (l x) P cos (l x) M cos sin
cos cos M z Py (l x) P sin (l x) M sin
2、按基本变形求各自应力：
M z y My cos Iz Iz
1.分别计算轴向力引起的正应力和横向力引起的正应力； 2.按叠加原理求正应力的代数和。
二、注意事项：
1.如果材料许用拉应力和许用压应力不同，且截面部分区域受 拉，部分区域受压，应分别计算出最大拉应力和最大压应力，并 分别按拉伸、压缩进行强度计算。 2.如果横向力产生的挠度与横截面尺寸相比不能忽略，则轴向力 在横截面上引起附加弯矩 DM=Pw 亦不能忽略，这时叠加法不能使 用，应考虑横向力与轴向力之间的相互影响。 这种情况称为纵横弯曲，可参看§9-7。
故中性轴的方程为
cos sin y0 z0 0 Iz Iy
中性轴是一条通过截面形心的直线
y0 I z tan tan z0 Iy
为中性轴与z轴夹角
D1

z z y
D2

y
中性轴
注：
1）中性轴仍过截面形心； 2）中性轴把截面分为受拉、 受压两个区域； 3）同一横截面上 发生在 max 离中性轴最远处点D1、D2。
例 图示起重机的最大吊重P=12kN，材料许用应力[s]=100MPa， 试为AB杆选择适当的工字梁。 Fc F
RA
cy
HA
A
Fcx
C
B P
1.5m
FN
A 2m C B
_
24kN
M
_
12kN· m
1m
P
解：(1)根据AB杆的受力简图，由平衡条件，得：
Fc y 3 4 P 18kN ，Fc x Ty 24 kN 2 3
斜弯曲：双对称截面梁在水平和垂直两纵向对称平面内
同时承受横向外力作用的情况，这时梁分别在水平纵对称面 和铅垂纵对称面内发生对称弯曲。（也称为两个相互垂直平 面内的弯曲）
当外力作用面不通过主惯 性平面时,则弯曲变形后,梁
Fx F y Fy
z
的轴线不在外力作用面内。
斜弯曲——荷载不作用在构件的纵向对称面内， 梁的轴线变形后不在位于外力所在平面内。
四、可行性
由力作用的独立性原理出发，在线弹性范围 内，可以假设作用在体系上的诸载荷中的任一个所 引起的变形对其它载荷作用的影响忽略不计。 实验表明，在小变形情况下这个原理是足够精
确的。因此，可先分别计算每一种基本变形情况下
的应力和变形，然后采用叠加原理计算所有载荷对 弹性体系所引起的总应力和总变形。
二、组合变形工程实例
烟囱， 传动轴 吊车梁的立柱
烟囱：自重引起轴向压缩 + 水平方向的风力而引起弯曲； 传动轴：在齿轮啮合力的作用下，发生弯曲 + 扭转 立柱：荷载不过轴线，为偏心压缩 = 轴向压缩 + 纯弯曲
组合变形工程实例----以下是什么组合？
三、基本解法(叠加法)
1.叠加原理：在线弹性、小变形下，每一组载荷引起 的变形和内力彼此不受影响，可采用代数相加； 2.基本解法： ①外力分解或简化：使每一组力只产生一个方向的一 种基本变形 ②分别计算各基本变形下的内力及应力
（三）应力分析和最大应力 绘出A截面的应力分布图，从应力分布图可看出a、b两 点为最大拉应力和最大压应力点，即为危险点。

Mz Wz
y y
应力分布图
Mz
（四）计算中性轴位置及最大正应力 AB段中性轴与z轴的夹角为：（坐标原点可设在C截面处）
I z M y x I z P2 x 0.5 tan 0.5m x 1m I y Mz x I y P1 x
合成后总变矩为：
M M z2 M 2 y 1.41 KN m
max
min
M c 115 MPa W d
A截面应力分布图
a
b
容易出现的一种计算错误：
max
Mz M y 163 MPa Wz W y
A截面应力分布图
此时Mz引起的最大拉应力 M z My 的应力 M y 在图中b点，显然将不同点处的应力进行相 Wy 加，作为该截面上的最大正应力是错误的。

max
M z max M y max [ ] Wz Wy
例1 矩形截面的悬臂梁受荷载如图示。试确定危险截面、危 险点所在位置；计算梁内最大正应力及AB段的中性轴位 置；若将截面改为直径 D=50mm 的圆形，试确定危险点 的位置，并计算最大正应力。
例1图
解（一）外力分析
例1图
40 803 3 I z P2 0.5 1 10 12 tan 4 3 3 I y P1 1 80 40 1 10 12
解得： 76（见图）

Mz Wz
y y
应力分布图
Mz
如以合成后的总 弯矩以矢量表示，中 性轴与M的矢量不重 合，说明荷载作用平 面与中性轴不垂直， 这是斜弯曲的特征之 一。
对于周边具有棱角的截面，如矩形和工字形截面， 最大拉、压应力必然发生在截面的棱角处。可直接根据 梁的变形情况，确定截面上的最大拉、压应力所在位置，
无需确定中性轴位置。
max
M y max M z max ymax z max Iz Iy
M z max M y max Wz Wy
My (线性分布), Iz FN My A Iz
3.建立强度条件
max
min
FN M max [ ] A Wz
弯曲与拉伸（压缩）组合变形：当杆上的外力除横向力外，
还受有轴向拉（压）力时，所发生的组合变形。
q
P
w x
P
一、计算方法：
从上式可看出，中性轴位置在AB段内是随x的变化而变化 的。在A截面处（x=1m），中性轴位置为：
40 803 3 I z P2 0.5 1 10 12 tan 4 3 3 I y P1 1 80 40 1 10 12

Mz Wz
y y
Mz
应力分布图
(2)作AB杆的弯矩图和轴力图： C点左截面上，弯矩为极值而轴力与其它截面相同，故为危险截面。
(3)计算时暂不考虑轴力影响，只按弯曲正应力强度条件确定工字梁的 抗弯截面模量，有：