大学物理读书报告——混沌理论及其应用

蝴蝶的力量
——浅谈混沌科学及其应用清华大学
水利水电工程系
水工01班
陈龙
2010010224
前言:众所周知，300多年前，牛顿的万有引力定律和他的三大力学定律将天体
的运动和地球上物体的运动统一起来了。

人们开始认为：在物体受力已知的情况下，给定了初始条件，物体以后的运动情况（包括各时刻的位置和速度）就完全决定了，并且可以预测了。

这就是所谓的“决定论的可预见性”（在一些书中也叫做“线性系统的可预见性”）。

牛顿力学于是被奉为近代科学的典范。

然而，随着科学的发展，人们进一步认识到，牛顿力学的真理性收到了一定能够范围的限制。

其主要有三大限制性:
(1)19世纪末20世纪初，由于爱因斯坦的相对论方程的出现，人们知道了
牛顿力学不能反映高速运动的规律，于是，光速c成为牛顿力学应用
的第一个限制。

（2）20世纪，人们又发现微观粒子的运动也不遵循牛顿力学的规律，随着量子力学中的薛定谔方程的出现，普朗克常量h成为了牛顿力学的第
二个限制。

（3）早在20世纪初，人们就发现，牛顿力学在研究复杂系统时遇到了困难。

美国数学家庞加莱（Poincare H）发现，精确处理“三体问题”
的过程中，牛顿力学遇到了困难。

于是，复杂非线性系统的运动的不
可预见性成为了牛顿力学的第三大限制，即接下来我们将进一步探究
的“混沌科学”这一新兴交叉学科。

混沌的出现，让我们了解到现实的世界是一个有序与无序相伴、确定性和随机性统一、简单与复杂一致的世界。

以往那些追求有序、精确、简单的观点是不全面的。

我们面临的是一个复杂纷纭的运动的世界，应该用一门“关于过程和演化的科学”来描绘一个客观的真实的世界。

关键字：不可预测性初值敏感性决定论非周期流耗散系统
KAM定理保守系统 Li-Yorke定义逻辑斯蒂模型
文章结构：
正文：混沌，通常理解为混乱、无序、未分化，如所谓“混沌者，言万物
相混成而未相离”(《易经》)，“窈窈冥冥”、“默默昏昏”（《庄子》）。

从
中我们可以看出，混沌最初进入科学领域是与以精确著称的数理科学无
缘的，混沌主要是一个天文学中与宇宙起源有关的概念，它来源于神话
传说与哲学思辨。

特别是在古希腊和古代中国的哲学论中，这种认识是
十分接近的。

如在古希腊的早期的自然哲学和宇宙论中，混沌被看做是
原始的混乱和不成形的物质，例如吧无定形的水或者是气看作是世界的
始基，有序世界就是从这样的始基发展而来的。

宇宙的创造者也正是用
这种物质创造出秩序井然的宇宙。

我们先对混沌下一个比较准确的定义。

一般来说，混沌是一种看似没有规则的运动，指在确定性非线性系统中，不需要任何随机因素亦可
出现类似随机的行为（内在随机性）。

混沌系统的最大特点就在于系统的
演化对初始条件十分敏感，因此从长期意义上讲，系统的未来行为是不
可预测的。

随着现代科学技术的迅猛发展，尤其是计算机应用技术的不断创新与突破，混沌作为一门新兴交叉学科在此基础上取得了长足的发展与进
步。

在现代的物质世界中，混沌现象无处不在，无处不有，大到宇宙，小到基本粒子，无不受到混沌理论的支配。

如气候变化，数学、物理、
化学、生物、哲学、经济学、社会学甚至是音乐、体育中都存在着混沌
现象。

因此，科学家认为，在现代的科学中普遍存在着混沌现象，它打
破了不同学科之间的界线，它是涉及系统总体本质的一门新兴综合科学。

18世纪具有彻底牛顿宇宙观的伟大的科学家Laplace（拉普拉斯）曾经说过：“如果有一位智慧之神，在给定的时刻能够识别出赋予大自然
以生机的全部的力和组成万物的个别位置，而且他有足够深邃的睿智能
够分析这些数据，那么他将把宇宙中最微小的原子和庞大的天体的运动
都包括在一个公式之中，对他来说，没有什么东西是不确定的，未来如
同过去那样是完全确定无疑的。

”拉普拉斯的“决定论可预测性”的观点
在混沌学的大厦前，轰然坍塌。

因此，我们更应该在这个充斥着混沌现
象的世界里，怀有一颗敬畏的心，并相信：“上帝的确是在掷骰子”。

为了更好地系统地了解混沌学的基本知识，本文接下来将分别从混沌学的研究历史，混沌现象的举例及其共性，和混沌学的应用及其发展
展望三大方面对混沌学进行一次较为系统的介绍。

（一）混沌学的研究历史
（1）20世纪以前
近代科学由于以研究自然界的秩序和规律为其宗旨，所以数百年来它把混沌现象排除在外。

因而，自然界中大量的混沌现象就被科学家遗
忘了。

而笛卡尔和康德却例外，尽管他们只是把混沌看成浑然一体，混
乱不堪的东西，但是他们认为有序的宇宙正是从这样的混沌中发展起来
的。

在此期间，康德提出了他的“星云假说”，认为“太阳系是有处于
混沌状态的原始星云演化而来的”，并指出：“我在把宇宙追溯到最简单
的混沌状态以后，没用别的力，而只是用了引力和斥力这两种力来说明
大自然的有秩序的发展。

”
因此，20世纪以前的混沌学研究还只是处于起步阶段，其中以康德为代表的科学家是考察宇宙从混沌到有序的演化的“先锋军”。

他们的
研究是人类对混沌现象的最初认识，同时也吹响了人类对“混沌学”进
军的号角。

（2）20世纪初至1977年
进入20世纪以后，人们对于混沌学的研究和认识逐渐深入。

在此期间，混沌现象从表观进军到科学之中，打开了混沌学研究的新纪元。

19世纪中期，自然科学家首先在热力学中开始讨论混沌问题。

我们知道，当达到热力学平衡时，系统内部中的每一点的温度、压强、浓
度、化学势等均无差别，处处相同，熵极大，即分子的混乱度极高。

可
见，热力学的平衡态实际上是一种传统意义上的混沌态。

与此同时，科
学家们还探讨了布朗运动、丁泽尔现象、反应系统中反应基团的无规则
碰撞等这些微观状态，发现它们与混沌有关，都是混沌无序的状态。

而现代科学意义上的混沌的发现，则要追溯到19世纪末20世纪初，庞加莱在研究“三体问题”时遇到的混沌问题。

庞加莱发现，与单体问
题、二体问题不同，三体问题，如太阳、月亮、地球三者的相对运动是
无法精确求解的。

这个多年来困扰牛顿力学的难题，最终于1903年在庞加莱发表的《科学与方法》一书中得到了较为合理的解释。

在此书中，庞加莱提出了著名的“庞加莱猜想”。

他创造性地把动力学系统和拓扑学有机地结合起来，并指出三体问题中，在一定范围内，其解是随机的。

实际上，这是一种“保守系统”中的混沌，从而他成为了世界上最先了解混沌存在的可能性的第一人。

此后，热力学和统计物理学经历了平衡——近平衡——远离平衡的发展阶段。

在耗散结构理论、协同学的发展初期，侧重于研究系统是如何从混沌到有序的发展，找到了一些系统从混沌到有序发展的机制和条件。

即“系统应该是开放的，处于远离平衡态，其内部要有非线性的相互作用，状态的转变则要通过涨落来实现等。

据此，普利高津得出了“有序来自混乱”的结论。

而真正对混沌进行过较为严谨的阐述的则是洛伦兹于1963年发表的著名论文《决定论非周期流》。

在这篇著名论文中，洛伦兹讨论了天气预报的困难和大气湍流现象，并给出了三个变量的自治方程，即著名的洛伦兹方程
x=−σ(x−y)
y=−xz+rx−y
z=xy−bz
即方程右端不含时间，它是一个完全确定的三阶常微分方程组。

方程中三个参数为σ、r和b，如果b=8/3，σ=10，改变参数r：当r<1时，其解的性质趋于无对流的定态；当r>1时，其解为非周期的，看起来很混乱。

这便是在耗散系统中，一个确定的方程却能导出混沌解的第一个实例，从而揭开了对混沌现象深入研究的序幕。

与此同时，1954年前苏联概率论大师柯尔莫戈洛夫指出近可积的哈密顿（Hamilton）系统的解的性质的一些重要结论。

后来到了1962年和1963年分别经过阿诺尔德（Arnold V I）和莫赛尔（Mose J）的证明，在近可积的哈密顿系统中，随机成分是有限的，导致不可积性的扰动项很小，这被称为KAM定理。

上面我们已经提到，KAM定理讨论的是保守系统，而洛伦兹方程讨论的是耗散系统，它们分别从不同的角度说明，两类不同的动态系统，在长期的演化过程中是怎样出现混沌态的。

从此，对混沌理论的研究便进入了一个新的时期。

1964年法国天文学家伊侬（Henon M）从研究球状星团以及洛伦兹吸引子中得到启发，给出了下列的Henon映射
x n+1=1+by n−ax n2
y n+1=x n
该方程组本是一个自由度为2的不可积的哈密顿系统，然而在方程中，当参数b=0.3，且改变参数a时，就发现其系统运动轨道在“相空间”中的分布似乎越来越随机。

伊侬得到了一种最简单的吸引子，并用他建立的“热力学崩坍”理论解释了几个世纪以来一直遗留的太阳系的稳定性问题。

1971年法国物理学家茹厄勒（Ruell D）和荷兰数学家肯斯（Takens F）为耗散系统引入了“奇怪的吸引子（Strange attractor）”这一概念，提出了一个新的湍流发生机制，以解释湍流的性质。

然而，因为
湍流是一种极其复杂的现象，它是如何发生的，至今人们仍然不完全
清楚，但是，混沌现象的发现，对揭示湍流有很大启发。

1975年，美籍华人学者李天岩和美国数学家约克（Yorke J）在美国《数学月刊》发表了题为“周期3意味着混沌”的著名文章，深刻
地揭示了从有序到混沌的演化过程。

在这篇文章中，他们给出了混沌
的一种数学定义，先称为Li-Yorke定义：
设连续自映射f I→I∈R,I中一个子区间。

如果存在不可数集合S ∈I满足
（1） S不包括周期点。

（2）任给X1，X2∈S X1≠X2,有
lim t→∞sup⁡|f X1−f X2|>0
lim t→∞inf f X1−f X2=0
这里f∙=f f ⋯f∙表示t重函数关系。

（3）任给X1ϵS及f的任意周期点P∈I有
lim t→∞sup f X1−f P>0
则称f在S上是混沌的。

从此，“混沌”一词终于在现代意义下正式出现在科学语汇之中。

1976年，美国生态学家梅（May R）在美国《自然》杂志上发表的题为“具有极复杂性的动力学的简单数学模型”文章中指出，在生
态学中一些非常简单的确定性的数学模型却能产生看似随机的行为。

如：
x n+1=μ(1−x n)
称之为“虫口方程”，即著名的逻辑斯蒂（Logisitic）模型。

该模型看来似乎很简单，并且具有确定性，但参数μ在一定范围变化时，
它却具有极为复杂的动力学行为，其中包括了分岔和混沌，从而向人
们表明了混沌理论的惊人信息。

1977年，混沌理论终于等到了这一朝。

这一年，第一次国际混沌会议在意大利召开，标志着混沌学在国际科学界正式诞生了！
（3）1978年至今
在混沌学作为一门科学学科正式诞生后不久，即1978年和1979年费根包姆（Feigenbaum M）等人在梅的基础上独立地发现了倍周期
分岔现象中的标度性和普适常数，从而使混沌在现代科学中具有坚实
的理论基础。

20世纪80年代以来，人们着重系统如何从有序进入新的混沌及其混沌的性质和特点。

除此之外，借助于（单）多标度分形理论和符
号动力学，还进一步对混沌结构进行了研究和理论上的总结。

同时，随着计算机技术的飞跃式发展，通过计算机绘制出各种混沌现象成为了可能。

1980年，美籍法国数学家曼德布罗特用计算机绘
出了世界上第一张Mandelbrot集的混沌现象。

对于混沌学中的分数维能描述自然界中很多现象在几何上的不规则性，但不能完全揭示出产生的相应结构的动力学特性的这一现象，
Grassber P等人于1987年提出了重构动力学的理论方法。

通过有时
间序列中提取分数维、Lyapunov指数等混沌特征量，从而使得混沌理
论进入到实际应用阶段。

20世纪90年代初，美国科学家Ott,Grebogi,Yorke和Pecora，Carroll分别在混沌控制和混沌同步方面取得了突破性进展，从而在
全世界掀起了“混沌控制热”，使其应用范围扩展到工程技术领域以及
其他领域。

20世纪80、90年代是混沌理论发展的“黄金时期”。

在此期间，混沌从哲学理论变为科学学科，从研究课题变为应用工程,从无人问津
到炙手可热，混沌理论完成了一个飞跃！在今后的研究中，混沌这一
新兴交叉学科，必将以它独有的风采引领科学界一路高歌、不断攀援！
（二）混沌现象举例及其共性
（1）贝纳（Benard）对流不稳定问题
贝纳对流不稳定问题是研究热对流和大气环流的基本问题。

如图1所示，图一为地幔热对流的过程示意简图和液体受热产生
的贝纳对流的分析图。

我们不妨将上液面和下液面的温度分别设
为T1、T2，则可得出以下结论。

当T1、T2相同时（即∆T=T1−T2=0）,整个液体的温度是
均匀的，其液体所处的空间也是对称的。

上、下液面温度即为环
境温度，此时系统与环境没有热量交换，即系统处于平衡态，这
是一种热力学混沌态。

如图二所示的大洋热对流现象也很好地反
映了这一对流不稳的现象，即我们所讨论的最早的混沌学研究对
象——热力学混沌现象。

（图一：地幔热对流示意图）
(图二：大洋上发生的对流现象示意图)
（2）卡曼（Karman）涡街
卡曼涡街是流体力学中的重要问题。

将一个半径为L的无穷长圆
柱置于一个流速为U、粘性系数为v的流体中，当决定流动状态
的参数（如雷诺数Re =UL v）
取不同值时，流体绕过圆柱流
动时的情况，如图三所示。

当
Re较小时，即流速v很小时，
流线图形与圆柱的的形状相
似。

流体的流动状态是稳定的，
流体的每一点的运动状态不
随时间而变，流体在圆柱后面
形成平稳的流线，即v（t）是
定常运动（见图三（a））；当
Re逐渐增大并超过某一阀值
后，圆柱后面的流线突然发生
振荡，形成一对静止的涡旋，
v（t）就是周期运动（见图三
（b））；当Re继续增大时，流
线开始从圆柱后面的左右两
侧分离成两两间隔反向的涡
旋，这时涡旋处于动态的振动
之中（见图三（c）），称为卡
曼涡街。

显然，当Re不断增
大时，v（t）则出现不规则的
湍流运动（见图三（d）、（e））。

这就反映了系统从简单到复
杂过程。

（图三：卡曼涡街）
（3）激光器
在一块带有两个反射镜的红宝石激光器中，当用氚灯照射时，就
能像一只普通的灯，发射光的电场强度E构成一个随机波如图四
（a）所示，气喘射方向呈辐射形。

当功率超过更大的临界值的
时候，原来连续的激光则变成了极短的有规律的脉冲激光（见图
四（c）），从而经历一次又一次的突变过程。

当脉冲随时间t做
周期变化时，在空间X上就形成了一个孤立子（Soliton），如图
四（d）所示。

这种激光作用技能出现在人造激光器中，也能出
现在自然状态的星际空间中。

（图四：激光器电场强度随通量的变化）
（4）振荡化学反应
不仅物理学中存在着一些复杂现象，而且化学中也存在着复杂现象。

假如在化学反应中，为了使反应达到定态，则要求以不同速率向体系输入反应物或输出生成物，这时就会出现完全不同的情
况。

最典型的例子就是贝罗索夫-札伯廷斯基反应，简称为BZ反
应。

这个化学反应就是：在催化剂铈（或铁、锰）离子的参与下，
丙二酸被溴酸盐氧化，结果发现所生成的产生物的浓度随时间周
期变化，这类现象称为化学振荡或化学钟。

这种浓度变化的不规
则性，即体现了在化学领域中的混沌现象。

（5）生物系统的自组织现象
我们知道，玻尔兹曼原理虽然对于解释平衡结构的形成和维持是成功的，然而，当用它来说明非平衡的有序结构（如生物有
序）时却遇到了极大的困难。

例如，生物体的有序不能靠降低自
己温度而获得，也不能靠与外界环境的隔离而维持。

因而，我们
得出，生物体确实是在非平衡状态的条件下生存的。

一部生物进
化史，就是生物从原始的比较均匀的无序结构发展为高级的不均
匀的有序结构的历史。

（6）复杂混沌现象的共性
在上述的诸多例子中，我们可以看出大自然中确实普遍存在着复
杂的现象。

归纳起来，这些复杂的现象主要有如下几个共同的性
质：
i.复杂现象都处于开放的、远离平衡的系统中；
ii.系统是自组织的，且有一个自组织核心；
iii.系统内部存在着非线性的相互作用；
iv.过程的不可逆性；
v.系统对初值的变化具有很强的敏感性；
vi.涨落和对称破缺。

（三）混沌学的现状与展望
混沌绝不只是一堆有趣的数学现象，它在自然界中有种种表现。

一般说来，混沌是比有序（此处指经典意义下的有序——对称、周期性）
更为普遍的现象。

混沌向我们揭示出一个形态和结构的崭新世界。

它表明，在某一范围的无序是与另一个不同范围的有序完全协调的。

我们了解到，混沌
学已经融入了整个科学体系中。

从历史发展的角度看，在横向上，它将
各个学科连接起来，抹平了由于社会分工而造成的行业鸿沟，使混沌理
论具有更广泛的适用性；纵向上，它不仅进一步运用数学工具，开展深
一层次的理论分析，而且，已经渐渐开始将一部分成果转化为生产力（如
混沌的控制和同步等）。

如今，摆在我们面前的是一幅有序和混沌交替出现又同时并存的世界。

声学混沌，光学湍流，化学反应的混沌变化，太阳系中行星的混沌
轨道，地震的混沌特征，长时期天气的"蝴蝶效应"，虫口数目的混沌更
迭，电子线路中的噪音输出及电力网的复杂振荡等等都无不与这门新学
科相联系。

探索复杂性，揭示生命现象的奥秒，混沌行为的启发将使人
类自身健康状况改善，经济学学者正试图应用混沌理论来寻求商业周期
中隐藏的有序性，以改善经济数据的短期预报......可谓大千世界皆混
沌；混沌即进一步细分了我们的研究客体，同时又统一了我们的研究方
式，混沌理论的发展必将带来新的技术革命。

同时，混沌理论的发展，
必须依赖数学。

分维是奇怪吸引子的重要几何特征，与之对应的分形几
何近二十年来也得到了飞速发展，通过计算不同吸引子的各种维数，可
以更有效、更细致地对混沌系统进行分类。

符号动力学是作为动力学系
统一般理论的一个重要分支，人们将对一维映射系统符号动力学的研究
推广到高维系统，使混沌系统的拓扑普适性得到了完美体现，而且这种
从一维向空间的推广，也带动了其它普适性的合理运用。

另外在理论方
面，还综合了很多数学分支，如测度论、泛函分析、拓扑、分形几何等
等。

在技术上，一方面实验物理学家们正在不断地扩大对混沌的研究领
域，另一方面，他们正在试图驾驭混沌：他们用种种方法将系统稳定在
混沌区的一个周期轨道上；他们还设法使两个混沌的系统同步化，从而
实现利用混沌的保密通讯。

混沌学今后的发展方向在那里？混沌究竟是喜欢追随时髦的人的一种有趣思想，还是像它的某些支持者声称的那样，实际上是科学思想
的一场革命？──只有事实才能说明一切。

但我们坚信，那只可以“纽约引发一场风暴”的蝴蝶，定将会释放出它身体中所蕴含的无限力量，有朝一日，再次引发一场震惊世界的“大
风暴”，但那场“风暴”不会带来人类的损失，却会开辟一个全新的世
界——一个由混沌学“科学风暴”开辟的全新科学界！！！
（四）结语及心得
通过大量地阅读了有关“混沌学”这深奥的新兴交叉学科的专业书籍之后，我较为深入和系统地了解了混沌学的基本知识和研究方法，获
益匪浅。

在我看来，混沌学作为一门最新的交叉学科，具有其他学科无法比拟的先进性和前瞻性。

多方位、多视角、多学科、多途径地对混沌学进
行研究和推广是非常必要的。

研究与合理应用混沌学知识，对于当今社
会的发展需求来说无疑是令人欢欣鼓舞的。

因此，我坚信，混沌学必将
拥有一个光明的未来！
2011年5月3日
（五）主要参考书目：
1.《混沌及其应用（第二版）》黄润生、黄浩武汉大学出版社
2.《复杂非线性系统中的混沌》王兴元电子工业出版社
其他参考书目：
《混沌与分形》钟云霄北京大学出版社（文中某些观点仅代表所引用文章的作者观点和本文作者观点，如有不
妥之处，请老师指正，谢谢！）。