第六章导行电磁场

（1） TM模的截止波长
（6.4.13） （6.4.14） umn的前几个值由表6.1给出
（2） TE模的截止波长
（6.4.15） （6.4.16） U’mn的前几个值由表6.2给出
按照以上方法可分别求出 几种低阶模的截止波长λc： TE01： 1.64a TE11： 3.41a TE21： 2.06a TM01： 2.62a TM11： 1.64a TM21： 1.22a 把这些截止波长λc按其大小 排列，如图6.9所示。
从图6.9可以清楚看到，λc(TE11) 最长，所以TE11是圆波导主模。 在λ>λc(TE11)时，所有模式都处 于截止状态； 当 λc(TE11)>λ>λc(TM01)时，只有 TE11一种模式传输，所以圆波 导的单模传输条件为 2.62a<λ<3.41a
4. 简并现象
圆波导中的导行波存在着简并现象，即不同模式的电磁场具 有相同的截止波长、相同的传输特性的现象，分为E-H简并和 极化简并。 （1） E-H简并 从图6.9可以看出，TE01和TM11的截止波长是相同的，从贝塞 尔函数可以证明TE0n和TM1n模简并。 （2） 极化简并 从前面推导出来的公式可以任何一个场量都包含cosmφ和 sinmφ两个线性无关的互相正交的独立成分。但这两种独立成 分却有相同的截止波长、传输特性和完全相同的场结构。所 以它们是互相简并的，称为极化简并。 圆波导中的TE11模也存在极化简并，这对于长距离传输电磁信 号是不利的，因为圆波导由于机械加工等原因，会出现不圆 度，将使极化简并模破坏。
z
这三种模式情况下得到的场极化的简化， 很容易就能求出各个场量，但是实际上 的很多应用场合，单独一种模式不能满 足所有的边界条件，但它们的线性组合 总能满足这些特殊要求，并且提供一个 完整的普遍的解，这时的波称为混合波。
6.2 矩形波导中的导行电磁波
1、矩形波导（如图6.1）
矩形波导由良导体制成，一 般为了提高导电性能和抗腐 蚀性能，在波导内壁上镀上 一层高电导率的金或银，为 了简化分析，一般把波导的 良导电体壁近似为理想导体 壁矩形波导中只能存在TM波 或TE波，不可能存在TEM波。
2、矩形波导中的TM波
（6.2.1） （6.2.2） （6.2.3） （6.2.4） 式中：
波导中传输的TM波有如下特性：
（1） m、n为整数，m=1,2,3,…,n=1,2,3,…。m和n 取值不同，TM波的场结构模式不同。 （2） TM波的场结构模式可以用TMmn表示。不同模 2 TM TM 式的场，即不同的m和n的取值，有两个方面不同： 一是横截面的场分布不同，二是传播的相位系数不同。 （3） 由于m和n不能取零，所以矩形波导中TM00、 TM0n、TMn0波形不能存在，TM波中最简单的波形是 TM11。矩形波导中TM11和TM21的场结构如图6.2所示。 （“——”为电力线，“”为磁力线）
6.5光导纤维问题
光纤是圆柱状介质波导，石英光纤中光 的波长通常在0.8~1.8µm的红外光范围 内，光纤的模式理论是电磁场与电磁波 的重要应用之一。图6.10光纤的结构光 纤的结构如图6.10所示，是由纤芯和包 层组成。纤芯的半径为a，折射率一般 用n1表示，包层的半径为b，折射率为 n2，这里没有画出涂覆层及护套。 光纤的种类繁多，按折射率分布可分为 阶跃型光纤和渐变型光纤。所谓阶跃型 光纤是纤芯的折射率n1为常数，不随半 径发生变化； 而渐变型光纤是纤芯的 折射率随半径发生变化，即n1=n1(r)。
由U和W可以引入归一化频率V,定义为
V2=U2+W2 式中： 所以： 式中：
（6.9.10）
（6.9.11）
导波截止时的归一化频率称为归一化截止频率Vc。 ∴V>Vc 称为导波条件。 下面分别来求各种模式的归一化截止频率Vc。
（1） TE0n和TM0n
取m=0，截止时W→0，则 Vc=Uc=u0n 式中 u01=2.405 u02=5.520 u03=8.654… 即 Vc(TE01)=Vc(TM01)=2.405, Vc(TE02)=Vc(TM02)=5.520, Vc(TE03)=Vc(TM03)=8.654
TE10模只有Ey、Hx、Hz三个场分量，这三个场分量均 与坐标y无关，电磁场沿y轴方向无变化，呈现均匀 分布。Ey、Hx、Hz的瞬时值表达式为: （6.3.1） （6.3.2） （6.3.3）
TE10模电磁场结 构立体图如图 6.5所示。随时 间t增加，TE10模 的场结构以相速 vp向+z方向运动
2 c 2 2
一般情况下，电场和磁场不仅有横向分 量，还有纵向分量，则电场强度E和磁场 强度H可表示为：
E = Et + Ez = Et + ez Ez H = H t + H z = H t + ez H z
（6.1.3） （6.1.4）
把(6.1.3)和(6.1.4)代入(6.1.1)和(6.1.2)，得：
根据电磁场的边界条件，得到面电流密度的瞬时表达式：
绘出波导壁电流分布如图6.6所示 从TE10模面电流密度的瞬时表达式或波导 壁电流分布还可以看出在宽边的中央 位置（即 y=0 或 y=b 面上 x=a/2 ），面 电流密度 Js 只有 z 轴方向的分量。利用 这个性质，可以在宽边沿中央位置切 一很小的细缝，实现观测而对波导内 场分布的影响可以忽略。
（6.1.5） （6.1.6） （6.1.7） （6.1.8）
（6.1.6）和（6.1.8）是两个标量偏微分方程，很容易 求 Ez和Hz
利用麦克斯韦方程即可求出Et和Ht ∂E z ∂H z 1 − jω µ ) E x = 2 (−γ （6.1.9）
kc ∂x ∂y Ey H H
x
1 ∂E z ∂H z = 2 (−γ + jω µ ) kc ∂y ∂x ∂H z ∂E z 1 = 2 (−γ + jω µ ) kc ∂x ∂y 1 ∂H z ∂E z = 2 (−γ − jω µ ) kc ∂y ∂x
TE波或TM波：
TEM波：
（6.2.12）
TE波或TM波与TEM波的群速也不相同。TE波或TM波的相 速大于介质中的光速，而群速要小于介质中的光速。
（3） 波阻抗（波导电子波阻抗定义为相互垂直的 横向电场分量与横向磁场分量之比） TE波： TM波： 式中： TE波与TM波的波阻抗是不同的。
（6.2.13） （6.2.14）
（2） EH模 Vc=Uc=umn （3） HE模 m=1时，Vc(HE11)=0,Vc(HE1n)=u1,n-1 m≥2时，Vc=Uc=um-2,n 把以上讨论总结为表6.3。表中标量模是标 量近似法得出的，因为具有线性偏振性，又 称线性偏振模
4.截止频率和截止长度
不同模式的电磁波，其截止频率fc或截止波长 λc是不相同的。几个低阶模的截止波长：
5. 相速、群速和波阻抗
（1） 相速vp TE波或TM波： 式中： TEM波： （6.2.10） （6.2.9）
由此可见,TE波或TM波的相速与TEM波的相速并不相同。
（2） 群速vg（调幅波包络的运动速度，也就是能 量的传播速度） （6.2.11）
（6.1.10） （6.1.11） （6.1.12）
y
Ex =
圆对称形波导往往采用圆标坐标系。在圆坐标 坐标系中，横向场的表达式为： 6.1.13 （6.1.13） 1 ∂E z 1 ∂H z
k
2 c
(−γ
∂r
− jω µ
r ∂ϕ
)
Eϕ = H H
r
∂H z 1 1 ∂E z (−γ + jω µ ) 2 kc r ∂ϕ ∂r ∂H z 1 1 ∂E z + jω ε (−γ ) 2 kc ∂r r ∂ϕ ∂E y 1 1 ∂H z (−γ ) − jω ε 2 kc r ∂ϕ ∂r
1. 阶跃光纤的电磁场解 （6.5.1） （6.5.2） （6.5.3） （6.5.4） （6.5.5） （6.5.6） （6.5.7） （6.5.8） 特征方程： （6.5.9）
2. 导波模式 （1） 光导纤维不存在TEM模 （2） 存在TE0n和TM0n （3） 存在HEmn和EHmn
3. 归一化截止频率Vc
第六章 导行电磁波
6.1 导行电磁波的一般分析方法
电磁波沿着波导传播，设波导中的正弦电磁 波是沿着z轴方向传播，即各场量都包含e-rz 因子，并利用横向微分算子 ∇t 的概念，得： 波导中电场的波动方程： 2 ∇ T E + k c2 E = 0 （6.1.1） 式中： k = γ + k 波导中磁场的波动方程： 2 ∇ T H + k c2 H = 0 （6.1.2）
例6.1空气填充的矩形波导a=22.86mm,b=10.16mm，频率 为f=14GHz的电磁波在该波导中有哪些模式是传导模？当 该波导填充εr=2、µr=1的介质后，在同一频率下，又有哪 些模式是传导模?
6.3矩形波导中的TE10波
矩形波导单模传输时，传输的是TE10，因此TE10也 称为矩形波导的主模或工作模。TE10作为矩形波导 的工作模式，具有以下突出的优点： （1） 可以通过设计波导尺寸实现单模传输； （2） 具有最宽的工作频带； （3） 在同一截止波长下，传输TE10波所要求的a边尺 寸最小，而且与b边无关，所以可节约材料。理论上， b边越小，越节省材料，但考虑到波导击穿和衰减增 大等问题，波导较小时，b取0.4a~0.5a； 波导较大 时b取0.1a~0.2a。波导尺寸已经标准系列化，可由 微波工程手册查到； （4） 在给定频率下具有最小衰减。
例6.2 3种型号的空气填充的矩形波导，尺寸为 BJ-4058.20mm×29.10mm BJ-10022.86mm×10.16mm BJ-12019.05mm×9.52mm分别求出其单模范围。
解：矩形波导单模工作时 λc(TE20)<λ<λc(TE10)，即 a<λ<2a 所以其频率范围为 c/2a<f<c/a 将以上3种型号波导尺寸代入得 BJ-40：2.57~5.15GHz BJ-100：6.562~13.12GHz BJ-120：7.88~15.7GHz
3. 矩形波导中的TE波
（6.2.5） （6.2.6） （6.2.7） （6.2.8） 式中：
由式(6.2.5)~(6.2.8)可以看出：
（1） m和n取值不同，TE波的场结构模式也不相同。 为了保证Hx、Hy、Hz、Ex、Ey这5个场量不全为零， m和n不能同时为零。 （2） TE波的场结构模式可以用TEmn表示，不同模 式的场也有横截面上的场分布和传播的相位常数两 个方面的不同。 （3） 由于m和n不能同时为零，所以矩形波导中 TE00波型不能存在，TE波最低模式是TE10。矩形波 导中TE10、TE11、TE21、TE02的场结构如图6.3所示。 （“——”为电力线，“”为磁力线）
（6.1.14） （6.1.15） （6.1.16）
= =
ϕ
在均匀波导的电磁波也可分为三种模式：
①
②
③
横电磁波，简称TEM波，这种模式的电磁波 在传播方向上没有电场分量，也没有磁场 分量，即Ez=Hz=0 横磁波，简称TM波，这种模式的电磁波在 传播方向上有电场分量，但是没有磁场分 量，即 H = 0 横电波，简称TE波，这种模式的电磁波在 传播方向没有电场分量，但是有磁场分量， Ez = 0 即
2. 圆波导中的TE波
（6.4.9） （6.4.10） （6.4.11） （6.4.12）
3. 截止波长 不同m和n的电磁场结构是不同的，人 们把圆波导中的电磁场用TEmn、TMmn 来表示，其中m表示场量沿波导的圆周 出现最大值的对数，n表示场量沿波导 n 的半径出现的最大值的个数。截止波长 即为传播常数γ=0时的波长，不同模式 的截止波长是不相同的。下面分别求出。
6.4圆柱形波导的导行电磁波
圆柱形波导是横截面为圆形的 空心金属波导管，其结构如图 6.7所示，图中圆柱形波导的内 半径为a。
（6.4.1） （6.4.2） （6.4.3） （6.4.4）
源自文库
1. 圆波导中的TM波 TM波的场量为：
（6.4.5） （6.4.6） 6.4.6 （6.4.7） （6.4.8） 式中E0为常数，它的大小由激励源决定。